2022-2023学年河南省郑州市第十九高级中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市第十九高级中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市第十九高级中学高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题：①若l1∥l2，则斜率k1=k2；②若斜率k1=k2，则l1∥l2；③若倾斜角，则l1∥l2；④若l1∥l2，则倾斜角α1=α2.其中正确命题的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①若l1∥l2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k1=k2，则l1∥l2，判断命题②正确；③若倾斜角，则l1∥l2，判断命题③正确；④若l1∥l2，则倾斜角，判断命题④正确即可得到答案.【详解】解：直线l1与l2为两条不重合的直线：①若l1∥l2，当斜率存在时，则斜率k1=k2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与轴，所以命题①错误；②若斜率k1=k2，则l1∥l2，所以命题②正确；③若倾斜角，则l1∥l2，所以命题③正确；④若l1∥l2，则倾斜角，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个.故选：C.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，是基础题.2．设，向量，，，且，，则（    ）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得的值，得到向量，进而求得，得到答案.【详解】由题意，向量，，，因为，可得，解得，即，又因为，可得，解得，即，可得，所以.故选：C.3．如图，直三棱柱中，若，，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是平行四边形，故，所以．故选：D．4．已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】，又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴，解得 x=，故选A．点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．5．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆，即，圆心为，半径，由圆心到直线的距离，圆上动点到直线的最小距离为，最大距离为，即的取值范围是，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，借助斜率判断形状，再求出圆方程作答.【详解】依题意，直线AC斜率，直线BC斜率，有，即，因此外接圆是以线段为直径的圆，AB的中点为，半径，所以外接圆方程是，即.故选：A7．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用斜率的几何意义求出取值范围.【详解】∵圆的方程为，过点作圆的切线方程，设切线方程为，即.则，解得：.则的取值范围为.故选：C.8．过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数多条【答案】C【分析】由题意分类讨论分为直线经过原点，则直接求出结果；直线不经过原点时，设直线方程为，再把点的坐标代入即可.【详解】当直线经过原点时，则斜率为，所以直线方程为当直线不经过原点时，由题意知直线方程为，将点代入，求得或，则直线方程为，综上可知，满足要求的直线有3条.故选:C.9．已知直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，l1∥l2，则m的值是(　　)A．m＝3 B．m＝0C．m＝0或m＝3 D．m＝0或m＝－1【答案】D【详解】当m=0时，两条直线分别化为：x+6=0，﹣2x=0，此时两条直线平行，满足条件，∴m=0．当m≠0时，两条直线分别化为：﹣，y=x﹣，∵两条直线平行，∴=﹣，≠，解得m=﹣1．综上可得：m=0或﹣1．故选D．10．设正四面体ABCD的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.【详解】因为E，F分别是BC，AD的中点，，，又正四面体ABCD的棱长都为，，．故选：A．11．已知空间中三点，，，则（    ）A．与是共线向量B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是【答案】D【分析】根据向量的相关性质判断.【详解】对于A项，，，所以，则与不是共线向量，所以A项错误；对于B项，因为，所以的单位向量为，所以B项错误；对于C项，向量，，所以，所以C项错误；对于D项，设平面的法向量是，因为，，所以，则，令，则平面的一个法向量为，所以D项正确.故选:D.【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.12．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.【详解】设，，所以，又，所以．因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值为．故选：C． 二、填空题13．已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_____．【答案】【解析】利用去掉反向的情形即得．【详解】由，，所以，解得 若与反向，则则，所以 所以与的夹角为钝角则且综上的范围是．故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由是两个非零向量，则夹角是锐角时，，夹角是钝角时，，反之要注意可能同向也可能反向．属于中档题.14．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.其中真命题的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】①④【详解】，，则则，直线与垂直，故①正确，，则则，或，故②错误，，与不共线，不成立，故③错误点，，，向量是平面的法向量，即，解得，故④正确综上所述，其中真命题是①，④点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用．①求数量积，利用数量积进行判断，②求数量积，利用数量积进行判断，③求利用与的关系进行判断，④利用法向量的定义判断，即可得到答案．15．直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】【详解】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.16．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则取值范围为__________________【答案】【详解】分析：先求出圆心和半径，比较半径和2，要求 圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．详解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离d=≤，∴﹣2≤b≤2，∴b的取值范围是[﹣2，2]，故答案为[﹣2，2]．点睛：本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，考查数形结合思想，属于中档题． 三、解答题17．已知点，，．求：(1)BC边上的中线所在直线的方程；(2)BC边上的高所在直线方程．【答案】(1)x＝1；(2)4x＋y－7＝0． 【分析】（1）求出边中点坐标，然后求得斜率得直线方程；（2）求出边所在直线斜率，由垂直得高所在直线斜率，从而可得直线方程．【详解】（1）∵，，，∴易知线段BC的中点坐标为，易知BC边上的中线所在的直线的斜率不存在，∴BC边上的中线所在的直线方程为x＝1；（2）∵，∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－4，∴BC边上的高所在直线的方程为：y－3＝－4（x－1），即4x＋y－7＝0．18．在棱长为的正方体中，、分别是与的中点.(1)求与截面所成角的正弦值；(2)求点到截面的距离．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)以为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解；(2)根据(1)中空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，0，，，，，，，，则，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，取，则，2，，设与截面所成角为，则，∴与截面所成角正弦值为．（2）由(1)知，，，平面的一个法向量为，2，，∴点到截面的距离．19．如图，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】(1)根据线面平行证明面面平行，得出线面平行；(2)建立空间直角坐标系，设线段的长为 ，根据二面角的余弦值，求出线段.【详解】解：（1）∵，，平面，平面平面，平面，又∵，∴平面平面又∵平面，∴平面.（2）∵平面，,，，∴以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第.易知，，，设，，则，，，，，设为平面的法向量，则：由得：，取；设为平面的法向量则由得得：，取.∴∵二面角的余弦值为.∴，解得：经验证：时，符合题意故所求.【点睛】本题考查线面平行定理和利用二面角的余弦值求参数问题，属于中档题.20．已知圆，圆．（1）试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求实数k的值．【答案】（1）； （2）或．.【分析】（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系；用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及两线垂直的向量关系列式可解得k．【详解】（1），两圆相交，两圆做差得即公共弦所在直线为：（2）由题可知，设将代入得整理得，，由韦达定理得化简得 ，解得或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及圆和圆的位置关系及其判定，属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．21．已知圆C：，直线l过定点．（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．【答案】（1）或【分析】（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.【详解】（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.   ②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 .  所求直线l1的方程是或.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，则圆心到直线l1的距离  又∵△CPQ的面积                   ＝∴当d＝时，S取得最大值2.    ∴＝       ∴ k＝1 或k＝7所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22．如图，且AD＝2BC＝2，，平面平面ABCD，四边形ADGE为矩形，且CD＝2FG＝2．(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；(2)若CF与平面ABCD所成角的正切值为2，求直线AD到平面EBC的距离．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法证明线面平行，即证与平面的法向量的数量积为0，再由线面平行的判定定理得结论；（2）由空间向量法求得A点到平面的距离即得．【详解】（1）平面平面ABCD，平面平面ABCD=，,平面，所以平面，平面，所以,依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得，，，，设，，，，，．设为平面CDE的法向量，，则，不妨令z＝－2，可得；又，可得．又∵直线平面CDE，∴平面CDE；（2）∵，平面EBC，平面EBC，∵平面EBC，∴AD到平面EBC的距离即A到平面EBC的距离，由（1）知平面ABCD，即是平面ABCD的法向量，因CF与平面ABCD所成角的正切值为2，则CF与平面ABCD所成角的正弦为，又，，解得t＝2，则点，，，设为平面EBC的法向量，由，不妨令，可得，而，则点D到平面EBC的距离，所以直线AD到平面EBC的距离为．