2022-2023学年黑龙江省大庆市肇州县第二中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年黑龙江省大庆市肇州县第二中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知点，则直线的斜率是（    ）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】直接根据斜率公式即可求出答案.【详解】因为点，所以.故选：D.2．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】直接由空间向量的夹角公式计算即可【详解】，，，，由题意有即，整理得，解得故选：B3．过点且倾斜角为的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D4．如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】,故选：B.5．点关于直线的对称点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.6．已知两点到直线的距离相等，则（    ）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为两点到直线的距离相等，所以有，或，故选：D7．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D8．已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A二、多选题9．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】BD【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；利用向量夹角公式计算可知C错误；根据法向量的求法可知D正确.【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；对于C，，，即和夹角的余弦值为，C错误；对于D，设平面的法向量，则，令，解得：，，，即平面的一个法向量为，D正确.故选：BD.10．已知直线，，则（    ）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【分析】A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.【详解】，当，即，即直线恒过点，故A不正确；若，则有 ，解得：，故B正确；若，则有，得，故C不正确；若直线不经过第三象限，则当时，， ，解得：，当时，直线，也不过第三象限，综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.故选：BD11．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先分析当直线的斜率不存在，则直线的方程为，符合题意；再分析直线的斜率存在时，先求出的坐标，解方程求出的值，综合即得解.【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为，解得，解得，由，得，解得，即所求的直线方程为，综上可知，所求直线的方程为或，故选：BC.12．（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，当时，；当时，.故选：BD.【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.三、填空题13．若直线经过直线和的交点，则___________.【答案】【分析】求解出直线，的交点坐标，再代入直线即可求解.【详解】由题意，直线，，交于一点，所以，得，所以直线过点，得，求解得.故答案为：14．直线的倾斜角的取值范围是_______.【答案】【分析】根据直线斜率，可知，结合可求得结果.【详解】由知：直线斜率，设直线倾斜角为，则，又，.故答案为：.15．直线和两点，若直线上存在点M使得最小，求点M的坐标_____.【答案】【分析】如图，作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，求出点的坐标，再求出直线的方程，再与直线的方程联立可求出点的坐标.【详解】如图，作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则则，所以，当三点共线时取等号，即三点共线时，最小，设，则，解得，即，因为，所以直线为，由，得，即，故答案为：16．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是___________.①直线平面，②三棱锥的体积为定值，③异面直线与所成角的取值范围是④直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】①②④【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理进行判断，对于②，利用线面平行的判定定理，得到∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断，对于③，利用异面直线所成角的计算方法判断，对于④，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】对于①，连接，则，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，平面，所以平面，所以①正确，对于②，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为点在线段上运动，所以点到平面距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以②正确，对于③，连接，因为∥，所以异面直线与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，所以当点位于点或点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，此时与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以③错误，对于④，如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，当时，直线与平面所成角的正弦值最大，最大值为，所以④正确，故答案为：①②④四、解答题17．过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．【答案】【分析】作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解.【详解】如图所示，因为，，，可得，，要使得直线与以、为端点的线段有交点，设直线的倾斜角为，其中，则满足或，解得或，即直线的倾斜角的取值范围.18．根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式．(1)斜率是，且经过点；(2)在轴和轴上的截距分别是和；(3)经过点，；(4)经过点，且一个方向向量为．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据直线方程的点斜式即可得解；（2）根据直线方程的截距式即可得解；（3）根据直线方程的两点式即可得解；（4）首先根据方向方程可得直线斜率，再根据点斜式即可得解.【详解】（1）根据点斜式可得直线方程为：，化简可得；（2）根据截距式可得：，化简可得；（3）根据两点式可得：，整理可得；（4）由直线的方向向量为可得直线的斜率，所以所求直线方程为即.19．（1）已知空间三点，，设若与垂直求；（2）求向量在向量上的投影向量.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别求出，然后利用向量垂直性质解得.（2）利用数量积公式求得，再求得投影向量得长度，根据比例求得投影向量得坐标.【详解】（1），，，因为与垂直，所以得或；故答案为：或.（2）,故,设投影向量的模长为，得，设投影向量坐标为，因为根据相似对应边成比例故得，解得故答案为.20．已知的顶点，AB边上的高所在的直线的方程为，D为AC的中点，且BD所在的直线的方程为．(1)求AB边所在的直线方程；(2)求BC边所在的直线方程；(3)求的面积．【答案】(1)(2)(3)18【分析】（1）假设点点B的坐标，根据高线的斜率得到直线AB的斜率，然后联立方程，得到点B，最后可得方程.（2）假设点C的坐标，然后得到，将坐标代入，点代入，联立可得点，结合（1）可得BC边所在的直线方程.（3）计算以及点到直线的距离，最后简答计算即可.【详解】（1）直线的斜率为1，由于直线AB与直线垂直，则直线AB的斜率为，整理得．又因为点B在直线上，则，所以解得即点B的坐标为，因此，AB边所在直线的方程为，即．（2）设点C的坐标为，由AC的中点在直线上，所以，整理得．又因为点C在直线上，所以，所以解得即点，则直线BC的斜率为，因此，BC边所在直线的方程为，即．（3）由（1）知AB边所在直线的方程为，点，由（2）知点，故AB边上的高，，所以．21．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．22．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、，则，，，则，解得，故；[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结．因为底面，且底面，所以．又因为，，所以平面．又平面，所以．从而．因为，所以．所以，于是．所以．所以． [方法三]：几何法+三角形面积法   如图，联结交于点N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因为M为的中点，则，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面的法向量为，则，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值为.[方法二]：构造长方体法+等体积法  如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．联结，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角．易证四边形是边长为的正方形，联结，．，由等积法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值为．【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.