2022-2023学年广西钦州市浦北中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西钦州市浦北中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线的斜率k及在y轴上的截距b分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】直接由直线斜截式方程的几何性质求出与即可．

【详解】由直线得

所以直线的斜率为，在y轴上的截距

故选：A．

2．在空间直角坐标系，点关于xOy平面的对称点B的坐标为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由空间直角坐标中的点关于面对称求对称点坐标.

【详解】由与关于xOy平面对称，且，

所以.

故选：C

3．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（　　）

A．椭圆 B．圆

C．椭圆或线段或不存在 D．不存在

【答案】C

【分析】对M满足的条件进行分类讨论，结合椭圆的定义和平面几何知识加以推理论证，可得本题答案．

【详解】根据题意，得，

①当时，满足椭圆的定义，可得点M的轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆；

②当时，，点M在线段F1F2上，点M的轨迹为线段F1F2；

③当时，，不存在满足条件的点M．

综上所述，点M的轨迹为椭圆或线段或不存在．

故选：C．

4．已知空间向量，若空间向量与平行，则的坐标可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量平行的充要条件即可求解.

【详解】两向量平行，对应坐标成比例，

因为，

故选：.

5．若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（    ）．

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】由渐近线方程求，再求双曲线的离心率.

【详解】由渐近线方程可知，则.

故选：A.

6．若点在圆x2＋y2＋2ax－2y＋2＝0外，则a的取值范围是（    ）

A．a＞－1 B．a＜－1 C．a＞1 D．a＜1

【答案】C

【分析】根据点在圆外得到，同时结合即可求得实数a的取值范围.

【详解】因为点在圆外，所以，即，

所以，

又因为为圆，所以，

即，解得或，

综上知，a的取值范围是．

故选：C.

7．若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】易知当点为椭圆与轴的交点时取最大值，再根据椭圆方程求出、，最后根据勾股定理逆定理计算可得.

【详解】解：易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，

因为椭圆方程为，所以、，

此时，，

所以，

所以为等腰直角三角形，所以．

故选：D

8．已知圆C经过点，半径为，其圆心C的坐标为，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线与圆相切求出斜率，即可结合图形确定斜率的范围.

【详解】由题意，，则，故点C在以为圆心，以为半径的圆上，

由，则表示点C与点O连线的斜率，作图如下：

当直线OC运动到与圆相切时，即运动到直线OA，OB的位置时，设其方程为，即，

由直线与圆相切，则，两边平方可得，解得，

故直线OA，OB的斜率分别为，，则，

故选：B.

二、多选题

9．已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（    ）

A．－4 B．－2 C． D．3

【答案】AD

【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．

【详解】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．

故选：AD．

10．已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（    ）

A．直线的斜率为

B．直线的倾斜角为钝角

C．边的中点坐标为

D．边上的中线所在的直线方程为

【答案】BCD

【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项.

【详解】对于A，直线的斜率为，故A错误；

对于B，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角，故B正确；

对于C，设边的中点为，则，，即点，故C正确；

对于D，边上的中线所在的直线方程为，整理得，故D正确.

故选：BCD.

11．下列四个结论正确的有 （    ）

A．对于任意两个向量，若，则或或

B．若空间中点 满足，则三点共线

C．空间中任意三个向量 都满足

D．对于任意两个向量， 都有

【答案】AB

【分析】对选项A，根据得到或或，即可判断A正确，对选项B，根据题意得到和为公共点，即可判断B正确，对选项C，利用特殊向量即可判断C错误，对选项D，根据即可判断D错误.

【详解】对选项A，若，则或或，故A正确.

对选项B，因为，

所以，

所以，

又因为为公共点，所以三点共线，故B正确.

对选项C，若为空间向量中的单位向量，且夹角为，

的夹角为，

则，，，故C错误.

对选项D，因为，

当时，，故D错误.

故选：AB

12．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（    ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为

C． D．点P到抛物线的焦点的距离为4

【答案】ACD

【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A、B、C的正误，根据所得抛物线方程求，即知D的正误.

【详解】双曲线的离心率为，故A正确；

双曲线的渐近线为，故B错误；

由有相同焦点，即，即，故C正确；

抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．抛物线的焦点到准线的距离是______.

【答案】

【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离

【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是.

故答案为：

14．与圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10切于点A(4,－1)的直线方程为___________.

【答案】

【分析】写出圆心坐标，结合切点求切线斜率，再由点斜式写出切线方程.

【详解】由题设，则，

所以与圆C相切于A的直线斜率，

故切线方程为，即.

故答案为：

15．已知M为轴上一点，且点M到点与点的距离相等，则点M的坐标为_____________.

【答案】

【分析】先设点的坐标，再结合空间中两点间的距离公式建立方程求解.

【详解】为轴上一点，

∴设，

∵点到点与点的距离相等，

∴，解得，

点M的坐标为.

故答案为：

16．已知双曲线与直线无交点，则的取值范围是_____．

【答案】

【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式，解之即可求得的取值范围.

【详解】依题意，由可得，双曲线的渐近线方程为，

因为双曲线与直线无交点，所以直线应在两条渐近线上下两部分之间，

故，解得，即.

故答案为：.

.

四、解答题

17．已知空间三点，，，设，．

(1)求；

(2)与互相垂直，求实数k的值．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；

（2）首先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示列方程求参数k.

【详解】（1）由题设，，

所以.

（2）由，，而，

所以，

可得或.

18．某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：）.

(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程；

(2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高，此车能否安全通过隧道？请说明理由.

【答案】(1)；

(2)不能，理由见解析.

【分析】（1）设抛物线方程为且过，，代入求参数即可得抛物线的方程；

（2）由题图，设抛物线上的点，只需与的大小关系即可判断是否能安全通过隧道.

【详解】（1）由题设，可设抛物线方程为，由图知：，，

所以，则，故抛物线所在抛物线的方程.

（2）由题设，令，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，则，

由（1）并将点代入可得：，故.

所以此车不能安全通过隧道.

19．已知圆过两定点，且圆心在直线上；

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线交圆于两点，若，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设圆的标准方程为，建立关于的方程，求解即可得圆的方程；

（2）根据直线与圆相交得弦长公式，确定圆心到直线的距离，讨论直线方程即可求得.

【详解】（1）解：设圆的方程为

∵圆心在直线上，则

又∵圆过点两点，

则，又，联立解得：

则圆的方程为；

（2）解：当直线的斜率不存在时，直线方程为，

此时圆心到直线得距离

弦长符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，

∵，

∴圆心到直线的距离为，解得，

则直线的方程为，

综上，直线的方程为或

20．如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.

【答案】证明见解析.

【分析】由空间向量的共线定理证明，

【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，

因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心，

所以M在BE上，N在AE上，

设，，，

因为M为BCD的重心，

所以

因为，所以，

所以，

同理得，

∴.

又，

∴B，G，N三点共线

21．在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)已知倾斜角为的直线经过点，且与曲线交于两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据双曲线的概念可知曲线为双曲线的一支，进而根据已知数据可求双曲线的方程；

（2）由（1）知：，即直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理､弦长公式及三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）由题意可知：，得，

所以点的轨迹即的方程为以点为焦点，

实轴为，虚轴为2的双曲线的右支，即.

（2）由（1）知：，即直线的方程为.

设，联立，得，

满足且，

由弦长公式得：

，

点到直线的距离，

所以.

22．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求的方程；

(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，由此可求得椭圆的方程.

（2）对直线斜率分成不存在、直线的斜率为、直线的斜率不为三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得的取值范围.

【详解】（1）由题意得，

，解得，

所以的方程为.

（2）圆的圆心为，半径圆.

①当直线的斜率不存在时，方程为或，

于是有或

解得，

所以.                 

②当直线的斜率为时，方程为或，

于是有或

解得，

所以.                    

③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，

因为直线与圆相切，所以，得

建立方程组，消并化简得，

.

设,,则,，

所以=

而，当且仅当，即时，等号成立.

所以 ，

所以.

综上所述，的取值范围是.