2022-2023学年湖北省荆门市东宝中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省荆门市东宝中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省荆门市东宝中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线的方程写出直线的斜率，再求解倾斜角即可.【详解】由直线方程可得，直线的斜率设直线倾斜角为，则 所以，选项C正确.故选：C.2．圆的半径为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将圆的一般方程化成标准方程即得半径.【详解】解：因为圆的方程为，化为标准方程得，所以.故选：B.3．已知向量，．若向量与向量平行，则实数m的值是（    ）A．2 B．-2 C．10 D．-10【答案】A【分析】利用向量共线定理即可得到，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值.【详解】向量，，，向量与向量，，平行，存在实数使得，坐标化得到：，解得．故选：A．4．同时抛掷质地均匀的两枚骰子，朝上的点数之和为5的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】同时抛掷质地均匀的两枚骰子，基本事件有：，，，，，，共36种，向上的点数之和为6包含的基本事件有：，，，，共4个，向上的点数之和为5的概率是．故选：B．5．如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.6．有5个条件类似的大学毕业生A，B，C，D，E应聘某两个相同的工作岗位，每个岗位只招聘1人，如果每个人被录用的机会相等，则学生A被录用的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先列举出所有的等可能的情况，再找到被录用的基本事件总数即可求出结果.【详解】因为中录用两人的样本空间为，共有10个基本事件，其中被录用的基本事件有4个，所以大学生被录用的概率为.故选：C7．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案．【详解】由题意，圆的方程，可化为，根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，所以直线l的方程为：，化简得：，故选A【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为A． B． C． D．2【答案】D【解析】画出图形，作，则，可得，沿轴将坐标平面折成的二面角，故两异面直线所成的角为，结合已知，即可求得答案.【详解】如图为折叠后的图形，其中作则，沿轴将坐标平面折成的二面角两异面直线所成的角为．可得：故由得故选：D.【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 二、多选题9．已知直线，下列结论正确的是（    ）A．向量是直线的一个方向向量B．过点且与直线平行的直线为C．过点且与直线垂直的直线为D．点关于直线对称的点的坐标为【答案】ABD【分析】由直线的方向向量，直线的位置关系，点关于直线的对称点对选项逐一判断，【详解】对于A，直线的斜率为，则是直线的一个方向向量，故A正确，对于B，过且与直线平行的直线为，即，故B正确，对于C，过且与直线垂直的直线为，即，故C错误，对于D，过且与直线垂直的直线与直线的交点为，则点关于直线对称的点的坐标为，故D正确，故选：ABD10．设为同一随机试验中的两个随机事件，的对立事件分别为，，，下列说法正确的是（    ）A．若，则事件与一定不互斥B．若，则事件与一定对立C．若，则的值为D．若事件与相互独立且，则【答案】AD【分析】根据随机事件相互独立，互斥，对立的定义，以及公式，即可判断选项.【详解】， ,因为，则，所以，即事件与事件不互斥，故A正确；，,，事件与事件不一定对立，故B错误；，,，则事件与不一定独立，所以 故C错误；因为事件与相互独立，所以与也相互独立，，解得，故D正确．故选：AD．11．已知直线，，，以下结论正确的是（       ）．A．不论a为何值时，与都互相垂直B．直线过定点，过定点 C．如果与交于点，则点M的轨迹方程为D．如果与交于点，则的最大值是【答案】ABD【分析】A.根据两直线垂直的公式，即可判断；B.根据含参直线过定点问题，即可判断；C.取特殊点，即可判断；D.首先求交点的坐标，代入两点间距离公式，即可判断.【详解】对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；对于B,无论为何值，直线过定点，过定点，故B正确；对于C，（0，0）能使方程成立，但不能使直线方程成立，故C不正确；对于D，联立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正确．故选：ABD．12．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC.请添加一个条件，使该三棱锥的四个面均为直角三角形，则这个添加的条件可以是（    ）A．AB⊥AC B．PB⊥BC C．AB⊥BC D．AC⊥BC【答案】BCD【分析】直接证明A错误；再由已知结合线面垂直的判定定理及性质说明BCD正确．【详解】解：若AB⊥AC，设AB＝a，AC＝b，AP＝c，求得BC＝，PB＝，PC＝，则cos∠PBC＝＝，则∠PBC为锐角，同理可得∠PCB，∠BPC为锐角，则△PBC为锐角三角形，故A错误；因为PA⊥底面ABC，面ABC，所以，若PB⊥BC，，所以平面，又平面，所以，所以该三棱锥的四个面均为直角三角形，故B正确；若AB⊥BC，，所以平面，又平面，所以，所以该三棱锥的四个面均为直角三角形，故C正确；若AC⊥BC，，所以平面，又平面，所以，所以该三棱锥的四个面均为直角三角形，故D正确．故选：BCD． 三、填空题13．已知向量，，且，则的值为____________．【答案】4【分析】由向量垂直可以直接利用向量数量积为0，代入坐标公式即可求解【详解】 可得，即，解得故答案为：414．已知从点A（3，2）发出一条光线，经过x轴反射到点B（-1，3），则光线经过的路程的长度为___________.【答案】【分析】先求出点A（3，2）关于x轴的对称点为C（3，﹣2），由两点间距离公式求出|BC|，即可得到答案．【详解】解：因为点关于轴的对称点为，由光线的对称性可知，光线经过的路程即线段的长度，因为，所以光线经过的路程的长度为.故答案为：.15．若圆上总存在两个点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】由题知圆与圆有两个交点，进而根据圆的位置关系求解即可.【详解】解：由题意：圆与圆有两个交点，即两圆相交，两圆的圆心分别为，，半径分别为2与1，∴，∴或，实数故答案为：16．已知矩形中，，点，分别为线段的中点，现将沿翻转，直到与首次重合，则此过程中，线段的中点的运动轨迹长度为____________．【答案】##【分析】先分析出点的轨迹是一个半圆，再结合三角形中位线定理可得中点的轨迹也是一个半圆，即可得出结果【详解】由已知得:四边形是正方形，沿DM翻转的过程中，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，这个半圆与DM垂直设线段的中点，线段的中点，线段EF的中点为，在以为半径的半圆上取一点，连接，并取的中点，连接，，由三角形中位线定理可得：，，，，则点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，线段AC的中点的运动轨迹长度为．故答案为：   四、解答题17．已知三个点，，.(1)求直线的方程；(2)求点关于直线的对称点的坐标.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出斜率，然后利用点斜式可求出直线方程，（2）设，则由的中点在直线上，和，列方程组可求出点的坐标.【详解】（1）由题意得，所以直线的方程为，即，（2）设，因为点关于直线的对称点为，所以，即，解得，所以点的坐标为.18．已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为，2个红球记为，现从中随机摸出两个球．（1）写出所有的基本事件；（2）求两个球中恰有一个黑球的概率；（3）求两个球中至少有一个黑球的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】(1) 以有序实数对表示摸球的结果即可表示出所有的基本事件.(2)求所有基本事件个数，求两个球中恰有一个黑球的基本事件个数，从而可求出概率；(3)结合对立事件概率的关系，求出两个球中没有黑球的概率后，即可求出两个球中至少有一个黑球的概率.【详解】（1）以有序实数对表示摸球的结果，列举如下：．（2）记“两个球中恰有一个黑球”为事件，则事件包括共6种情况，所以． （3）记“两个球中至少有一个黑球”为事件，则事件的对立事件为“两个球中没有黑球”，易知，所以．【点睛】本题考查了基本事件的列举，考查了古典概型求概率，属于基础题.19．如图，在长方体中，，，点为中点．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)直线与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）以点为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，利用数量积的性质证明，，利用线面垂直判定定理证明平面；（2）求出平面的法向量和直线的方向向量，根据空间向量夹角余弦公式求两向量的夹角余弦，取其绝对值可得直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系则，，， ，，所以，，因为，所以，故，因为，所以，即，平面，平面，, 所以平面；（2）由（1）知是平面的一个法向量，所以,设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．20．甲､乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m行､第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.0.50.30.20.60.50.30.80.70.6 （1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？【答案】（1）；（2）甲队队员获胜的概率更大一些.【解析】（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰这个事件的发生应是甲队1号输给乙队1号，然后甲队2号上场，三场全胜，由独立事件概率公式计算可得；（2）第三局比赛甲胜可分为3个互斥事件：甲队1号胜乙队3号，甲队2号胜乙队2号，甲队3号胜乙队1号，分别计算概率后相加可得．然后由对立事件概率得出乙队胜的概率，比较后要得结论．【详解】解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件（i）甲队1号胜乙队3号，概率为；（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为；(iii)甲队3号胜乙队1号，概率为故第3局甲队队员胜的概率为.则第3局乙队队员胜的概率为因为，故甲队队员获胜的概率更大一些．【点睛】关键点点睛：本题考查相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式．解题关键是把事件“第3局比赛甲队队员获胜”分斥成3个互斥事件，然后分别求得概率后易得出结论．21．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【答案】(1) (2)【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为．设平面的法向量为，则，即，令，解得．所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．（2） 因为，设，又，则，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为．因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．又因为，所以．【解析】二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题.【方法点晴】求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设，二要会处理分式如本题中的，当然这一步有时使用均值不等式（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值. 22．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为(1)（i）设点，求外接圆的方程；（ii）求证：直线AB恒过定点，并求出该定点Q的坐标；(2)若两条切线于y轴分别交于两点，求面积的最小值．【答案】(1)（i），（ii）证明见解析，(2) 【分析】（1）（i）由题意可知外接圆即以为直径的圆，即，化简即可；（ii）以 为直径的圆的方程与圆方程相减可得直线AB的方程.（2）设直线与的斜率分别为，与圆相切则，即．所以是方程的两实根，再根据弦长公式求其最小值，代入三角形面积公式求解.【详解】（1）（i） 由题意可知外接圆即以为直径的圆，而 ，故所求方程为，即（ii）圆即，得：，即直线的方程为，即，所以直线恒过定点．（2）设直线与的斜率分别为，与圆相切，所以，即．所以，而，故  所以面积的最小值为．