2022-2023学年湖南省岳阳教研联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳教研联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则等于（ ）
A．RB．C．D．
【答案】A
【分析】根据补集与并集的计算求解即可.
【详解】由于，所以.
故选：A
2．函数在处切线的斜率为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解.
【详解】因为函数，
则，
所以，也即函数在处切线的斜率，
故选：.
3．经过向圆作切线，切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程为，
由到切线距离为得，
此时切线方程为即.
故选：C
4．平行六面体中，则它的对角线的长度为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量加减运算法则，可知，两边同时平方根据向量数量积可得对角线的长度.
【详解】由于，而
所以，将等式两边同时平方得：
，
，
所以，
即对角线的长度为.
故选：D.
5．已知函数，以下说法错误的是（ ）
A．是奇函数
B．在定义域上递增
C．的值域为
D．没有零点
【答案】B
【分析】A项：观察定义域是否关于原点对称，然后再验证是否成立；
B项：计算比较的值即可判定错误；
C项：将函数的解析式分离常数得到，利用指数函数的性质和复合函数的单调性求得取值范围，进而根据奇函数的图象的对称性可得到函数值域；
D项：分母不为零，分子大于零恒成立可得.
【详解】对于选项A：因为，即，
所以定义域为关于原点对称，
又由于，
所以是奇函数，故A正确；
对于选项B：由于，
所以不能说函数在定义域内单调递增，故B不正确；
对于选项C：，
当从0（不包括0）增大到时，的值从0（不包括0）递减到，值域为，
故的值从增大到，取值范围是，
由奇函数图象的对称性可知，当时，的取值范围是，
所以的值域是，故C正确；
对于选项D：恒成立，故没有零点，故正确.
综上，错误的选项为B.
故选：B
6．等比数列前项和为.若，则数列前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质可知，，仍为等比数列，公比为，代入可得；将代入中，可得，即可得到等比数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，再根据相邻项异号求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
又，解得，
所以，则，即是首项为，公差为的等差数列，
令，则，易知，
所以，
故当或6时，取最小值，最小值为，
故选：
7．中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把用表示，把用表示，所以用表示，
也用表示，然后多项式展开即可.
【详解】由，
而，又由已知可得，所以
.
故选：C
8．已知直线交抛物线于轴异侧两点，且，过O向作垂线，垂足为D，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．或
【答案】B
【分析】设直线方程，代入抛物线消去x，由和韦达定理，解得，所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆上，可求轨迹方程.
【详解】设直线，将它与抛物线方程联立得：，
则，
设，则，
所以，故或，
当时，位于轴同侧，故舍去，所以，
所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上.
故选：B
二、多选题
9．已知数列的前项和，以下说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．当且仅当时，取最小值
C．若，则
D．若，则n的最小值为12
【答案】BCD
【分析】对于A，根据与之间的关系，求得数列的通项公式，可得答案；对于B，整理的解析式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意，建立方程，可得答案；对于D，由题意，建立不等式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】当时，；当时，；
则，，由，故A错误；
，所以当且仅当时取最小值，故B正确；
若，则，故，故C正确；
令，由，则，
即当时，，而当时，，所以若，则的最小值为12，故D正确.
故选：BCD.
10．已知双曲线的焦点为，且到直线的距离为4，则以下说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．若在双曲线上，且，则或1
C．若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为
D．若在双曲线上，且，则的面积为
【答案】AC
【分析】由焦点到渐进线的距离为4可得，，可得离心率；即A正确；根据双曲线定义即可求得判断B；根据焦点弦公式可知的最小值为双曲线的通径可判断C；根据双曲线定义即勾股定理分别计算出的长，即可的面积从而判断D.
【详解】由已知可得，到直线的距离为，
所以，即离心率为，所以A正确；
若在双曲线右支，由焦半径公式可知，所以只能在双曲线左支，
故，所以B错误；
若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为双曲线的通径，
即，故C选项正确；
若在双曲线上，且，设，不妨设，
由双曲线定理和勾股定理得：
，
所以，
则的面积为；
即D错误.
故选：AC.
11．七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（ ）
A．当时，它有外接球，且其半径为
B．当时，它有外接球，且其半径为
C．当它有内切球时，
D．当它有内切球时，
【答案】ABD
【分析】以为底面作长方体，计算，时外接球半径，得到AB正确；设垂足为，根据相似得到，计算得到C假D真，得到答案.
【详解】以为底面作长方体，则这个长方体的外接球即为多面体的外接球，
当时，外接球半径为，
当时外接球半径为，故AB均为真命题；
设分别为中点，若这个多面体有内切球，则其球心必在上，且半径为.
设垂足为，则由，可得，可得，故C假D真.
综上，本题答案为ABD.
故选：ABD
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．它是偶函数
B．它是周期为的周期函数
C．它的值域为
D．它在这个区间有且只有2个零点
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性定义可知，，即A正确；由周期函数得定义可知，与不一定相等，故B错误；将函数写成分段函数的形式并画出函数图像可得C正确；结合C以及偶函数的性质，可判断D正确.
【详解】由于，所以它是偶函数，故A正确；
由于，它们不相等，所以它不是周期为的周期函数，即B错误；
现在来考察这个函数在内的情况.
当时，
当时，
分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：
由此可知函数值域为，即选项C正确；
又由于这个函数是偶函数，它在内没有零点，而在有2个零点，故正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可.例如在判断C选项时，首先可讨论时的函数解析式，画出图形；当时图像重复的图像，而时，关于轴作出对称图像即可.
三、填空题
13．复数，则__________.
【答案】3
【分析】根据复数的乘法运算和复数相等，即可求解.
【详解】，则，解得：.
故答案为：3.
14．已知的最小值为__________.
【答案】##
【分析】结合函数的单调性求得正确答案.
【详解】设，
任取，
，
其中，
所以，
所以在上递增，最小值为.
故答案为：
15．已知是定义在上的奇函数，且恒成立.当时，则的值为__________.
【答案】
【分析】由可知的图象关于对称，又是定义在上的奇函数，故是周期的周期函数，即可解决.
【详解】由可知的图象关于对称，
因为是定义在上的奇函数，
所以是周期的周期函数，
所以
故答案为：
16．线从出发，经两直线反射后，仍返回到点.则光线从P点出发回到P点所走的路程长度（即图中周长）为_________.
【答案】
【分析】利用点关于直线的对称点，结合两点之间的距离公式即可求解.
【详解】显然关于直线的对称点，由反射光线性质知，
设关于直线的对称点，则，则，
故，由反射光线性质知
所以各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，
且.
故答案为：
四、解答题
17．已知数列的前项和为，且满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)-若数列的前项和为，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得，利用累乘法即可得数列的通项公式；
(2)利用裂项相消可得,即可证明.
【详解】（1）解：由已知，时，，
与已知条件作差得：
所以，
所以,n=1成立
（2）证明：因为，
所以.
得证.
18．一块土地形状为四边形，其中，
(1)求这块土地的面积；
(2)若为中点，在CD边上，且EF将这块土地面积平分，求CF的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将四边形的面积转化为，结合余弦定理来求得正确答案.
（2）设，结合正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系式等知识求得，利用三角形的面积列方程，由此求得的长.
【详解】（1）由已知得，，
，所以，
在三角形中，由余弦定理得，解得.
所以这个四边形的面积为：
.
（2）连接，
由于，又将四边形面积平分，
故，
设，则由正弦定理得，
所以，所以，
，
设，则，
解得，所以.
19．已知直线交圆于两点.
(1)当时，求直线的斜率；
(2)当的面积最大时，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用圆心到直线的距离列方程，由此求得的值.
（2）求得的表达式并利用基本不等式求得最大值，由点到直线的距离公式求得.
【详解】（1）设圆心到直线的距离为（），圆的圆心为，
半径，直线，
当时，三角形是等边三角形，，
于是（负根舍去）.
（2），
等号当且仅当时成立，
当时，（负根舍去）.
20．某校高二年级共有1000名学生，分为20个班，每班50人.为方便教学，将学生分为两个层次，其中A层次4个班，共200人，B层次16个班，共800人.某次数学考试，A层次200名学生成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图，估计A层次200名学生的平均成绩和方差；
(2)若层次800名学生的平均成绩为分，方差为.试根据以上数据估计该校高二整个年级此次考试的平均分和方差
【答案】(1)84，59
(2)72，
【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数以及方差的计算方法，可得答案.
（2）根据平均数的计算方法可求得该校高二整个年级此次考试的平均分；利用方差，展开计算，结合（1）的结果，可得答案.
【详解】（1）估计A层次200名学生的平均分为，
估计方差为
.
（2）由题意得，
设这1000名学生的成绩为，其中前200个数据为A层次学生成绩.


由于，
，
同理，
所以，
.
21．四棱锥中，底面是菱形，交于，且底面
(1)若分别为中点，求四面体的体积；
(2)若二面角的余弦值为，求的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）等体积法转化解决即可；
（2）根据空间向量求二面角得到方法解决即可.
【详解】（1）由底面是菱形，交于，且底面，分别为中点，
所以，
（2）由题知，以为原点，以为非负轴建立空间直角坐标系.
因为底面是菱形，交于，且，
所以，设，
所以，，
设平面的法向量为，
所以得，取，
设平面的法向量为，
所以得，取，
所以，解得，
所以.
22．已知点在椭圆上，且椭圆的焦距为
(1)求椭圆的方程；
(2)过作倾斜角互补的两直线，这两直线与椭圆的另一个交点分别为，求的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列方程组解决即可；（2）设直线方程，联立方程组，运用韦达定理，找等量关系，代值化简即可解决.
【详解】（1）由题知，椭圆焦点在轴上，
因为
，解得
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为并与椭圆方程联立得：
设，
所以
由已知，，
所以，从而，
即
整理得
将上述韦达定理关系式代入并整理得
即，
若，则直线经过点，不符合题意，
所以，
所以直线的斜率为1.