2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市四校联考高二上学期11月月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市四校联考高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知向量则（    ）A．21 B．－21 C．20 D．－20【答案】A【解析】先求的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求数量积.【详解】，所以.故选：A2．圆与圆的位置关系为（    ）A．内切 B．外切 C．相交 D．相离【答案】C【解析】计算出两圆的圆心距离，比较与半径之和、半径之差的大小关系即可得解.【详解】由题意，圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为3，因为两圆心的距离，所以，所以两圆相交.故选：C.3．已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】利用椭圆的定义得到 ，再根据求解.【详解】由椭圆知：a=3，由椭圆的定义得：，所以，又因为，所以，故选：A4．“”是直线与直线平行的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先根据直线平行的充要条件求出a，然后可得.【详解】若，则，，显然平行；若直线，则且，即.故“”是直线与直线平行的充要条件.故选：C5．已知，为空间向量，若已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的模的公式与夹角公式计算求解即可.【详解】解：因为，平方可得，所以，所以，因为，所以．故选：D6．如图所示，平行六面体中，，则与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．0【答案】D【分析】设，利用空间向量的线性运算结合空间向量数量积的定义，得到，从而得到答案．【详解】解：设，则，，则所以，则与所成角为，所以与所成角的余弦值为0．故选：D．7．已知，是双曲线的左，右焦点，点在上，垂直于轴，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，设，根据已知可得，.结合双曲线的定义即可求得与的关系，进而求得离心率.【详解】由已知可得，中，.设，则，.根据双曲线的定义可知，，即，，.所以，，.故选：B.8．过抛物线焦点F的直线，与抛物线交于A、B两点，设，，则 （    ）A．-4 B．4 C．4 D．-4【答案】A【解析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，化为，利用根与系数的关系即可得出【详解】解：设直线的方程为，设，联立，消去化为，所以，所以，所以，故选：A【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论设是过抛物线的焦点的弦，若，则（1）；（2）弦长（是直线的倾斜角）；（3）二、多选题9．已知空间向量，则（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据向量模的计算公式可判断A;看向量是否有倍数关系可判断B;根据数量积的计算，看是否为零，可判断C；根据向量的运算结果，可判断D.【详解】因为，所以A正确；因为不存在使，所以B不正确；因为，所以，所以C正确；因为，所以，所以D不正确,故选：AC.10．已知点，直线和圆，则（    ）A．点M在圆C外 B．直线l过定点C．直线l与圆C相交 D．点M到直线l距离的最大值为【答案】ABD【分析】根据给定条件求出直线l过的定点、圆C的圆心和半径，再逐一分析各选项判断作答.【详解】直线恒过定点，圆的圆心，半径，对于A，，则点M在圆C外，A正确；对于B，直线l过定点，B正确；对于C，因，即点在圆C上，直线l与圆C相交或相切，C不正确；对于D，点M到直线l距离，当且仅当时取“=”，即点M到直线l距离的最大值为，D正确.故选：ABD11．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（    ）A．C的焦距为 B．C的离心率为C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为【答案】BC【分析】根据椭圆方程直接判断A、B的正误，判断圆心与椭圆左焦点的距离及圆心横坐标对应椭圆点与圆心的距离，与圆的半径长度关系判断C的正误，要使最小，保证P、Q、D共线，即，设应用两点距离公式及椭圆方程求最小值，即可判断D的正误.【详解】由椭圆方程知：，故焦距为，故A错误；C的离心率，故B正确；由圆D的方程知：圆心，半径为，而且椭圆上的点到D的距离为，故圆D在C的内部，故C正确；设，则，而，又，可知，故，故D错误.故选：BC12．若方程，所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（    ）A．曲线C可以表示圆 B．若曲线C是椭圆，则C．曲线C不可能表示直线 D．若，则C为双曲线【答案】ACD【解析】当时，化简方程可判断出正确；曲线是椭圆，则，解出可判断不正确；由，，，可判断出正确；若，则，可判断出正确．【详解】当时，方程，化为，表示圆，所以正确；曲线是椭圆，则，解得，所以不正确；由，，，所以曲线不可能表示直线，所以正确；若，则，为双曲线，所以正确；故选：ACD三、填空题13．如图，正方形的边长为，则__________________.【答案】【分析】在正方形中确定向量的模以及夹角，再根据数量积的定义进行计算即可.【详解】解析：正方形的边长为，则AC长为 向量 的夹角为 ，故，故答案为：.14．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，按照空间中两点的距离公式求解即可.【详解】解析：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，可得所以，所以＝所以|EF|＝故答案为：15．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是_________.【答案】【解析】设出A和M的坐标，由中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，然后代入圆的方程即可得到答案.【详解】设，线段的中点M为.则，即①.∵端点A在圆上运动，∴.把①代入得：.∴线段的中点M的轨迹方程是.故答案为.四、双空题16．已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为______，P到直线l距离的最小值为______．【答案】     1     ##0.75【分析】将P到y轴距离转化为P到准线的距离减1，再由抛物线的定义转化为，再由点到直线的距离求解即可；先求出平行于直线l且与抛物线相切的直线方程，再由两平行线间的距离求解即可.【详解】设抛物线C：上的点P到直线的距离为，到准线的距离为，到y轴的距离为，由抛物线方程可得：焦点F的坐标为，准线方程为，则，，因此，因为的最小值是焦点F到直线的距离，即，所以的最小值为；设平行于直线l且与抛物线C：相切的直线方程为，由，得，因为直线与抛物线C：相切，所以，解得，因此该切线的方程为，所以两平行线间的距离为，即P到直线l距离的最小值为．故答案为：1；.五、解答题17．已知直线和圆，设与的交点为P，直线与圆C的交点为A，B，求：(1)点P的坐标；(2)线段的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）两直线方程联立方程组可解得交点坐标；（2）求出圆心到直线的距离，用勾股定理计算弦长．【详解】（1）由得所以点P的坐标为；（2）因为圆C的方程可化为，所以圆C的圆心坐标为，半径为，所以圆心C到直线的距离为，所以.18．已知空间三点，，（1）求以为边的平行四边形的面积;（2）若向量分别与垂直，且||=，求的坐标.【答案】（1）；（2）或【详解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴||=,||=,cos∠BAC==,∴∠BAC=60°,∴S=||·||sin∠BAC=7.(2)设向量=(x,y,z),则由·=0, ·=0,| |=,得∴或∴=(1,1,1)或(-1,-1,-1).【点睛】本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行;（2）两向量垂直.19．已知椭圆经过（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于不同两点是坐标原点，求的面积.【答案】(1)；(2)．【分析】(1)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，可求出椭圆的方程；(2)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用进行求解．【详解】(1)由题意得: , 解得: 即轨迹E的方程为                           (2)记，的方程为由消去得，      所以   设直线与轴交于点20．如图，在四棱锥中，底面，，，，.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量法即可求得异面直线的夹角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夹角余弦值.【详解】（1）因为底面，底面，所以，，且，，所以，以为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.（2），设平面的法向量为，则，即，令，得.易知是平面的一个法向量，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.21．如图，在直三棱柱中，，分别是棱 的中点，点在线段上.(1)当直线与平面所成角最大时，求线段的长度；(2)是否存在这样的点，使平面与平面所成的二面角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在， A1P=【分析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大；（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得.【详解】（1）直线PN与平面A1B1C1所成的角即为直线PN与平面ABC所成角，过P作,即PN与面ABC所成的角，因为PH为定值，所以当NH最小时线面角最大，因为当P为中点时，,此时NH最小，即PN与平面ABC所成角最大，此时.（2）以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间坐标系，则：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)设=，， ，设平面PMN的法向量为，则，即，解得，平面AC1C的法向量为, .所以P点为A1B1的四等分点，且A1P=.22．已知椭圆的左､右焦点为､，离心率为，过的直线交C于A､B两点，若的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆上存在两点关于直线对称，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依题意可得，即可求出，再根据椭圆的离心率求出，最后根据的关系求出，即可求出椭圆方程；（2）设椭圆上两点，关于对称，则的方程为，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由求出的取值范围，再由的中点在直线上，即可得到与的关系，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）周长为，即，.又因为，，椭圆方程，（2）设椭圆上两点，关于对称，则的方程为，由消去有：由得①又因为的中点在直线上，所以，即所以②，由①②得：，即【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．