2022-2023学年江苏省常州市北郊高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市北郊高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．150°

【答案】C

【解析】先求斜率，再求倾斜角即可．

【详解】解：直线的斜截式方程为，

∴直线的斜率，

∴倾斜角，

故选：C．

【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．

2．已知数列为等整数列，，则（    ）

A．8 B．12 C．15 D．24

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质得到，计算得到答案.

【详解】，故，.

故选：B

3．设双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求出，由渐近线方程求出，进而计算出，求出离心率.

【详解】由题意得：，

渐近线方程为，故，

所以，

故，

∴离心率，

故选：A.

4．已知直线，圆，其中.若点在圆C上，则直线l与圆C的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切

【答案】B

【分析】点在圆C上，可得，计算圆心到直线l的距离，即得解

【详解】由题意，点在圆C上，则

圆的圆心半径为

圆心到直线l的距离

故直线l与圆C的位置关系是相切

故选：B

5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.

【详解】

如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为，

因为点在C上，根据抛物线定义可得，

且，则，所以为等腰三角形，且，

在中，，即

解得，即F到l的距离为.

故选:C.

6．已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交于点(与,不重合),则的最大值为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】C

【分析】首先确定定点和定点的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到为定值,利用三角函数求解最值即可.

【详解】根据题意:

动直线:过定点,

动直线:过定点,

,

直线:和直线:满足:,

,

直线与直线交于点,

,

,

为直角三角形,且,

设,则,,

,

,

,

当即时,的最大值为.

故选:C.

7．在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，结合题意找出与的关系式，即可求解.

【详解】设，则，，根据题意，易得直线，直线.

由，令，得，因此边AB上各分点坐标为，

由，令，得，因此延长线上的对应分点坐标为，

结合题意，可知 ，化简得.

因此点P满足的方程为：.

故选：C.

8．已知点P是圆C：的动点，直线l：上存在两点A，B，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合点到直线的距离公式以及圆的几何性质求得正确答案.

【详解】圆，圆心为，半径为.

依题意，是圆上任意一点，直线上存在两点，使得恒成立，

故以为直径的圆的半径的最小值是到直线距离的最大值，

即，

所以的最小值是.

故选：A

二、多选题

9．Farey数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数，将分母小于等于的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，这个序列称为级Farey数列，用表示.如的各项为：，，，，，共有5项.则（    ）

A．数列都有奇数个项 B．6级Farey数列中，中间项为

C．6级Farey数列共有11项 D．6级Farey数列各项的和为

【答案】BD

【分析】根据题意计算出1级Farey数列和6级Farey数列，即可得到结果.

【详解】1级Farey数列各项为：，，A错误；

6级Farey数列：，，，，，，，，，，，，，

共有13项，中间项为，各项的和为，故B正确，C错误，D正确.

故选:BD.

10．下列结论错误的是（    ）

A．过点的直线的倾斜角为

B．直线与直线之间的距离为

C．与关于y轴对称

D．己知两点，过点的直线l与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是

【答案】ABD

【分析】求出过点的直线的倾斜角可判断A；求出直线与直线之间的距离可判B；求出直线关于y轴对称直线方程可判断C；求出过点的直线l与线段有公共点的斜率的取值范围可判断D.

【详解】对于A，设过点的直线的倾斜角为，则，

且斜率为，由可得，故A错误；

对于B，可化为，所以直线与直线之间的距离为，故错误；

对于C，直线与轴的交点为，且直线的斜率为，所以直线关于轴对称的直线的斜率为，由点斜式方程可得直线关于与轴对称的直线方程为，即为，故正确；

对于D，如下图，过点的直线l与线段有公共点，直线的斜率为，

直线的斜率为，则直线l的斜率的取值范围是，故错误.

故选：ABD.

11．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴的夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O到圆锥顶点的距离为4，关于所得截口曲线，下列选项正确的是（    ）

A．曲线形状为圆 B．曲线形状为椭圆

C．点O为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点 D．该曲线上任意两点间的最长距离为6

【答案】BCD

【分析】由题意可得截面与旋转轴成角，可得截面为椭圆，即可判断A、B，画出轴截面的图象，解直角三角形计算出的长以及轴的长，由此可判断C、D；

【详解】解：由题意可得截面与旋转轴成角，可得截面为椭圆，故A错误，B正确；

画出轴截面的图象如下图，

，，，

，，，，

曲线上任意两点最长距离为，

点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断C、D正确；

故选：BCD

12．已知点，直线，圆，过点分别作圆的两条切线，（，为切点），在的外接圆上，则（    ）

A．直线的方程是

B．被圆截得的最短弦的长为

C．四边形的面积为

D．的取值范围为

【答案】BCD

【分析】求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程判断A；求出直线所过定点，得到圆心到直线的最小距离，再由垂径定理求被圆截得的最短弦的长判断B；直接求出四边形的面积判断C；求解，再分别减去的外接圆半径与加上的外接圆半径求得的取值范围判断D．

【详解】对于A，圆：，即，圆心坐标为，半径，

又，则的中点为，

又，则以为直径的圆的方程为，

又圆：，

两式作差可得直线的方程是，故A错误；

对于B，直线：可化为，

由，解得，所以直线过定点，

因为，所以定点在圆内，

当且仅当时，弦长最短，又，

所以的最小值为，故B正确；

对于C，四边形的对角线、互相垂直，

则四边形的面积，

圆心到直线的距离，

因为，，

所以，故C正确；

对于D，由题意知，的外接圆恰好是经过、、、四点的圆，

因为的中点为外接圆的圆心，

所以圆上的点到点距离最小值是，

最大值是，

所以的取值范围为，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第10项为___________．

【答案】55

【分析】分析数列的特点，从三项起，每一项均为前2项的数字之和，进而求解结论．

【详解】解：1，1，2，3，5，8，13，21，，则从三项起，每一项均为前2项的数字之和，

，，

故则该数列的第10项为55.

故答案为：55．

14．若直线l被直线：与：截得的线段长为，则直线l的倾斜角θ（）的值为_____________．

【答案】15°或75°##75°或15°

【分析】先计算两平行直线的距离，再由截得的线段长为，可得直线与直线之间的夹角，从而可得答案.

【详解】因为直线：与：平行，

所以与之间的距离．

如图，

设直线与，的夹角为（），

因为直线被直线与截得的线段长，

所以，解得．

因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为45°，

所以直线的倾斜角的值为15°或75°．

故答案为：15°或75°

15．已知满足关系，则的取值范围是__________．

【答案】

【详解】由得，所以点对应的点在半圆上，如下图所示

表示动点和定点连线的斜率，由图，，所以 .

16．如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点,双曲线的离心率为______________．

【答案】3

【分析】以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立直角坐标系，设出、、的坐标，利用点分有向线段所成的比为，，求出的坐标，结合双曲线方程，求出关于的表达式，即可得到的值．

【详解】解：如图，以的垂直平分线为轴，直线为轴，

建立直角坐标系，则轴．

因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．

依题意，记，，，，

其中为双曲线的半焦距，，是梯形的高．

由定比分点坐标公式，得点的坐标为，．

设双曲线的方程为，则离心率．

由点、在双曲线上，

得

解得，化简可得，

所以，离心率.

故答案为：3

四、解答题

17．已知直线：和：．

(1)若，求实数m的值；

(2)若，求实数m的值．

【答案】(1)2

(2)或

【分析】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解.

（2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解.

【详解】（1）由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，

因为，

所以，

解得或2，

①当时，由此时直线，重合，

②当时，，此时直线，平行，

综上：若，则实数m的值为2．

（2）①当时，直线的斜率为0，此时若必有，不可能.

②当时，若必有，解得，

由上知若，则实数m的值为或．

18．记为数列的前n项和，已知，．

(1)求，；

(2)求数列的通项公式．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】(1)根据递推关系可求得，.(2)由可求得通项公式.

【详解】（1）当时，，解得或(舍)

当时，，解得或(舍)

所以，.

（2）当时，①，②，

由①-②得，，因为，所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，

当时，由(1)可知，满足，故数列的通项公式为

19．滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为千米.一“直角型”公路A-B-C（即）关于OB对称且与滴水湖圆O相切，如图建立平面直角坐标系.

(1)求直线BC的方程；

(2)现欲在湖边和“直角型”公路A-B-C围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心到湖中心O的距离.

【答案】(1)

(2)设计见解析，此时圆心到湖中心O的距离km.

【分析】（1）根据图象设直线方程，根据直线与圆相切求解参数；

（2）计算圆与湖相切，与直角公路相切时的长度即可.

【详解】（1）由题可得直线BC的倾斜角135°，设直线BC的方程，与圆相切，

，

所以直线BC的方程

（2）若要使旅游集散中心面积最大，则应设计为圆与湖相切，且与直角公路相切，

设此时，则圆半径，

由可得，解得，

所以此时圆心到湖中心O的距离为km.

20．设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切.

(1)求圆心C的轨迹E的方程；

(2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长.

【答案】(1)

(2)10

【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程；

（2）求出直线l的方程，结合双曲线的几何性质即可得解.

【详解】（1）圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切，

则，

所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线，

其标准方程

（2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，

其方程，恰好经过，

N在线段上，，

，

即，

所以的周长

21．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线（），一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：上的点N，再反射后又射回点M，设P，Q两点的坐标分别是，．

(1)证明：；

(2)求抛物线方程．

【答案】(1)证明详见解析

(2)

【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，从而证得.

（2）结合光线的知识求得点的坐标，根据三点共线求得抛物线的方程.

【详解】（1）根据抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，且与轴不平行，

设直线的方程为，

由消去并化简得，

设，，

则.

（2）依题意，，所以，则.

设关于直线的对称点为，

则，解得，即.

则，，则，

三点共线，，

所以，解得，

所以抛物线的方程为.

22．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且，是坐标原点，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可求出椭圆方程；

（2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出，再表示出点到直线的距离，根据面积公式及基本不等式计算可得.

【详解】（1）解：由题意，又，解得，，

的方程为；

（2）解：设直线的方程为，，，，

则，消元整理得，

所以，，

则，

由，

得，

，

到直线的距离，

设，而在时递增，

当即，即时，的最大值为．