2022-2023学年江苏省连云港市海州高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省连云港市海州高级中学高二上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省连云港市海州高级中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知点，则直线AB的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过两点的直线斜率公式为，代入数据可得答案.【详解】点，根据斜率公式，代入数据得：故选：B2．已知点，则线段AB的中点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即.故选：A.3．双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，所以双曲线渐近线为.故选：B4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（    ）A．145项 B．146项 C．144项 D．147项【答案】A【分析】由已知可得能被除余且被除余的数即为能被除余，进而得通项及项数.【详解】由已知可得既能被整除，也能被7整除，故能被整除，所以，，即，故，即，解得，故共项，故选：A.5．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，所以，∴，，所以.故选：B.6．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.【详解】解：因为直线方程为，即，所以直线过定点，所以圆方程为，即，故选：A.7．记为等比数列的前n项和．若，则的值为（    ）A．24 B．48 C．39 D．36【答案】C【分析】根据等比数列的性质可知，，是等成比数列，由此列式计算即可.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列，∴，，∴，∴．故选：C8．已知椭圆，为的左、右焦点，为上一点，且的内心为，若的面积为，则的值为（    ）A． B．3 C． D．6【答案】D【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式即可求的值.【详解】由题意得，的内心到轴的距离等于内切圆的半径，即为的纵坐标，即为，因为为上的一点，所以,即，又因为，所以，，整理得，解得（舍）或，所以，所以，所以，即，解得.故选：D. 二、多选题9．已知等比数列 ，=1， ，则（     ）.A．数列 是等比数列B．数列 是递增数列C．数列 是等差数列D．数列 是递增数列【答案】ACD【分析】求出数列与的通项公式，再判断是否是等比或等差数列；等差数列的单调性决定于公差的正负，等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与1的大小.【详解】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确； ，数列 是递增的等差数列，故C，D正确.故选：ACD.10．下列说法错误的是（    ）A．直线在y轴上的截距为3B．经过定点的直线都可以用方程表示C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1D．点关于直线的对称点是【答案】ABC【分析】对A，截距是直线与轴的交点纵坐标；对B，当直线与轴垂直时，不能用斜截式表示；对C，先根据平行求出参数，再用平行线间的距离公式求出距离可判断；对D，两点关于一条直线对称，说明这条直线是这两点连线的中垂线.【详解】A：直线在y轴上的截距：令，A错误；B：与轴垂直的直线没有斜率，表示不了B错误；C：直线与直线平行，则，则可化为，，C错误；D：过点的直线斜率为，又得斜率为，斜率之积为，故两直线垂直；又点的中点为，中点在上，故是点的对称轴，D对.故选：ABC11．以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（    ）A．双曲线与椭圆有相同的焦点B．在平面内，设、为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有且仅有3条【答案】AD【分析】求出双曲线与椭圆的焦点坐标，即可判断A，由椭圆的定义可分析B选项，根据椭圆和离心率的取值范围可分析C选项，考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，从而可分析D选项.【详解】解：对于A：双曲线与椭圆的焦点均为，故A正确；对于B：根据椭圆的定义，在平面内，设、为两个定点，为动点，当时，动点的轨迹为椭圆，当时，动点的轨迹为线段，当时，动点的轨迹不存在，故B错误；对于C：方程的两根为，，不能为椭圆和双曲线的离心率，故C错误；对于D：双曲线的右焦点为，，，当直线的斜率不存在时，代入双曲线中，可得，所以；当直线的斜率存在时，设其直线方程为，联立，可得，显然，所以，所以，，所以，解得，故D正确.故选：AD.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点P的轨迹为圆，下列结论正确的是（    ）A．圆C的方程是B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线距离为1，该直线斜率为D．在直线上存在两点D，E，使得【答案】ABD【分析】利用求轨迹方程的方法确定圆的方程可判断选项A，，再根据边与角的关系求出即可确定两条切线的夹角判断选项B，根据圆心到直线的距离可求出斜率判断选项C，利用轨迹方程的办法判断选项D.【详解】设，由得，整理得，故A正确；过点A向圆引切线，设其中一个切点为，圆的半径为，且,所以，所以，所以两条切线的夹角为，故B正确；设点A作直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为1，圆的半径为，所以圆心到直线的距离等于1，即，解得，故C错误；假设存在，使得，所以，化简得，因为的轨迹为，所以，解得或，故直线上存在两点或,使得成立，故D正确；故选：ABD. 三、填空题13．经过点，斜率为3的直线方程为___________．【答案】【分析】知道直线过的点和直线的斜率，直接代入点斜式方程可得答案.【详解】经过点，斜率为3的直线方程为化简得：故答案为：14．圆与圆的位置关系是___________．【答案】相交【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据可确定两圆关系.【详解】圆可化为，圆心为，半径；圆，圆心为，半径；圆心距，，，易得，两圆相交.故答案为：相交.15．在数列{an}中， ，若 的前n项和为，则项数n＝________.【答案】2022【分析】利用裂项求和法求得 的前n项和的表达式，由题意列出方程，求得答案.【详解】由题意得，＝＝，∴n＝2022,故答案为：202216．已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则___________．【答案】【分析】由题意可得求落在区间内项的个数，再根据通项公式列不等式求解即可.【详解】由题意，即求满足的正整数的个数，即，，故，共个.故答案为： 四、解答题17．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上．(1)求该抛物线的方程；(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．【答案】(1)(2)6 【分析】（1）求出焦点坐标，设出抛物线方程，从而得到，求出及抛物线方程；（2）由焦半径公式进行求解.【详解】（1）中，令得：，则焦点坐标为，故设抛物线方程为，故，解得：，故抛物线方程为；（2）设点A到该抛物线焦点的距离为，由抛物线的定义可知：.18．已知在等差数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值．【答案】(1)(2)当时，取得最大值，最大值为25. 【分析】（1）设出公差，利用等差数列的性质计算出公差，从而求出通项公式；（2）令，解不等式，求出当时，取得最大值，并用等差数列求和公式求出最大值.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得：，则的通项公式为；（2）因为，令得：，令得：，故当时，取得最大值，其中，故最大值为.19．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.(1)求直线的方程；(2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据边上高所在直线与的位置关系可确定直线的斜率，又已知点，所以可得直线的方程；（2）由（1）中的方程及边上的中线所在的直线过点，可求点的坐标，又设点，根据的中点在直线上及点在上列方程组可求解的值，得点的坐标，从而可求直线的方程.【详解】（1）解：由边上的高在上可知，垂直于直线所以 又，所以直线的方程为：，即的方程为．（2）解：因为是边上的中线所在的直线，又的方程为则联立，解得，故点坐标为．设点，则的中点在直线上，所以，即①，又点在上，则有②，联立①②解得，．即，所以，所以直线的方程为：即直线的方程为：．20．已知圆，点在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C相切，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）将代入圆的方程求解即可；（2）分直线l过原点与不过原点两种情况设直线的方程，再结合直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列式求解即可.【详解】（1）因为在圆C上，故，解得，故圆C的方程为.（2）当直线l在x轴、y轴上的截距均为0时，此时圆C圆心在y轴上，故直线存在斜率.设直线l的方程为，则到的距离，即，解得，此时直线的方程为.当直线l在x轴、y轴上的截距不为0时，设直线l的方程为，即，则，即，故，此时直线的方程为.综上，直线l的方程为或21．已知数列中，，且对任意，都有．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】(1)构造等比数列求通项；(2)利用错位相减法求和.【详解】（1）由得，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.（2）由（1）得，因为，所以，，以上两式相减得，所以.22．已知焦点在x轴上，短轴长为的椭圆C，经过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点M、N在椭圆C上，且以MN为直径的圆经过点A，求点A到直线MN距离的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用待定系数法可求椭圆的标准方程.（2）可证直线过定点，从而可求点A到直线MN距离的最大值．【详解】（1）设椭圆标准方程为，则且，故，故椭圆标准方程为：.（2）若直线的斜率与直线的斜率均存在且非零，故可设，.由可得，故，故，故.同理，，. 故，故直线的方程为：，整理得到：，整理得到：，，故直线过定点.若直线的斜率与直线的斜率一个不存在，另一个则为零，此时或，此时的方程为：，也过，综上，直线过定点.所以为的距离的最大值为，当且仅当即时取最大值.