2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期12月阶段检测数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期12月阶段检测数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学河西分校高二上学期12月阶段检测数学试题 一、单选题1．是等差数列，，，的第（    ）项．A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【分析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项．【详解】解：等差数列，，中，，令，得是这个数列的第100项．故选：C．2．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案．【详解】根据题意，数列2，，6，，，其中，，，，其通项公式可以为，故选：．3．在等差数列 中，若，则等于A．9 B．27 C．18 D．54【答案】C【详解】,解得，则，故选C.【解析】等差数列的性质——等差中项.4．等比数列为递减数列，若，，则（    ）A． B． C． D．6【答案】A【解析】，可得与为方程的两个根，又，解得，，再利用通项公式即可得出.【详解】∵等比数列为递减数列，，，∴与为方程的两个根，解得，或，，∵，∴，，∴，则，故选:A.5．已知为等比数列的前n项和，若，，则（    ）A．15 B． C． D．【答案】C【分析】两式联立，可求出首项和公比，代入求解即可.【详解】设公比为q，显然，由已知得，，所以，故，即，所以，故选：C.6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列，等比数列的性质化简计算即得.【详解】因为数列是等差数列，，所以，，因为数列是等比数列，，所以，，所以.故选：D.7．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ）A． B．C． D．3【答案】B【分析】先由等差数列的前项和公式设出，，再按照直接计算即可.【详解】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.故选：B.8．已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.其中正确的序号是A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项和，结合这些规律来判断各题的正误．【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示： 对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为，命题①正确；对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，且数列的前项之和为，当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为，第行最后一项位于数列的项数为，且，则位于数阵第行第项（即），所以，           ，命题③错误；由①知，，且，则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，则有，可得出，由于，，则，，因此，满足的最小正整数，命题④正确．故选B.【点睛】本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题． 二、多选题9．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+4a3＝S7，则以下结论正确的有（   ）A．a14＝0 B．S14最小 C．S11＝S16 D．S27＝0【答案】ACD【分析】根据题意，由2a1+4a3＝S7，可得a14＝0，然后逐项分析即可得解.【详解】因为数列{an}为等差数列，设其等差为d，由于2a1+4a3＝S7，即6a1+8d＝7a1+21d，即a1+13d＝a14＝0，故A正确；当时，Sn没有最小值，故B错误；因为S16﹣S11＝a12+a13+a14+a15+a16＝5a14＝0，所以S11＝S16，故C正确；S27＝＝27（a1+13d）＝27a14＝0，故D正确.故选：ACD.10．各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，下列命题正确的是（    ）A．若，则必有是中最小的项 B．若，则必有C．若，则必有 D．若，则必有【答案】BC【分析】根据给定条件，结合等比数列的性质，利用计算判断A，B；利用推理判断C，D作答.【详解】正项等比数列的前n项积为，，公比，当时，，而，则，即，而，有，数列单调递减，因此数列前7项均大于1，从第8项起均小于1，必有是中最大的项，A不正确；由选项A知，，B正确；当时，，而，则，数列单调递减，，有，C正确；因，由C选项知，，数列单调递减，而与1的大小关系不确定，D不正确.故选：BC11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ）A．若，则数列前5项的和最大B．设是等差数列的前项和，若，则C．已知，则使得成等比数列的充要条件为D．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022【答案】AB【分析】对A，可以采用临界法得到和的最大值；对B，运用等差数列的和的性质易判断；对C，等比中项的个数一般是2个；对D，可以采用基本量法计算即可.【详解】A：由通项公式知：数列是严格递减数列，又所以数列前5项的和最大，A对；B：在等差数列中，成等差，又，B对；C：成等比数列，所以不是充要条件，C错；D：为等差数列, ，，所以D错，故选：AB12．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】AC【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.【详解】A选项，，.累加得，，即.又，所以，A正确；B选项，由A选项可知，故，B不正确；C选项，，.累加得，，所以，C正确；D选项，由C选项中同理可知，，D不正确.故选：AC. 三、填空题13．在数列中，若，，则________．【答案】【分析】根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.【详解】因为，即，所以数列是公差为的等差数列，又，所以.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.【答案】【解析】利用和表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果.【详解】设个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为则，    ，解得：故答案为：【点睛】本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系.15．若数列满足，，，则的值为__________．【答案】【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定.【详解】解：，则，，则，，则，，，，∴数列为周期数列，且周期，又，∴．故答案为：-3.16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数，根据上述运算法则得出，至少需经过个步骤变成(简称为步“雹程”).一般地，一个正整数首次变成需经过个步骤(简称为步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推，关系如下：已知数列满足为正整数)，，若，即步“雹程”对应的的所有可能取值的中位数为__________.【答案】【分析】由结合递推公式逆推，逐步计算可得的可能取值，再将的取值按从小到大的顺序排列，由中位数的定义可得中位数.【详解】因为，，倒推可得：；；；；；；故的所有可能取值为，中位数为，故答案为：. 四、解答题17．（1）在等差数列中，公差，前项和，求及；（2）在等比数列中，已知公比，前5项和，求.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）运用基本量法表示出联立方程解方程组可求出；（2）将用基本量可以求出首项，然后代入通项公式可得的值.【详解】（1）由题意得由得.代入后化简得解得或（舍去），从而.（2）由，解得，所以.18．已知数列的前n项和为，且满足(1)证明：数列是等比数列；(2)求的值．【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；（2）根据等比数列的性质求得、，进而求得比值．【详解】（1）证明：由①得②，②①得，即，当时，，解得，是以为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1）知，，．19．设等差数列的公差为，前项和为，已知，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用基本量代换，求出公差d，写出通项公式；（2）对的正负讨论，求出的前项和..【详解】（1）因为，所以即解得，又，所以..（2）因为，当时，，则，；当时，，则，.综上所述：.【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；（2）数列求和常用方法：①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．20．设数列的前项和为，已知，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求与.【答案】(1)证明见解析(2)， 【分析】（1）利用进行整理原式，可得，即可证明为等比数列；（2）根据（1）的结论即可求，再利用即可得到.【详解】（1）因为，所以，则又，所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列（2）由（1）可得，即，当时，；当时，符合，所以.21．在①；②成等比数列；③；这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且           ．(1)求数列的通项公式；(2)定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间[1，2022]内所有“调和数”之和．【答案】(1)(2)1086 【分析】（1）选①或③，利用求得；选②，结合等比中项的知识求得等差数列的公差，从而求得.（2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得.【详解】（1）选①解：因为，所以当时，，当，时，因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，所以，.选②解：因为成等比数列，所以，因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，所以，所以，所以.选③解：因为，所以当时，．所以，所以或，因为是各项均为正数的等差数列，所以，又当n＝2时，，所以，所以，所以，所以或（舍去），其公差，所以.（2）设，所以，令，且b为整数，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，所以区间[1，2022]内所有“调和数”之和＝1086.22．已知等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，数列满足关系式，求数列的通项公式；(3)设（2）中的数列的前项和为，对任意的正整数，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由已知条件列方程组求解基本量并代入即可；（2）先代入求得数列的递推公式，再用累加法计算出的通项，并代入首项检验即可；（3）先求数列的前项和为，代入原不等式后将分离，再求不含的式子的最值即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知，有，解得所以，即等差数列的通项公式为.（2）因为，当时，，所以累加得，即.当时，也满足上式.所以数列的通项公式为.（3）由（2），所以，原不等式变为，即，对任意恒成立，为任意的正整数，.的取值范围是.