2022-2023学年江苏省南通市通州区高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市通州区高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】分析直线的斜率及在轴上的截距即可.

【详解】由可得：，

所以直线的斜率，轴上的截距为，

所以直线不经过第一象限，

故选：A

2．已知圆：，则该圆的圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把一般方程化为标准方程即可求解

【详解】圆：化为标准方程得

，

所以圆心坐标为，

故选：D

3．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直的关系列式求解作答.

【详解】因直线：与直线：垂直，则有，解得.

故选：B

4．直线被圆截得的弦长为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】由垂径定理求解即可

【详解】因为圆的圆心为，半径为2，

且圆心到直线的距离为，

所以直线被圆截得的弦长为，

故选：C

5．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知，求解即可

【详解】由题意可知双曲线方程为且，

解得，

所以双曲线的标准方程为，

故选：B

6．若点，分别在椭圆和直线上运动，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知，利用点到直线的距离公式转化为三角函数的最值，即可求解

【详解】由椭圆方程可设，

则到直线的距离为

，

当时，，

所以的最小值为，

故选：A

7．设椭圆：的左､右顶点为，，左､右焦点为，，上､下顶点为，，关于该椭圆，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：离心率为；丁：四边形的面积为.如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】先由甲乙丙丁都为真得到有关等式，在分别讨论即可求解

【详解】若甲为真命题，则；

若乙为真命题：；

若丙为真命题，则；

若丁为真命题，则；

当甲乙都为真时，有，解得，则，

此时，，则丙和丁都是假命题；

所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真；

若甲、丙和丁为真，则，解得，此时，符合题意；

若乙、丙和丁为真，则，解得，此时，不符合题意；

综上可知：乙命题为假命题

故选：B

8．设椭圆：的上顶点为，左､右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于点，若，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的条件，结合椭圆定义用a表示，在中利用余弦定理列式计算作答.

【详解】依题意，，由得：，而，

于是得，令椭圆半焦距为c，有，如图，

在中，由余弦定理得：，

即，整理得，因此，解得，

所以椭圆的离心率为.

故选：C

二、多选题

9．已知直线：，则（    ）

A．直线的倾斜角为

B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为

C．点到直线的距离为2

D．直线关于轴对称的直线方程为

【答案】ACD

【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D

【详解】对于A：因为直线：的斜率为，

所以直线的倾斜角为，故A正确；

对于B：令，则；令，则；

所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误；

对于C：点到直线的距离为，故C正确；

对于D：设在直线关于轴对称的直线上，

则关于轴对称的点在直线上，

则有，即，

所以直线关于轴对称的直线方程为，故D正确；

故选：ACD

10．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（    ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为

C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定条件，求出b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.

【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，

双曲线的离心率，A不正确；

双曲线的渐近线方程为，B正确；

，C正确；

，，则，

有，D不正确.

故选：BC

11．已知点在直线：上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则（    ）

A．存在点，使得四边形为菱形 B．四边形的面积最小值为

C．的外接圆恒过两个定点 D．原点到直线的距离不超过

【答案】BCD

【分析】由到直线距离结合已知条件可判断AB；由点共圆以及点求出直线，利用点到直线的距离可判断CD

【详解】对于A：当四边形为菱形时，，

则，

又到直线的距离为，

所以不存在点，使得四边形为菱形，故A错误；

对于B：由A可知，，

所以四边形的面积，

所以四边形的面积最小值为，故B正确；

对于C：设，由图象可知四点在以为直径的圆上，

圆的方程为，

即，

令，解得或，

所以的外接圆恒过两个定点，故C正确；

对于D：过的圆的方程为，

由得直线的方程为：，

则原点到直线的距离为

，故D正确；

故选：BCD.

12．已知抛物线：的焦点为，准线为，经过点的直线与抛物线相交，两点，，在上的射影分别为，，与轴相交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，，则

【答案】ACD

【分析】设，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，得到，即得选项A正确；，所以选项B错误；求出即得选项C正确；由题得,求出，即得选项D正确.

【详解】解：设，则，

当直线斜率显然不能为零，设其方程为，联立抛物线方程得，所以 .

所以，所以，所以选项A正确；

所以，所以选项B错误；

如图，设 过点作 ，则，

由题得直线的斜率为,

所以，

所以，所以选项C正确；

由题得,

所以 ，

所以.

所以.

所以选项D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．写出一个关于直线对称的圆的标准方程___________.

【答案】（答案不唯一，形如）

【分析】设出圆心坐标，利用圆心在直线上可得圆心满足的条件，设圆的半径为1，即可得到答案.

【详解】设圆心坐标为，半径为，

则圆的方程为

因为圆关于对称，

所以在直线上，

则，

则圆的方程，

取，设圆的半径为1，

则圆的方程，

故答案为： (不唯一，形如)

14．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________.

【答案】

【分析】利用直角三角形的几何性质得出，利用两点间的距离公式可求得结果.

【详解】在平面直角坐标系中，，

则为直角三角形，且为斜边，

故.

故答案为：

15．已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为___________.

【答案】##

【分析】根据题意，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，进而且，再计算得，进而得答案.

【详解】如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，

设抛物线的方程为，

由已知得且，

所以，解得，

所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为

故答案为：

四、双空题

16．已知双曲线的左､右焦点分别为、，若点在双曲线的渐近线上，且，则的面积最大值为___________，实数的最小值为___________.

【答案】         

【分析】（1）设，由题意可知点在圆上，则到轴的最大距离为，即可求面积的最大值；由渐近线与圆有交点可求实数的最小值.

【详解】设，由得，

整理得，即，

所以点在圆上，

则到轴的最大距离为，

所以的面积最大值为；

又渐近线与圆有交点，

所以，即，整理得，解得，

所以实数的最小值为，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上的点满足，求y0的值.

【答案】（1）（2）       

【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义得a，再根据c求b（2）由得,再与椭圆方程联立解得y0的值.

试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为

其半焦距c=6.

因为点P（5,2）在椭圆上，

所以

所以

故所求椭圆的标准方程是

（2）由得

即代入椭圆方程得：

 故    

18．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.

(1)求点B的坐标；

(2)求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）已知，直线的斜率为，则直线的斜率为1，由，可得直线的方程，直线和直线交点为B，可求出点B的坐标；

（2）设点，根据中点坐标公式，可得点的坐标为，代入所在直线的方程可求出点C所在直线方程，联立所在直线的方程，求出点C的坐标，即可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程.

【详解】（1）

因为直线的斜率为，，

所以直线的斜率为1，

又因为，

所以直线的方程为，

联立，解得，

故点B的坐标为.

（2）设点，所以.

因为点是边的中点，

所以点的坐标为，

因为边上的中线所在直线的方程为，

所以，

即.

联立，解得，

所以点的坐标为，

所以直线的斜率，

故直线的方程为，

即.

19．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与到直线的距离相等.

(1)求点的轨迹方程；

(2)设不经过原点的直线与点的轨迹相交于A，B两点，___________.

①若直线经过点，则；②若，则直线经过定点.

在①②中任选一个补充在上面的横线上，并给出证明.

（注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分.）

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）方法1：设，根据两点间距离公式即可列出方程，整理后得出点的轨迹方程；方法2：根据抛物线的定义，可知点的轨迹为抛物线，焦点为，则，即可得出点的轨迹方程；

（2）选①：设直线的方程为，，，联立抛物线方程，利用韦达定理可求出，可证明；选②：设直线的方程为，，，联立抛物线方程，利用韦达定理可求出，由于，所以，解得，可证明直线经过定点.

【详解】（1）

方法1：设，

因为点到点的距离与到直线的距离相等，

所以，

整理得，

所以点的轨迹方程为.

方法2：因为点到点的距离与到直线的距离相等，

所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以点的轨迹方程为.

（2）选①.

由题意可知，直线的斜率不为0，

设直线的方程为.

联立，消，得

，，

设，，则，

所以，

所以，故.

选②.

由题意可知，直线的斜率不为0，且不经过原点，

设直线的方程为.

联立，消，得

，，

设，，则.

所以，

因为，所以，，

所以，

解得或（舍），

此时，，

故直线经过定点.

20．已知圆：，圆：.

(1)若两圆相交，求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由圆与圆的位置关系求解即可；

（2）由点直线的距离结合勾股定理求解即可

【详解】（1）由题意，得，半径，，半径，

因为两圆相交，所以，

所以，

即，解得，

又因为，

所以，

故的取值范围为.

（2）两圆的公共弦所在直线方程为，

假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2，

因为，半径，

所以点到直线的距离，

又因为，

所以，

解得，

因为，

所以.

21．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，右顶点为，点，，.

(1)求双曲线的方程；

(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或或或

【分析】（1）由题意得，求解即可；

（2）设：，联立，由根与系数的关系结合三角形面积求解即可

【详解】（1）由题意，得，

解得，，，

所以双曲线的方程为.

（2）由题意可知，直线的斜率不为0，

设：，

联立，消，得，

由，解得.

设，，则.

所以，

所以的面积，

由，

化简，得，

解得，，，，

所以直的方程为或或或.

22．在平面直角坐标系中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左､右顶点，点在双曲线上，且位于第一象限.

(1)直线与椭圆相交于第一象限内的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，求的值；

(2)直线与椭圆相交于点（异于点A），求的取值范围.

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）方法1：设直线，联立双曲线方程和椭圆方程，求得P，M两点坐标，因为，，则可求出，，所以；方法2：设，，因为点在双曲线上，点在椭圆线上，得出x，y的关系，即可求出，，再利用，，三点共线，即可求出的值.

（2）设直线的方程为，联立双曲线方程求出点坐标，联立椭圆方程求出N点坐标，即可求出，因为点位于第一象限，可求k的取值范围，则可求出函数值域，即的取值范围.

【详解】（1）方法1：设直线，

联立，消，得，

所以，解得，

设，则，

所以.

联立，消，得，

设，则，

所以.

因为，，

所以，

，

所以.

方法2设，，

因为，，

所以，

.

因为点在双曲线上，所以，

所以，所以.

因为点在椭圆线上，所以，

所以，所以.

因为，，三点共线，所以，

所以.

（2）设直线的方程为，

联立，消，得

，

解得，，

所以点的坐标为，

因为点位于第一象限，所以，

解得，联立，消，得

，

解得，，

所以点的坐标为，

所以，

设，则，

所以.

因为函数在区间上单调递增，

所以当时，，所以，

所以，即，

故的取值范围为.

【点睛】（1）此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率之积和斜率之和证明结论.

（2）解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．