2022-2023学年江苏省宿迁第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

江苏省宿迁市第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试卷

一、单选题（每小题5分，共8题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

2.已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（）

A.14 B.28 C.35 D.70

3.已知直线与平行，则系数（）

A.-3 B.-6 C. D.

4.在等比数列中，，是方程的根，则的值为（）

A. B. C. D.或

5.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（）

A. B. C. D.

6.若两个等差数列，的前项和分别为，，且满足，则的值为（）

A. B. C. D.

7.在平面直角坐标系中，已知，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

8.椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（）

A.  B.

C.  D.

二、多选题（每小题5分，共4题，计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（）

A. B. C. D.

10.已知曲线，下列结论正确的是（）

A.若曲线表示椭圆，则且

B.若时，以为中点的弦所在的直线方程为

C.当时，，为焦点，为曲线上一点，且为直角三角形、则的面积等于4

D.若时，存在四条过点的直线与曲线有且只有一个公共点

11.设首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）

A.数列为等比数列

B.数列的通项公式为

C.数列为等比数列

D.数列的前项和为

12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）

A.双曲线的离心率为2

B.若，且，则

C.以线段，为直径的两个圆外切

D.若点在第二象限，则

三、填空题（每小题5分，共4题，计20分）

13.求过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程.

14.点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为__________.

15.已知数列、满足.其中是等差数列，若，则_____________.

16.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为__________.

四、解答题（共6题，第17题10分，其余个体每题12分，计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为，.

（1）若，试求点的坐标；

（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于，两点，当时，求直线的方程.

18.（12分）已知数列的前项和为，，.

（1）若，，成等差数列，求的值；

（2）若为等比数列，求.

19.（12分）某台商到大陆一创业园投资144万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费支出24万美元，以后每年比上一年增加8万美元，每年销售蔬菜收入100万美元，设表示前年的纯利润（前年的总收入-前年的总支出-投资额）.

（1）从第几年开始获得纯利润?

（2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以96万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以32万美元出售该厂.问哪种方案较合算?

20.（12分）已知椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

21.（12分）已知数列中，，，.设.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设数列的前项的和为，求.

（3）设，设数列的前项和，求证：.

22.（12分）已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，点，分别在的两条渐近线上，点在线段上，且，.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点作直线交于，两点，问；在轴上是否存在定点，使为定值?若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.

【参考答案】

一、单选题（每小题5分，共8题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.答案：D

【分析】由直线的方程可得斜率等于，设直线的倾斜角为，则，，由此解得的值.

【解答】解：直线的斜率等于，设直线的倾斜角为，

则，，解得，

故选：D.

【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题.

2.答案：C

【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解.

【解答】解：因为等差数列中，，

所以，

则数列的前14项之和.

故选：C.

【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题.

3.答案：B

【分析】根据它们的斜率相等，可得，解方程求的值.

【解答】解：直线与直线平行，

它们的斜率相等，

故选：B.

【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等.

4.答案：B

【分析】由韦达定理得，由等比数列通项公式性质得：，由此求出答案.

【解答】解：在等比数列中，是方程的根，

，

，

，

，

故选：B.

【点评】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.

5.答案：A

【分析】根据抛物线的定义，可得，求出，即可求抛物线的焦点坐标；

【解答】解：抛物线上的一点到焦点的距离为，

，

，

抛物线的焦点坐标为：.

故选：A.

【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积是计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题.

6.答案：A

【分析】先由题设求得与的关系式，进而求得与的关系式，即可求得结果.

【解答】解：依题意，可设，，

又当时，有，，

，

故选：A.

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式的应用，属于基础题.

7.答案：D

【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.

【解答】解：设点，由得：，整理得：，即点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，

而圆，的圆心，半径为，

依题意，圆与圆有公共点，即有，

即，即，

而，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D.

【点评】本题考查了动点的轨迹以及圆与圆的位置关系的应用，属于中档题.

8.答案：B

【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，到两焦点的距离分别为，，焦距为，分别运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和离心率公式，结合二倍角公式，即可得到结论.

【解答】解：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，到两焦点的距离分别为，，焦距为，

由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，

解得，，

由余弦定理可得，

则，

化为，

可得，

由，，

可得.

故选：B.

【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要是离心率，考查三角形的余弦定理和二倍角公式的运用，考查化简变形能力，属于中档题.

二、多选题（每小题5分，共4题，计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.答案：AB

【分析】由已知结合等比数列的定义检验各选项即可判断.

【解答】解：若数列是等比数列，则，

A：，符合等比数列，A正确；

B：，符合等比数列，B正确；

当时，CD显然不符合题意.

故选：AB.

【点评】本题主要考查了等比数列的判断，属于基础题.

10.答案：ACD

【分析】根据椭圆标准方程可判断A；利用点差法可求直线的方程可判断B；利用的面积等于可判断C；设过点与双曲线有且只有一个公共点的直线为，与双曲线方程联立方程组判断方程只有1个解时的值即可.

【解答】解：对于A，若曲线表示椭圆，则且，故A正确；

对于B，若时，曲线为粗圆，设，，中点，故，，

又，两式相减得，

所在的直线方程为，故B错；

对于C，当时，曲线表示焦点在上的椭圆，

当时，则的面积等于，故C正确；

设过点与双曲线有且只有一个公共点的直线为.

代入双曲线方程，消去整理得，

当时，，；

时，，与渐近线平行也成立.

故过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.故D正确；

故选：ACD.

【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查中点弦所在直线的方程的求法，考查运算求解能力，属中档题.

11.答案：AD

【分析】由题设逐个选项判断其正误，即可选出正确选项.

【解答】解：，，又，

数列是首项、公比均为2的等比数列，故选项A正确；

又，，数列的前项和为，故选项D正确；

又由可得：，当时，，又当时，，

，故选项B错误；

，，数列不是等比数列，故选项C错误，

故选：AD.

【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式及前项和公式的应用，属于中档题.

12.答案：ACD

【分析】设，则，根据两点坐标求得，可得，可判断A；由，可得，根据双曲线的定义得，结合条件求出的值，可判断B；设的中点为，为坐标原点，则为的中位线，所以，根据两个圆的位置关系可判断C；结合二倍角的正切公式来判断D的正确性.

【解答】解：对于A，设，则，

因为，，直线与的斜率率之积等于3，

所以，得，故A正确；

对于B：因为，所以，

而为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得，

又，且，则，

由，可得，

即，解得，故B错误；

对于C：设的中点为，为坐标原点，则为的中位线，

所以，

则以线段为直径的圆，圆心为，半径，

以线段为直径的圆，圆心为，半径，

所以，故两个圆外切，故C正确；

对于D：设，则，，，，，

则渐近线方程为，，，

又，，

.

，.故D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力，是中档题.

三、填空题（每小题5分，共4题，计20分）

13.答案：或

【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程.当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程.

【解答】解：当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即.

当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，

故直线的方程为，

故满足条件的直线方程为或.

【点评】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想.

14.答案：9

【分析】根据抛物线的定义可得，再结合基本不等式即可得解.

【解答】解：当的斜率不存在时，为通径，且，故.

当的斜率存在时，设，，，

由，可得，

所以，.

又，

又，

当且仅当，时取等号.

故答案为：9.

【点评】本题考查了抛物线的定义以及简单几何性质，属于中档题.

15.答案：1011

【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得，进而求解结论.

【解答】解：数列、满足.其中是等差数列，，

，

.

故答案为：1011.

【点评】本题主要考查等差数列的性质以及对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.

16.答案：

【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及余弦定理求解即可.

【解答】解：由，，

则，，

设，

则，，

由双曲线的性质可得，，

则，

即，

即，，，，

在直角三角形中，

由勾股定理可得，

即，

即，

故答案为：.

【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属基础题.

四、解答题（共6题，第17题10分，其余个体每题12分，计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）

【分析】（1）设，代入圆方程，解得，进而可知点的坐标.

（2）设直线的斜率为，由的坐标表示出直线的解析式，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可求出直线的方程.

【解答】解：（1）设，由题可知：，即，

解得：或，

则的坐标为或；

（2）设直线的斜率为，由，得到直线的解析式为，即，

圆的半径，，

圆心到直线的距离，即，

解得：或，

则直线的方程为或.

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：锐角三角函数定义，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及直线的点斜式方程，是一道综合性较强的试题.

18.（12分）

【分析】（1）根据递推关系式求出前三项，再结合等差数列的性质即可求解结论；

（2）结合等比数列的性质即可求解结论.

【解答】解：（1）数列的前项和为，，.，

，可得，

，可得，

，，成等差数列，

，

可得，解得或；

故若，，成等差数列，则或；

（2）为等比数列，

，解得；

当时，，故公比为，

.

【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题目.

19.（12分）

【分析】（1）纯利润就是纯收入大于零，结合等差数列的求和公式将纯收入表示为年份的表达式，通过求解不等式得出开始获得纯利润的年份；

（2）分别求出两种不同方法所获利润，得出每种方案获得的利润和年份的关系，比较得结论.

【解答】解：由题意知，每年的经费是以24为首项，8为公差的等差数列，

则前年的纯利润.

（1）纯利润就是要求，，

解得，由知，从第三年开始获利；

（2）①年平均利润，当且仅当时取等号.

故此方案获利（万美元），此时；

②，当时，.

故第②种方案共获利（万美元），

故比较两种方案，获利都是288万美元.

但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案.

【点评】本题考查函数模型的建立问题，关键要理解题意，考查转化与化归的思想，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.

20.（12分）

【分析】（1）由离心率的值和的值，可得的值，进而求出椭圆的方程；

（2）联立直线与椭圆的方程，由判别式为0，可得参数的关系，再由直线的方程与联立，可得的坐标，设的坐标，由，整理可得的坐标.

【解答】解：（1）由题意可得，，可得，

所以椭圆的方程为：；

（2）联立，整理可得：，

由题意可得，

可得；可得，，即，

联立，可得，，即，

设在轴上存在，

由题意可得，可得，

可得，

即，

可得，可得，

即定点.

【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题.

21.（12分）

【分析】（1）由，变形为，根据，代入即可证明结论.

（2）由（1）可得，利用时，，可得，利用求和公式即可得出数列的前项的和为.

（3），利用裂项求和与数列的单调性即可得出结论.

【解答】解：（1）证明：，

，

，，

数列是等比数列，首项为1，公比为2.

（2）由（1）可得，

时，，时也成立.

，

数列的前项的和为.

（3）证明：，

数列的前项和，

.

【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其求和公式、累加求和方法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

22.（12分）

【分析】（1）不妨设点在第一象限，则.通过，推出.得到，结合焦点坐标，求解，，得到椭圆方程.

（2）解法一：设点，.当轴时，直线的方程为，代入，得.设出的坐标，然后求解即可.当直线不与坐标轴垂直时，设直线的方程为，代入，设点，，利用韦达定理，结合已知条件推出结果.

解法二：当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入，设点，，结合正弦定理以及余弦定理，通过向量的数量积推出结果.当直线与轴重合时，则点，为双曲线的两顶点，不妨设点，.验证即可.

【解答】解：（1）不妨设点在第一象限，则.

因为，则，.

由已知，，即，

即.

因为，则，即.

因为为渐近线的倾斜角，则，即.又，则，.

所以双曲线的方程是.

（2）解法一：

设点，.

当轴时，直线的方程为，代入，得.

不妨设点，，则.

当轴时，直线的方程为，代入，得.

不妨设点，，则.

令，得，.

当直线不与坐标轴垂直时，设直线的方程为，代入，得，

即.

设点，，则，.对于点

对于点，

.

所以存在定点，使为定值.

解法二：

当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入，得，即.

设点，，则，.

在中，由余弦定理，得，

设点，则

令，得，此时，.

当直线与轴重合时，则点，为双曲线的两顶点，不妨设点，.

对于点，.所以存在定点，使为定值.

【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题