2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知直线l经过两点，则直线l的斜率是（    ）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】直接由斜率公式计算可得.【详解】由题意可得直线l的斜率.故选：B.2．直线和直线之间的距离为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】直接利用两平行直线的距离公式，即可求解.【详解】所求距离.故选：A.3．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据以线段为直径的圆的圆心为的中点，半径为求解.【详解】因为点，，所以所求圆的圆心坐标为，半径，所以所求圆的标准方程为.故选：C4．抛物线的准线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】化为标准形式求解即可.【详解】解：可化为，所以抛物线的准线方程为．故选：C5．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ）A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0【答案】D【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，故选：D.【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.6．已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为 的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】方法1：连接，由已知可得△为直角三角形，可用c的代数式表示三边，再代入即可得结果.方法2：过P作PE⊥x轴于点E，由已知可得点P的坐标，因为点P在双曲线上，所以点P的坐标适合双曲线的方程，代入可得关于a、c的齐次式方程，即可求得结果.【详解】方法1：连接 ，因为P在双曲线的右支上，则∵双曲线 的左焦点 ，∵△为等腰三角形， ∴ ，∴又∵，∴△为等边三角形，即：，∴∴在直角△中，，  则∴ 即：解得： 方法2：过P作PE⊥x轴于点E，∵双曲线 的左焦点 ，∵△为等腰三角形， ∴ ，∴∴在直角△中， ， 则 ∵点P在双曲线上，∴ 即： ∴ 即：∴令 即： 解得： 即：∵ ∴故选：A.7．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积.【详解】设，，则有，两式作差得：，即，弦中点坐标为，则，又∵，∴，∴，又∵，∴可解得，，故椭圆的面积为.故选：C8．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是 A．  B． C． D．【答案】D【解析】转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）.【详解】设，圆心为，则，当时，取到最大值，∴最大值为．故选：D.【点睛】本题考查圆上点与椭圆上点的距离的最值问题，解题关键是圆上的点转化为圆心，利用圆心到动点距离的最值加（或减）半径得出结论． 二、多选题9．若方程表示的曲线为，则下列说法中正确的有（    ）A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则其离心率C．若为双曲线，则或D．若为椭圆，且焦点在轴上，则【答案】BC【分析】对于A，举例判断，对于B，先由方程表示双曲线求出的范围，再分类求解离心率即可，对于C，由方程表示双曲线求出的范围，对于D，由方程表示椭圆且长轴在轴上可求出的范围.【详解】对于A，若，则方程化为，它表示圆，所以A错误，对于B，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线，，则；若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线，，则，所以B正确，对于C，若表示双曲线，则，解得或，所以C正确，对于D，若，则，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，若，则，则方程表示焦点在轴上的椭圆，所以D错误，故选：BC.10．下列说法正确的是（    ）A．过点且在x､y轴截距相等的直线方程为B．直线在y轴上的截距为C．直线的倾斜角为D．过点且垂直于直线的直线方程为【答案】BD【分析】A选项忽略了过原点的情况，错误，B选项计算截距得到正确，直线斜率为时，倾斜角为，C错误，根据垂直关系计算直线方程得到D正确，得到答案.【详解】过点且在x､y轴截距相等的直线方程为和，A错误；取，，则直线在y轴上的截距为，B正确；直线的斜率为，倾斜角为，C错误；垂直于直线的直线方程斜率为，过点的直线方程为，即，D正确.故选：BD.11．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（    ）A．直线与圆相交B．的最小值是1C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3D．直线被圆截得的弦长取值范围为【答案】BCD【分析】由圆心到直线的距离可判断，当的值最小时，则，可判断，当时，切线长最小，可判断，可知直线过定点，可判断．【详解】圆，，圆心，半径，圆心到直线的距离为：，直线与圆相离，故A错误；当的值最小时，则，的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故B正确；从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确；直线过定点，所以直线被圆截得的弦长最长时，所截弦长为过点和圆心的圆的直径，即弦长的最大值为8，最短的弦长为垂直与该直径的弦长，和圆心的距离为，最短弦长为，故直线被圆截得的弦长取值范围为，D正确．故选：BCD．12．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在双曲线上，且轴，直线与轴分别交于点.若（为双曲线的离心率），则下列说法中正确的有（    ）A．B．C．直线的斜率为D．直线的斜率为【答案】AC【分析】根据相似得到，，根据长度关系得到，解得离心率，A正确，，B错误，直线的斜率为，C正确，直线的斜率，D不正确，得到答案.【详解】根据题意得，，，， 根据，则，所以， 由，可得，所以， 根据，即，整理可得，即，即，因为，解得，故A正确. 又，故B错误；，故直线的斜率，故C正确；直线的斜率，故D不正确.故选：AC 三、填空题13．若直线与垂直，则___________.【答案】4【分析】对于一般式直线方程，由两直线垂直的系数之间的关系，代入求解即可.【详解】由直线与垂直，可得，所以，.故答案为：14．已知圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+4y-1=0，则圆C1与圆C2的公切线有____条．【答案】3【分析】先判断出两圆的位置关系，即可求出公切线的条数.【详解】C1：(x+1)2+(y-2)2=4，C2：(x-2)2+(y+2)2=9，|C1C2|=，两圆外切，故有3条公切线．故答案为：3.15．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为__________．【答案】【解析】根据双曲线的离心率为，由求解.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的渐近线方程为，故答案为：16．已知椭圆上有两点，，坐标原点为点，若两直线，斜率存在，且它们的积为，则___________．【答案】5【分析】设，，由题意得到，从而，利用椭圆方程将转化为就得到，即可求解.【详解】设，，由已知得，点，在椭圆上，则．所以，所以，所以故答案为:5． 四、解答题17．直线经过两直线和的交点．(1)若直线与直线平行，求直线的方程；(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程．（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程．【详解】（1）解：由，解得，所以两直线和的交点为．当直线与直线平行，设的方程为，把点代入求得，可得的方程为．（2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．当的斜率存在时，设直限的方程为，即，则点到直线的距离为，求得，故的方程为，即．综上，直线的方程为或．18．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2；(2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据渐近线得到，根据距离得到，得到答案.（2）设双曲线方程为，代入点坐标，计算得到答案.【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，则，两顶点之间的距离为，则.故双曲线方程为：.（2）与双曲线有共同的渐近线，则设双曲线方程为，，过点，则，解得，故双曲线方程为.19．已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求弦AB的长．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知：2c=4，b=2，a2=b2+c2，联立解得a,b,c的值，即可得椭圆方程；（2）易得直线l的方程y=x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：4x2+18x+15=0，利用根与系数的关系及弦长公式即可得出弦AB的长．【详解】(1)已知椭圆焦距为，短半轴的长为2，即2c=4，b=2，结合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2故C：.(2)已知直线l过点P(－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立 得. 设，．∴∴ 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交的弦长；当直线斜率存在时，弦长 ，其中，是交点坐标，经常设而不求，联立方程后，根据根与系数的关系整体代入.20．在平面直角坐标系xOy中，点，直线，圆C：．(1)求b的取值范围，并求出圆心坐标(2)若圆C的半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)有一动圆M的半径为1，圆心在l上，若动圆M上存在点N，使，求圆心M的横坐标a的取值范围．【答案】(1)的取值范围为，圆心坐标为(2)或(3) 【分析】（1）把圆的方程化为标准式，即得的取值范围及圆心坐标；（2）把点的坐标代入圆的方程，可得点在圆外.设过点的切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求出的值，即得切线方程；（3）设圆心，写出圆的方程.由，可得点在线段的中垂线上，求出直线的方程，则圆和直线的公共点即为点.由圆心到直线的距离小于等于半径1，可得的取值范围.【详解】（1）化为，由得，∴的取值范围为，圆心坐标为.（2）由（1）知圆心的坐标为，当半径为1时，圆的方程为：，将代入，得，∴在圆外，设所求圆的切线方程为，即，∴.∴，∴，∴或者，∴所求圆的切线方程为：或者，即或.（3）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心，又半径为1，则圆的方程为：，又∵， ∴点在的中垂线上，的中点得直线：，∴点应该既在圆上又在直线上，即圆和直线有公共点. ∴，∴.综上所述，的取值范围为：.21．如图，已知点，点分别在轴和轴上运动，并满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点的直线与点的轨迹交于两点，，求直线的斜率之和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用坐标代换即可求得轨迹方程.（2）直曲联立，化简整理即可求得定值.【详解】（1）设，又因为，所以为中点，所以，又因为，故 ，又因为，得：，故： 动点的轨迹方程为（2）设过点的直线方程为，设,,则斜率 ，由 得： 所以，，所以 ，因为所以22．如图，一载着重危病人的火车从地出发，沿北偏东射线行驶，其中，在距离地10公里北偏东角的处住有一位医学专家（其中），现有紧急征调离地正东公里的处的救护车赶往处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在处相遇，经计算当两车行驶的路线与围成的三角形面积最小时，抢救最及时．（1）求关于的函数关系；（2）当为何值时，抢救最及时．【答案】（1）当时，，当且时，，（2）【分析】（1）根据题意可建立如图所示的直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以关于的函数关系；（2）将问题转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而可得答案【详解】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，因为，所以，因为，所以，因为，所以射线的方程为，因为，所以直线的斜率为（），所以直线的方程为（），当时，点，则，当时，由，得（），所以点（），所以（），综上，当时，，当且时，（2）由（1）得当且时，，当且仅当，即时取等号，而当时，，所以当时，有最小值，即抢救最及时.