2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高二上学期11月阶段测试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高二上学期11月阶段测试数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程是（    ）

A．x=-1 B． C． D．

【答案】D

【分析】写出抛物线的标准方程即可得解.

【详解】抛物线的标准方程是，

所以其准线方程为：.

故选：D

2．已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得直线的倾斜角，从而求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率.

【详解】直线过原点和，所以斜率为，倾斜角为，

所以直线的倾斜角为，斜率为.

故选：A

3．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由焦点在轴上的椭圆的标准方程即可得到答案.

【详解】由题意得，，解得.

故选：A.

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（    ）

A．30 B．36 C．42 D．48

【答案】C

【分析】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.

【详解】设{an}首项为，公差为d.因S3＝6，S4＝12，

则.则.

故选：C

5．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.

【详解】由题得圆心到直线的距离，

所以圆的方程为.

故选：D.

6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地.”则此人第一天走了（    ）

A．192里 B．148里 C．132里 D．124里

【答案】A

【分析】根据题意结合等比数列的前n项和公式即可得到答案.

【详解】由题意可得这个人每天走的路程成等比数列，且公比，，，

故，解得.

故选：A．

7．已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得以线段AB为直径的圆的方程，再与圆的方程联立求解.

【详解】因为点，，

所以以线段AB为直径的圆的方程为：，

因为圆上存在点，满足，

联立，得，

因为，

所以，即，

故选：C

8．双曲线方程为为其左､右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A和点，满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的定义确定中的边长后应用余弦定理求得的关系，从而可得离心率．

【详解】由题意，又，∴，

中，由余弦定理得，

，，所以，

故选：C．

二、多选题

9．已知双曲线C：，则（    ）

A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的虚轴长为

C．双曲线C的焦点坐标为 D．双曲线C的渐近线方程为

【答案】ACD

【分析】根据双曲线方程求解出，由双曲线的性质逐一判断.

【详解】由双曲线的方程，得，

则，所以离心率为，A正确；

虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；

渐近线方程为，D正确.

故选：ACD

10．下列说法中，正确的有（    ）

A．直线在y轴上的截距是2

B．直线与平行，则实数的值为1

C．若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3

D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】通过计算可以判定选项BC正确；直线在y轴上的截距是 所以选项A错误；过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以选项D错误.

【详解】A. 直线在y轴上的截距是 所以该选项错误；

B. 直线与平行，则 所以或 当 时，两直线重合，所以舍去.所以实数的值为1.所以该选项正确；

C. 若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，所以，则m＋n＝3，所以该选项正确；

D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以该选项错误.

故选：BC

11．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（    ）

A．若数列为等比数列，且成等差数列，则也成等差数列

B．若数列为等比数列，则

C．若数列为等差数列，则数列成等差数列

D．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为

【答案】AC

【分析】利用等差等比数列的定义及等差数列的中项公式，结合等差等比数列的通项公式及前项和公式即可求解.

【详解】对于A，因为数列为等比，且成等差数列，所以，所以，，即，于是有，所以，所以也成等差数列，故A正确；

对于B，因为数列为等比数列，当时，，所以，故B错误；

对于C，因为数列为等差数列，所以，所以是关于的一次函数，所以数列成等差数列，故C正确；

对于D，因为数列为等差数列，且，所以，即，又，所以，所以，即,解得，所以使得的最小的值为，故D错误.

故选：AC.

12．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过，则下列说法正确的有（    ）

A．点P在直线y＝－1上 B．存在点P，使得

C．AB⊥PF D．△PAB面积的最小值为4

【答案】ACD

【分析】由导数的几何意义可求得过点和过点的切线方程，由直线与抛物线方程联立，结合韦达定理可得两切线的交点坐标，从而可判断A，由韦达定理可得，从而可判断B，由直线垂直的斜率关系可判断C，由韦达定理表示出三角形的面积，结合函数性质可判断D.

【详解】对于A，由题意，设直线

联立，消去整理得：

设，则，

由抛物线可得，则，

则过点的切线斜率为，易知，即，

则切线方程为: ，即，

同理可得：过点的切线方程为：，

联立，解得，即，

所以点在定直线上，A正确；

对于B，由选项A可知，直线的斜率为，直线的斜率为，

所以，即，B错误；

对于C，由选项A可知，，则直线的斜率

由，则AB⊥PF，C正确；

对于D，由选项C可知：

，

，

则，当时，有最小值为4，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为______.

【答案】

【分析】利用等轴双曲线的性质得出，设出标准方程，将坐标点代入求得和的值，即可得出双曲线C的标准方程.

【详解】解：由题意，

在等轴双曲线C中，对称轴是坐标轴，图像过，

当焦点在x轴时

设，则

∴解得：

∴，

当焦点在y轴时，不成立，

综上，.

故答案为：.

14．在数列中，，则数列的通项公式为______.

【答案】

【分析】根据可得为等差数列，从而可求的通项公式.

【详解】由题设可得，故为等差数列，

故，

故，

故答案为：

15．由曲线围成的图形的面积为_______________．

【答案】

【详解】试题分析：当时，曲线 表示的图形为

以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为

，根据对称性，可知由曲线

围成的图形的面积为

【解析】本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.

点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.

四、双空题

16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则______；______.

【答案】     55    

【分析】首先观察三角形数，利用累加法求得，进而求出；利用正方形数得出，再利用裂项相消法求出即可求解.

【详解】根据三角形数可知，，则，…，，

累加得，

，经检验也满足上式，故，

则；

根据正方形数可知，

当时，，

则

.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3.

(1)求双曲线C的渐近线方程；

(2)求抛物线D的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用离心率可得，从而可求渐近线方程；

（2）先求出抛物线的准线方程，再根据面积可求，从而可得抛物线方程.

【详解】（1）设半焦距为，

由题意，双曲线C：的离心率为，

可得，解得，

所以双曲线C的渐近线方程为.

（2）不妨设M在x轴下方，N在x轴上方，

由抛物线D：，可得其准线方程为，

代入渐近线方程得，所以，

则，解得，

所以抛物线D的方程为.

18．已知圆经过两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的标准方程；

(2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，再与直线联立，求出交点，即为圆心坐标，再求出半径，可得圆的方程；

（2）先根据弦，弦心距和半径的关系求出弦心距，然后分直线斜率存在和不存在两种情况求解即可.

【详解】（1）由题知，所求圆的圆心为线段的垂直平分线和直线的交点．

线段的中点坐标为，直线的斜率，

所以，的垂直平分线的方程为即．

联立得，解得圆心．

半径．

所以，圆的标准方程为．

（2）由题意知圆心到直线的距离为，

当直线斜率存在时，设直线方程为，即．

所以，，解得，

所以直线的方程为．

当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意．

所以，直线的方程为或．

19．在数列中，，.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可；

（2）根据等比数列、等差数列前项和公式分组进行求和即可.

【详解】（1）由已知得，，

即，

又数列是公比为4的等比数列；

（2）由（1）知，

    .

20．已知抛物线的方程是，直线l交抛物线于A，B两点.

(1)若弦AB的中点为，求弦AB的直线方程；

(2)设，若，求证：直线AB过定点.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用点差法，结合已知中点的坐标，即可求得结果；

(2)对直线的斜率分类讨论，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，根据已知条件，找到参数之间的关系，即可证明直线恒过的定点.

【详解】（1）由于在抛物线开口之内，且不在x轴上，

直线l的斜率存在，设为k，且设，

可得，

两式相减可得，

即,

则直线l的方程为，即，

经检验直线l存在，且方程为.

（2）证明：若直线l的斜率不存在，可得，

代入抛物线方程，可得，，

则，即，直线AB过：

若直线l的斜率存在，设为k，

当k=0时，直线l与抛物线的交点仅有一个，不满足题意；

故直线的方程设为，

代入抛物线的方程消去x可得

可得，即有，

可得b=-4k，直线l的方程为，则直线l恒过定点.

综上，直线AB恒过定点.

21．已知正项数列前项和为，且满足.

(1)求；

(2)令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据与的关系即可求解；

 （2）利用错位相减法求解得，参变分离即可求的范围.

【详解】（1）因为，

当时，有，

两式相减得

，移项合并同类项因式分解得

，

因为，

所以有，

在中，当得，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

故有

（2）由（1）知，

，

，

，

由题意，对任意的，均有恒成立，

，

即恒成立，

设，

所以，

当时，，即 ；

当时，，即，

所以的最大值为，

 所以.

故的取值范围是.

22．换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.例如，已知，，，求的最小值.其求解过程可以是：

设，，，

则，

所以当时取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.

已知平面内两定点，，一动点到两个定点的距离之和为.

(1)请利用上述求解方法，求出点的轨迹方程；

(2)已知点，设点，在第（1）问所求的曲线上，直线，均与圆O：（）相切，试判断直线是否过定点，并证明你的结论.

【答案】(1)

(2)是，证明见解析

【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可得解；

（2）设直线的方程为，直线的方程为，利用点到直线的距离公式得到，是方程，即可得到，再设，，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再根据代入计算可得.

【详解】（1）解：设，由题意知，

即，

令，，，

等式两边同时平方得

①，

②，

①﹣②得 ，

即③，

代入①中得，整理可得，

故点的轨迹方程为.

（2）解：设直线的方程为，直线的方程为，

由题知，所以，

所以，同理，

所以，是方程的两根，所以，

设，，设直线的方程为，

将代入，得，

所以 ①， ②，

所以 ③， ④，

又因为 ⑤，

将①②③④代入⑤，化简得，

所以，所以，

若，则直线，此时过点，舍去，

若，则直线，此时恒过点，

所以直线过定点.