2022-2023学年辽宁省实验中学高二上学期第二次阶段测试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省实验中学高二上学期第二次阶段测试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省实验中学高二上学期第二次阶段测试数学试题

一、单选题
1．若向量，，且，则实数的值是（    ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由已知利用数量积为零列式计算即可.
【详解】解：因为，，
所以，
因为，
所以，
解得．
故选：C．
2．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
3．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求得圆心坐标为，根据斜率公式求得，再由根据圆的弦的性质，得到，结合直线点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得，所以圆心坐标为，半径为，
又由斜率公式，可得，
根据圆的弦的性质，可得，所以，
所以弦所在直线方程为，即，
所以弦所在直线方程为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中熟练应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
5．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线l的方程为，则直线l与平面的位置关系为（    ）
A．相交但不垂直 B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，平面的一个法向量和直线的一个方向向量，由和的位置关系，判断直线与平面的位置关系．
【详解】平面的方程为，平面的一个法向量为，
经过的直线l的方程为，直线的一个方向向量为，
，∴，又点在直线l上但不在平面内，所以.
故选：C．
6．四面体ABCD的每条棱长均为2，点E､F､G分别是棱AB､AD､DC中点，则（    ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
【答案】A
【分析】求出EG、EF、GF的长，从而求出，再由，能求出结果．
【详解】∵四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，
∴，
，
∴，又
∴，
．
故选：A．

7．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（    ）
A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21
【答案】C
【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可.
【详解】，而，    
即，
解得或－11.
故选：C
8．已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点，若四边形的面积为，则准线l的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法一：已知，求得，在利用直线方程和抛物线方程联立得到，解得，，再根据梯形面积公式即可求解出p，进而得到准线l的方程；
方法二：根据抛物线焦半径公式，，已知，解得，求出高为，再根据梯形面积公式即可求解出p，进而得到准线l的方程.
【详解】
解：方法一：由题意知，准线的方程为，设，，
则，
由，得，
即①
由题意知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
代人抛物线方程，消去，得,
所以②
联立①②，得，
解得或（舍去），所以，
因为，
将的值代人，解得，
所以准线的方程为，
故选：D.
方法二：设，，，
则，，
因为，所以，解得，则
因为四边形是直角梯形，其中，，高为，
所以四边形的面积为，
解得，所以抛物线的准线方程为，
故选：D.

二、多选题
9．已知A､B两点的坐标分别是，，直线AP､BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ）
A．当时，点P的所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线
B．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线
C．当时，点P的所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的所在的曲线是圆
【答案】AD
【分析】设出点的坐标，利用斜率乘积转化为求解轨迹方程，通过的范围，判断选项的正误即可.
【详解】设点的坐标为，则直线的斜率为，
直线的斜率为，
由已知可得，，
化简得点的轨迹方程为，
当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)，所以A正确；
当时，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线 (除去与x轴的交点)，所以B错误；
当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点)，所以C错误；
当时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)，所以D正确.
故选： AD.
10．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则（    ）

A．
B．PB与平面ABCD所成角为
C．异面直线AB与PC所成角的余弦值
D．平面PAB与平面ABCD所成的二面角为45°
【答案】AC
【分析】设，先证，建立空间直角坐标系，结合空间向量的应用逐一判断即可得解.
【详解】设，因为，，
由余弦定理可得， 即，
从而，即，由底面ABCD，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
故，，，，，
所以，
所以，即，故A正确；
易知面的一个法向量为，
所以PB与平面ABCD所成角满足，
即PB与平面ABCD所成角为，故B错误；
异面直线AB与PC所成角满足，故C正确；
设面的一个法向量为，
所以，令，则，即，
由于，故D错误；
故选：AC.
11．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（    ）
A．曲线C上的点与定点距离的最小值是
B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是
C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是
D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【分析】A选项，设出曲线任意一点的坐标，根据两点间的距离公式以及基本不等式求得“最小值”；B选项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C选项，通过求实半轴来进行判断；D选项，通过求切线方程来进行判断.
【详解】曲线C的方程是，则，所以曲线是反比例函数对应的图象，即曲线是双曲线.
A选项，设是曲线上的任意一点，
，
令，则，
当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
所以.
所以，
，
所以当时，取得最小值为，A选项正确.
B选项，到直线的距离为，
所以曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是，
B选项正确.
C选项，由上述分析可知曲线是双曲线，由于曲线的图象关于对称，
所以是双曲线实轴所在直线，
由解得或，
点与点的距离是，所以双曲线的实轴长，
而双曲线的实半轴，所以C选项错误.
D选项，，
所以在曲线上任意一点处的切线方程为，
令得；令得，
所以曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是，D选项正确.
故选：ABD
12．已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（    ）

A．若，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为
B．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆
C．若N到直线与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
D．若与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线
【答案】BCD
【分析】设MN中点为H，DM中点为Q，连接PQ，计算出PQ可知P的轨迹为圆可判断A；根据已知算出DN，可判断B；根据抛物线定义可判断C；以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.
【详解】对于A，设MN中点为H，DM中点为Q，连接HQ，则，且，
如图，若，则所以，，则，所以点H的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A错误；

对于B，，，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故B正确；
对于C，点N到直线的距离为BN，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，且B点不在直线DC上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；
对于D，如图，以DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设，，，，
所以，，，
化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；

故选： BCD.

三、填空题
13．若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为___________.
【答案】
【分析】利用双曲线的图象关于原点对称,得到点， 在双曲线上，即可求出，进而求出双曲线的渐近线方程.
【详解】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，
又双曲线的图象关于原点对称,
所以点， 在双曲线上，
所以，解得，
所以其渐近线方程为：.
故答案为：.
14．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽､系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的交点.设抛物线C：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线上的Q点，则Q点的横坐标为___________.
【答案】##0.0625
【分析】根据题意，求得抛物线焦点的坐标及反射点的坐标，即可求得到反射光线所在直线方程，联立其与抛物线方程，求得点的坐标.
【详解】因为经过点一束平行于C对称轴的光线交抛物线于点，
故对，令，则可得，也即的坐标为，
又抛物线的焦点的坐标为，故可得直线方程为，
联立抛物线方程可得：，
解得或，将代入，可得，即的坐标为，
故答案为:.
15．正方体的棱长为1，点P是内不包括边界的动点，若，则线段AP长度的最小值为___________.

【答案】##
【分析】根据平面确定平面，进而在上，故当时，最小，计算线段长度利用等面积法计算得到答案.
【详解】与相交于，连接，，，
，，，故平面，，
故平面，P是内不包括边界的动点，故在上，
当时，最小

中，，，
根据等面积法：.
故答案为：
16．在平面直角坐标系xOy中，圆O：，，若圆O上存在两点A､B满足下列条件：M为弦AB的中点，，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由几何关系得，再由三角比列不等式求解，
【详解】由M为弦AB的中点，，得，，
点在圆外，设过点与圆相切的两条直线切点分别为，由题意得，
，则，解得

故答案为：

四、解答题
17．过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于A､B两点.
(1)若M是线段AB的中点，求直线AB的方程；
(2)若直线AB的斜率为2，求线段AB的长.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设出两交点坐标及直线的表达式，通过与中点的关系，作差，求出斜率，进而得出直线AB的方程.
（2）写出直线的表达式，与椭圆方程联立，得出交点坐标，求出两点之间的距离.
【详解】（1）由题意，
在椭圆中，过的直线与椭圆相交于A､B两点，
M是线段AB的中点
∴设，，直线
解得：
∴
∴，
即
（2）由题意及（1）得
在椭圆中，过的直线与椭圆相交于A､B两点，
直线AB的斜率为2，
∴，
即
解得： 或
∴A､B两点坐标分别为，，
∴
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：及其上一点.

(1)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且，求直线l的方程；
(2)设点满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）确定圆心和半径，根据平行得到直线方程为，根据弦长公式结合圆心到直线的距离得到答案.
（2），，即在圆的内部，代入计算得到答案.
【详解】（1），即，故圆心，，
，
设直线方程为，，
故圆心到直线的距离为，即，
解得或，故直线方程为或.
（2），即，，
故在圆的内部，即，
解得，即实数的取值范围是
19．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明：平面PDC；
(2)已知，Q为l上的点，且，求PB与平面QCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由，可推得，又易证平面，从而得平面；
（2）建系，利用向量的坐标运算，求解与平面所成角的正弦值即可．
【详解】（1）证明：，平面，平面，
平面，又平面，且平面平面，
，
又底面，底面，
，又正方形，，
，平面
平面，又，
平面；
（2）解：因为底面，面，所以，又正方形中，
建立如图的空间直角坐标系，

根据题意可得：
，，，，，
由于Q为l上的点，且，则，则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，，
，
与平面所成角的正弦值为．
20．已知圆M：与抛物线E：相交于四点A､B､C､D，且在四边形ABCD中，.

(1)求实数m的取值范围；
(2)设AC与BD相交于点G，面积为，求点G的坐标及m的值.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）设，，，，联立圆与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，由判别式大于0及方程根的情况求得的范围；
（2）由对称性，点在轴上，可设，由，结合根与系数的关系求得值，即可得到的坐标．再由，结合根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）依据圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形，
不妨设，，在第一象限，，，，，
则，，
联立，得．
上述方程有互异两正根，则，解得．
（2）由对称性，点在轴上，可设，
由，得，化简得，
由，，，在抛物线上，且均为正数，所以，将其代入得：
，
由于，所以，
由（1）知
则，即．



，化简得，解得或，
由（1）知，故或均符合，
故或，
【点睛】结论点睛：一般对于解析几何的大题，常涉及到面积，弦长，定值，定点类问题.一般从两个基本环节进行求解：
翻译转化；将题目中的几何关系恰当转化成数学代数式（等式或者不等式），
消元求值；对所列出的不等式或者方程，进行变形，化简消元.
21．如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD＝60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为正三角形，M是棱PC上的一点(异于端点)．

(1)若M为PC的中点，求证：PA∥平面BME；
(2)是否存在点M，使二面角M­BE­D的大小为30°.若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）连接AC交BE于点F，根据平面几何知识可得ABCE为平行四边形，即得MF∥PA.再根据线面平行判定定理得结论；
（2）先根据空间直角坐标系，再设立各点坐标，根据方程组解得平面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系列方程解得M坐标，即得点M的位置．
【详解】（1）证明：如图，连接AC交BE于点F，连接CE.
由题意知BC∥AE，且，故四边形ABCE为平行四边形，
∴F为AC的中点，在△PAC中，又由M为PC的中点，得MF∥PA.
又MF⊂平面BME，PA⊄平面BME，∴PA∥平面BME.

（2）连接PE，则由题意知PE⊥平面ABCD.
故以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系E－xyz，

则E(0,0,0)，，，．
设，，则，
解得，，，
取平面DBE的法向量，设平面BME的法向量，
则，即，令，则，
故平面BME的一个法向量，
又由，则，解得，即，
故存在点满足要求，且M为棱PC上靠近端点C的四等分点．
22．已知抛物线C：，点.
(1)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程；
(2)是否存在定圆M：，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数，使得直线与圆相切．

【分析】（1）设直线的方程为，代入抛物线的方程，由弦长公式求出，点到直线的距离公式求出的高，再依据三角形的面积公式，解方程可得，进而得到直线方程；
（2）假设存在，根据一般到特殊的原理，取，设切线为，联立抛物线方程，求出点以及直线，由相切可得．再由特殊到一般，证明对任意的动点，直线与圆相切，即可说明存在，使得直线与圆相切．
【详解】（1）设直线的方程为，
把方程代入抛物线，可得，
，，
，
点到直线的距离，
，
解得，所以直线的方程．
（2）假设存在．取，圆，设切线为，
由，解得，①
将直线代入抛物线方程，
解得，，
直线的方程为，
若直线和圆相切，可得②
由①得,由①②解得，．
下证时，对任意的动点，直线和圆相切．
理由如下：设，当时,上面假设已经说明成立;
当,一条切线与轴平行,不能与抛物线交于另一点,故,
以下就且情况下证明.
过的直线为， ，
由，可得，
，，
又直线与曲线相交于 ，，
由，代入抛物线方程可得，
可得，，
则，是方程的两根，
即有，即，同理．
则有，，
直线，
即为，
则圆心到直线的距离为
，
由，
代入上式，化简可得，
则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切．

【点睛】方法点睛：数学中探究性问题解决方法:要判断在某些确定条件下的某结论是否存在或成立,解决这类问题的基本策略是：
(1)从一般到特殊,先利用特殊位置(或情况)使结论成立,得到使结论成立的条件, 再由特殊到一般，在这个条件下对一般情况下证明.
(2)通常假定题中的结论存在(或成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。