2022-2023学年内蒙古赤峰市元宝山区第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古赤峰市元宝山区第一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为

A．0o B．45o C．90o D．不存在

【答案】C

【分析】由题直线，直线与轴垂直，倾斜角为90o

【详解】由题直线，直线与轴垂直，倾斜角为90o  .

故选C.

【点睛】本题考查直线斜率、倾斜角的概念．属于基础题．

2．如图是根据的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图是（    ）

A．①② B．③④ C．②③ D．①④

【答案】B

【分析】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下即可.

【详解】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下，

所以③④图的变量具有线性相关关系.

故选：B

3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数 B．平均数

C．方差 D．极差

【答案】A

【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．

【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．

则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，

中位数仍为，A正确．

②原始平均数，后来平均数

平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确

③

由②易知，C不正确．

④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．

【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.

4．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为（    ）

A．-4 B．4 C． D．不存在

【答案】B

【分析】直接利用任意两点所在的直线斜率相等，即可判定三点共线，列出方程，求出的值．

【详解】解：因为点，，三点共线，

所以，即，得．

故选：B．

5．采用系统抽样方法，从个体数为1001的总体中抽取一个容量为40的样本，则在抽取过程中，每个个体被抽到的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由于系统抽样是等可能抽样，故每个个体在抽样过程中得到的概率是相等的，故每个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体容量.

【详解】由于系统抽样是等可能抽样，故每个个体在抽样过程中得到的概率是相等的.

所以在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为.

故选：A

6．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（    ）

A．至少有1个白球；都是白球 B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰有1个白球；恰有2个白球 D．至少有1个白球；都是红球

【答案】C

【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念以及二者之间关系，一一判断各选项，可得答案.

【详解】A：“至少有1个白球”和“都是白球”，可同时发生，故它们不是互斥事件,A错误；

B：“至少有1个白球”和“至少有1个红球”，因为1个白球1个红球时两种情况同时发生，故它们不是互斥事件，B错误；

C：“恰有1个白球”和“恰有2个白球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；

当2个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件，C正确；

D：“至少有1个白球”和“都是红球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件，D错误，

故选：C

7．在正方形中，弧是以为直径的半圆，若在正方形中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域和正方形的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】设正方形的边长为，将图中阴影部分中的弓形区域沿着图中的虚线对称，如下图所示：

所以，阴影部分区域的面积为，正方形的面积为，

因此，所求概率为.

故选：D.

【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率计算，解题的关键就是计算出阴影部分区域的面积，考查计算能力，属于基础题.

8．已知一组数据：的平均数为4，方差为10，则的平均数和方差分别是（         ）

A．10，90 B．4，12 C．4，10 D．10，10

【答案】A

【分析】利用数据的平均数和方差的性质及计算公式直接求解.

【详解】一组数据的平均数是4，方差为10，

另一组数的平均数和方差分别是

，，

故选：A

【点睛】本题主要考查平均数、方差的求法，解题时要认真审题,注意平均数、方差的性质的合理运用，属于容易题.

9．从1,2，3，4这4个数中不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知中从1，2，3，4这4个数中，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数的和是奇数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案.

【详解】从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有：

共12种,

其中满足条件有共8种情况,

故从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率.

故选：B.

10．直线与直线平行，则实数的值为（    ）

A．1或-1 B．0或-1 C．-1 D．1

【答案】C

【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.

【详解】解：因为直线与直线平行，

所以，即，

所以，

故选：C.

11．如图是一程序框图，则输出结果为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】先列举出前几次循环，从而得到S的取值周期为3，当时，，满足条件，执行循环，得，，此时不满足条件，退出循环，得到输出S的值.

【详解】，，

满足条件，执行循环，得，，

满足条件，执行循环，得，，

满足条件，执行循环，得，，

可知S的取值周期为3，则当时，，

满足条件，执行循环，得，，

不满足条件，退出循环

输出S的值为2.

故选：A

12．设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直线和圆的位置关系，作出图象，数形结合可得.

【详解】解：

∵点在直线上，

又直线与圆：相切，

∴要使圆：上存在点，使得，

则的最大值大于或等于时，一定存在点，使得，

而当与圆相切时取得最大值，此时有，

∴的取值范围为.

故选：A.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题.

二、填空题

13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：

7527  0293  7140  9857  0347  4373  8636  6947  1417  4698

0371  6233  2616  8045  6011  3661  9597  7424  7610  4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．

【答案】

【解析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.

【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，

所以射击4次至少击中3次的概率为.

故答案为：

【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的分别为14,20，则输出的 _________.

【答案】2

【详解】试题分析：

输出

【解析】1、程序框图

15．已知圆C:,过点P（3,1）作圆C的切线，则切线方程为____________．

【答案】或

【详解】由题意知 在圆外,当切线斜率不存在时,切线方程为 ，满足题意；当斜率存在时，设为 切线方程为 ．综上，切线方程为或

．

点睛：切线、弦长、公共弦的求解方法

(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可．

(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．

(3)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

16．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______．

【答案】

【分析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.

【详解】函数，

表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，

点关于轴的对称点，

所以，

所以的最小值为：.

故答案为：.

三、解答题

17．已知三角形的三个顶点，，.

(1)求AC边所在直线的一般方程；

(2)求BC边上的高所在直线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用两点式可得答案；

（2）求出BC边的斜率，即可得BC边上的高的斜率，再利用点斜式即可得出答案．

【详解】（1）由两点式可得：，

化简得AC边所在直线的一般方程为；

（2）由已知得，可得BC边上的高所在直线斜率．

∴BC边上的高所在直线方程为：，

化简得BC边上的高所在直线方程为．

18．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．

【答案】(1)取出球为红球或黑球的概率为 (2)取出球为红球或黑球或白球的概率为

【详解】试题分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果

试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，

试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；

满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，

∴概率为．

（2）由题意知本题是一个古典概型，

试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；

满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，

∴概率为．

即取出的1球是红球或黑球的概率为；

取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．

【解析】等可能事件的概率

19．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出如下的折线图：

(1)分别计算甲、乙两厂提供的个轮胎宽度的平均值；

(2)若轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好.

【答案】(1)甲厂平均值为，乙厂平均值为

(2)乙厂的轮胎相对更好

【分析】（1）根据平均数的求法可直接求得结果；

（2）确定甲、乙两厂生产的轮胎中标准轮胎的宽度数据，由此可计算得到平均数和方差，对比数据即可得到结论.

【详解】（1）记甲厂提供的个轮胎宽度的平均值为，乙厂提供的个轮胎宽度的平均值为，

，.

（2）甲厂个轮胎中，宽度在内的数据为，

则平均数为，

方差；

乙厂个轮胎中，宽度在内的数据为，

则平均数为，

方差；

甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值一样，但乙厂的方差更小，

乙厂的轮胎相对更好.

20．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价(单位：元件)及相应月销量(单位：万件)，对近个月的月销售单价和月销售量的数据进行了统计，得到如下表数据：

（1）建立关于的回归直线方程

（2）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为元/件时，其月销售量达到万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（1）中得到的回归直线方程是否理想？

参考公式：回归直线方程，其中，.参者数据：，.

【答案】（1）；（2）可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

【分析】（1）由表格数据计算可得，利用最小二乘法可计算求得回归直线；

（2）将代入回归直线可得预估值，由预估值与实际数据之差绝对值不超过可知回归直线方程是理想的.

【详解】（1），.

，，

关于的回归直线方程为：；

（2）当时，，

，可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

21．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照，.…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)用样本估计总体，若该校共有1000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；

(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在的学生至少有1人被抽到的概率.

【答案】(1)，平均数为74分，中位数分；

(2)600

(3)

【分析】（1）利用频率之和为1，列式求解x即可，利用平均数与中位数的计算公式求解即可；

（2）先计算50名学生中成绩不低于70分的频率，由此估计总体即可；

（3）先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．

【详解】（1）由频率分布直方图可得，第4组的频率为，所以，

估计所抽取的50名学生成绩的平均数为：分，

由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，

故中位数在第3组中，设中位数为t分，则有，解得，

故所求的中位数为分.

（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，

用样本估计总体，估计该校这次测试成绩不低于70分的人数为人；

（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，

由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，

所以成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率为

22．已知圆C经过，两点，且圆心在直线上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程；

(3)若Q是直线上的动点，过点Q做圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，探究：直线MN是否恒过定点.若存在请写出坐标；若不存在请说明理由.

【答案】(1)

(2)或.

(3)过定点

【分析】（1）求圆的方程,需要三个独立条件,一般设标准式,代入三个条件,解方程组即可;本题也可设成圆的一般式 ,再将两个点坐标代入,解方程组可得.

（2）涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理，即将弦长条件转化为圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，注意验证直线斜率不存在的情形.

（3）根据题意求出以为圆心，为半径的圆的方程与圆的方程作差，即可得到直线的方程，从而得到定点坐标.

【详解】（1）设圆的圆心坐标为，

依题意，有，

解得，所以，

所以圆的标准方程为.

（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，

（1）若直线的斜率不存在，则，符合题意，此时直线的方程为.

（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，解得.

此时直线的方程为

综上，直线的方程为或.

（3）根据题意，设，又因为QM、QN是过圆做的两条切线，则

则是圆与以为圆心，为半径的圆的两圆的公共弦，

且以为圆心，为半径的圆的方程为①

且圆方程为②

所以①②可得即为直线的方程

令解得，则直线必过点