2022-2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高二上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则　　

A．或 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得的值后检验即可得到的值．

【详解】因为，故，整理得到，

解得或．

当时，，，两直线重合，舎；

当时，，，两直线平行，符合；

故，选C．

【点睛】如果，，

（1）平行或重合等价于；

（2）垂直等价于．

2．已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若以Fx为始边，FM为终边的角，则等于（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】A

【分析】设，根据题意列式求解，再根据抛物线的定义求.

【详解】由题意可得：，

设，则，解得或（舍去），

即，∴.

故选：A.

3．哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】C

【分析】先将2名语文老师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他3人分成2组，结合每个校区各4人即可得出结果.

【详解】由题意知，先将2名语文老师分到两个校区，有2种方法，

第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，

然后再分到两个校区，共有种方法，

第三步只需将其他3人分成2组，一组1人另一组2人，

由于每个校区各4人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有种方法，

根据分布乘法计数原理共有种.

故选：C

4．被9除的余数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】根据，结合二项式定理可得被9除的余数与被9除的余数相同，由此确定结论.

【详解】因为

所以

因为为9的整数倍，

所以被9除的余数与被9除的余数相同，又，1024被9除的余数为7，故被9除的余数为7，

故选：C.

5．托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中称为的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】记一个人得病为事件，检测结果为阳性为事件，由已知条件求出，，，结合题中的信息，求出，即可得到答案.

【详解】记一个人得病为事件，检测结果为阳性为事件，

则，，，

所以，

所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为，

故选：C.

6．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点， 若的中点坐标为，则的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用点差法可求得，再由可得出、的值，即可得出椭圆的标准方程.

【详解】解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，

将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，

可得，

因为线段的中点坐标为，所以，，，

因为抛物线的焦点为，所以，

又直线过点，因此，所以，，

整理得，又，解得，，

因此，椭圆的方程为，

故选：D.

7．在平面直角坐标系中，已知点，，圆C：，在圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.

【详解】设点，由得：，整理得：，

即点P的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，而圆C的圆心，半径为，

依题意，圆与圆C有公共点，即有，即，而，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：D

8．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设，利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦值的取值范围.

【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为

所以，.

设，则.

所以.

令，则，

因为，所以.

故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.

故选：C

二、多选题

9．从名候选人中选派出人参加，，活动，且每项活动有且仅有人参加，甲不参加活动，则（    ）

A．有种不同的选派方案

B．有种不同的选派方案

C．若甲参加活动，则有种不同的选派方案

D．若甲不参加活动，则有种不同的选派方案

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，利用排列问题及分类加法计数原理计算，再判断各选项作答.

【详解】若甲参加活动，则选B，C之一给甲，余下两项活动选派给另4人中两人，有种，C正确；

若甲不参加活动，则除甲外的4人中选派3人参加活动，有种，D正确；

由分类加法计数原理知，不同的选派方案有种，B正确；A不正确.

故选：BCD

10．对于曲线，下面说法正确的是（    ）

A．若，曲线C的长轴长为4

B．若曲线是椭圆，则的取值范围是

C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是

D．若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或

【答案】ACD

【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】曲线，

A选项，， ，则，A选项正确.

B选项，若曲线是椭圆，则，

解得且，所以B选项错误.

C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，

解得，C选项正确.

D选项，曲线是椭圆且离心率为，，

由B选项的分析可知且，

当时，椭圆焦点在轴上，，解得；

当时，椭圆焦点在轴上，，解得，

所以的值为或，D选项正确.

故选：ACD

11．已知，则（    ）

A．展开式中所有项的二项式系数和为

B．展开式中系数最大项为第1350项

C．

D．

【答案】AD

【分析】根据题目要求结合二项式定理的各项性质即可得到结果

【详解】易知的展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确；

由二项式通项，知，所以第1350项的系数为，所以第1350项不是系数最大项，故B错误；

当时，有①，当时，有②，

①－②，可得，故C错误；

当时，有，当时，

所以，故D正确．

故选：AD

12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有（    ）

A．已知向量，，若，则为钝角

B．若，则

C．若空间四个点，则三点共线

D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

【答案】ABD

【分析】利用特例判断A、B，根据空间向量线性运算法求出，即可判断C，根据空间向量数量积的坐标运算判断D；

【详解】解：对于A：当时，，，即，可得、共线反向，故A错误；

对于B：当、时，成立，而不成立，故B错误；

对于C：根据题意可得，即有，则、、三点共线，故C正确；

对于D：，，所以或，故D错误；

故选：ABD.

三、填空题

13．随机变量等可能取值为，如果 ，那么___．

【答案】6

【详解】因为随机变量等可能取值，而只有三个数，所以

14．已知，则m=___________.

【答案】4或14##14或4

【分析】根据组合数的性质及即可求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以或，又，解得或，

故答案为：4或14.

15．已知双曲线与直线无交点，则的取值范围是_____．

【答案】

【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式，解之即可求得的取值范围.

【详解】依题意，由可得，双曲线的渐近线方程为，

因为双曲线与直线无交点，所以直线应在两条渐近线上下两部分之间，

故，解得，即.

故答案为：.

.

16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

①；

②；

③事件与事件相互独立；

④是两两互斥的事件；

⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关

【答案】②④

【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出事件发生的条件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由，判断①和⑤；再比较的大小即可判断③.

【详解】由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；

由题意得，故②正确；

,①⑤错；

因为，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④

故答案为：②④

【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.

四、解答题

17．已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：

(1)展开式中二项式系数最大项的项；

(2)展开式中系数最大的项；

(3)展开式中所有有理项.

【答案】(1)

(2)和

(3)和

【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项；

(2)设第项系数最大，列不等式组求，由此确定系数最大的项；

(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.

【详解】（1）因为展开式的通项公式为，，

所以

依题意得，即，由已知,

所以，

所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，

所以.

（2）由（1）知，，

设展开式中系数最大的项为第项，则，

即，即，

解得，所以或，

所以展开式中系数最大的项为和.

（3）由为有理项知，为整数，得，，

所以展开式中所有有理项为和.

18．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设圆心C的坐标为，可得，结合条件可得，进而求得圆心的坐标，半径，即得；

（2）设，，进而可得，然后代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.

【详解】（1）设圆心C的坐标为，半径为r，

∵圆心C在直线上，

∴，

∵圆C经过，两点，

∴，

即，

化简得：，又，

所以，

∴圆心C的坐标为，，

所以圆C的标准方程为：；

（2）设，，

∵M为OP的中点，

∴，

∴，

∵P在圆C上，

∴，即，

∴OP的中点M的轨迹方程为.

19．如图，在矩形和中，，记.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)将用表示出来，并求的最小值；

(3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)，最小值为；

(3)存在，.

【分析】（1）根据空间向量线性的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量夹角公式进行求解即可；

（2）根据空间向量线性的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质、二次函数的性质进行求解即可；

（3）根据线面垂直的判定定理，结合空间向量互相垂直的性质进行求解即可.

【详解】（1）由已知得：

同理，

所以

故异面直线与所成角的余弦值；

（2）

.

所以

当时，的最小值为；

（3）假设存在使得平面，故.

因为；

由，得，

化简得，解得，满足条件.

故存在使得平面.

20．已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.

(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率；

(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）先通过全概率公式求出题目答对了的概率，在通过条件计算答对的情况下，知道单项选择题正确答案的概率即可；

（2）设事件表示小明选择了i个选项，，表示选到的选项都是正确的，则可能取值为0，2，5，依次计算的概率，即可根据结果列出分布列.

【详解】（1）记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，

则，，，

由全概率公式：，

所求概率为.

（2）设事件表示小明选择了i个选项，，表示选到的选项都是正确的.

可能取值为0，2，5，

，

，

.

随机变量的分布列为

21．如图，平面，，，，点M为BQ的中点．

(1)求二面角的正弦值；

(2)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面MCP的距离．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角；

（2）设，求出平面的法向量，根据线面夹角求，利用空间向量求点到面的距离.

【详解】（1）平面，平面，则，又，

则以为坐标原点，，， 的方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得：，，，，

，，，

设平面的法向量，则，即 ，

令，则，即，

同理可得平面的法向量，

∵，且，则，

故二面角的正弦值为.

（2）设，，

即，则，

∴，

设平面的法向量为，，即，

令，则，即，

由题意知：，即，

整理得：，解得：或，

又，则，

∴，则，

由（1）知：平面的一个法向量为，

所以到平面MCP的距离.

22．已知，椭圆过点，两个焦点为，，是椭圆上的两个动点，直线的斜率与的斜率互为相反数．

求椭圆的方程；

求证：直线的斜率为定值．

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】由焦点坐标求得，可设椭圆方程为，可得，解方程即可；设，，设直线的方程为，代入，求出点的坐标，再将换为，求出的坐标，即可求出直线的斜率，再化简即可得结果.

【详解】由题意，可设椭圆方程为，，解得，，

椭圆的方程为.

设，，设直线AE的方程为，代入得，，，

又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，再上式中以代k，可得

，，直线EF的斜率.

【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，考查了运算求解能力，化归与转化思想的应用，属于难题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.