2022-2023学年辽宁省大连市第十五中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市第十五中学高二上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市第十五中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】D【分析】先求出直线的斜率，从而可求倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，则，而，故，故选：D.2．已知空间向量，，且与垂直，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.【详解】由已知可得，解得.故选：A.3．已知在四面体中，分别是的中点，设，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合图像，利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】连接，如图，因为，，分别是的中点，所以.故选：D.4．已知直线：，点，，点为直线上一动点，则的面积为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据两点求得直线方程，利用平行线距离公式，结合三角形面积公式，可得答案.【详解】直线的方程为，所以，所以边上的高为两平行线之间的距离，记为，因为，，所以．故选：A．5．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）A． B．C．或 D．且【答案】D【分析】依题意可得，即可求出参数的取值范围.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，即，解得且；故选：D.6．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设椭圆的方程为，求出即得解.【详解】由题得双曲线的焦点为，所以椭圆的焦点为，设椭圆的方程为，所以.所以椭圆的标准方程为.故选：B7．已知圆：，圆：，则这两个圆的位置关系为（    ）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【答案】C【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径的和与差作比较即可.【详解】由题可知，两圆的圆心距为,因为，所以两圆相交.故选:C.8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可【详解】点椭圆上的点，  ，且 在 中， 即 ，整理得： 即 故选：D 二、多选题9．已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分焦点在轴上还是在轴上讨论确定的值.【详解】当焦点在x轴上时，，曲线方程为，则长半轴长为，半焦距为1，离心率为；当焦点在y轴上时，时，方程为，则长半轴，半焦距1，离心率为故选:BC.10．下列选项正确的是（  ）A．过点且和直线平行的直线方程是B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．若直线与平行，则与的距离为D．直线的倾斜角的取值范围是【答案】ACD【分析】由直线的点斜式方程可判断A，由两直线垂直对应的斜率关系可判断B，由两平行线的距离公式可判断C，由斜率和倾斜角的关系可判断D.【详解】对于A，直线的斜率为，所以过点且和直线平行的直线方程为，即，A正确；对于B，时，直线的斜率，直线的斜率，满足，所以两直线垂直，而当时，直线也与直线垂直，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，B错误；对于C，直线与平行，则，则直线与的距离为，C正确；对于D，直线的斜率，即，所以，D正确.故选：ACD11．已知直线，和圆，下列说法正确的是（    ）A．直线l恒过定点B．圆C被x轴截得的弦长为C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A；求出圆C被x轴截得的弦长判断B；当直线过圆心时可判断C，当直线时算出弦长可判断D.【详解】对于A，由，得，联立，得，无论m为何值，直线恒过定点，故A正确；对于B，在中，令，得，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确；对于C，当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为圆直径4，故C错误；对于D，由于直线恒过的定点，易知此点在圆内，设此定点为，当直线与直径垂直时，直线l被圆截得的弦长最小，且最小值为，故D正确.故选：ABD12．[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BCD【分析】根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.【详解】易知点的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，为，即，选项C正确，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，所以，．所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．故选：BCD 三、填空题13．直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线方程为__________.【答案】【分析】联立直线求解交点坐标，从而可得直线的斜率，即可得直线方程.【详解】解：直线与直线的交点满足，解得，故交点坐标为所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.故答案为：.14．若过点作圆的切线，则切线方程为_________ .【答案】【分析】根据题意可得点在圆上，根据切线的性质可得切线的斜率，进而由点斜式求切线方程.【详解】圆的圆心，半径，∵，则点在圆上，又∵直线的斜率，则切线的斜率，∴切线方程为，即，故切线方程为.故答案为：.15．已知椭圆：的焦点为，，短轴端点为，若，则__________.【答案】1【分析】根据题意可得，列出等量关系，即可求得结果.【详解】对椭圆：，其，又，故，，根据椭圆的对称性，因为，故可得，解得.故答案为：.16．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【分析】根据的正切值，结合渐近线的斜率，即可列出等量关系，求解即可.【详解】根据题意，作图如下：设点坐标为，其到渐近线：的距离，因为，显然，又因为，故可得，在中，，设，则，又，故，解得：，故双曲线的离心率.故答案为：. 四、解答题17．已知向量(1)若向量与垂直，求实数k的值；(2)若向量和是共面向量，求实数x的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据向量的加法和数乘，可得坐标表示，根据垂直向量的坐标计算公式，可得答案；（2）根据向量共面定理，建立向量和之间的表示，可得方程组，解得答案.【详解】（1）由，，则，因为，所以，则，解得.（2）由向量和是共面向量，则存在，使得，则，解得，则.18．已知圆C经过三点，，．(1)求圆C的标准方程；(2)若过点且斜率存在的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)利用待定系数法或几何法均可求圆的标准方程；(2)根据圆的弦长公式求出直线l斜率即可.【详解】（1）∵圆C过，，故圆C的圆心在y=4上，MN的中点为(1，3)，，故MN的中垂线为：y－3＝－(x－1)，即y＝－x＋4，令，故圆心，半径，∴圆C的标准方程为：；（2）设l斜率为k，则l为：，即，，圆心到直线的距离，即，解得，得直线的方程为．19．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.（Ⅱ）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.由圆的圆心在直线上，知：.又∵圆与轴相切于点，∴，，则.∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.（Ⅱ）如果选择条件①：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.如果选择条件②：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.20．在正四棱柱中，，E为的中点，F为上靠近B的三等分点．(1)求异面直线CF与所成角的余弦值；(2)求直线CF与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据空间向量的数量积计算求解；（2）根据线面角的正弦等于线法角余弦的绝对值求解．【详解】（1）解：以D为原点，分别以方向为轴，建立如下所示的空间坐标系，则由题意可知：，，，，，，，∴ ，，设，则，∵ F为上靠近B的三等分点，∴ ，，，，，，设异面直线CF与所成角为且， 则．（2）解：由（1）可求得：，，，设为平面的法向量，则，即，解得：，，，设直线CF与平面所成角为，则．21．如图所示正四棱锥，P为侧棱SD上的点，且．(1)求证：；(2)求直线SC与平面ACP所成角的正弦值；(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）利用正四棱锥的定义可得面，即，从而利用线面垂直的判定定理可得面，由此得；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用题设中的条件与平面几何的知识求得各线段的长度，从而得到各点的坐标，再求出与平面ACP的一个法向量为，利用向量的数量积运算即可求得直线SC与平面ACP所成角的正弦值；（3）假设存在，且，由此求得，再由平面PAC得，从而求得，由此可得的值.【详解】（1）连结，连结，如图，因为四棱锥是正四棱锥，所以面，又面，所以，在正方形中，，又面，所以面，因为面，所以.（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，则由平面几何知识易知，，，所以，则，，因为，所以，故，设平面ACP的一个法向量为，则，即，令，则，故，设直线SC与平面ACP所成角为，则，所以直线SC与平面ACP所成角的正弦值为.（3）假设上存在点满足题意，不妨设，则，因为平面PAC，所以，即，故，所以，则，所以.22．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程．(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等? 若存在，求出点的坐标; 若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在． 【分析】（1）利用点线距离公式及即可求得，从而求得双曲线的方程；（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.【详解】（1）由题意得，，故，又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，所以右焦点到渐近线的距离为，解得，所以，，所以双曲线C的标准方程为．（2）假设存在，设，，由题意知，直线斜率不为0，设直线，联立，消去，得，则，，且，，因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，则，即，则，整理得，故，即，因为，所以，故存在．