2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二上学期第三次月考数学（B卷）试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二上学期第三次月考数学（B卷）试题

一、单选题

1．三棱柱中，为棱的中点，若，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】由空间向量的线性运算即可求解.

【详解】解：．

故选：B

2．椭圆的长轴长为（    ）

A．4 B．6 C．16 D．8

【答案】D

【分析】根据椭圆长轴长的定义求解.

【详解】由题可知，所以，所以长轴长为.

故选：D.

3．已知，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】解：因为，，

所以，

因为，

所以，即，解得，

故选：D.

4．抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（    ）

A．8 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的，根据的关系可得答案.

【详解】因为抛物线的准线为，所以由题意可知双曲线的左焦点为，

因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.

故选：B.

5．已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断直线与圆的位置关系，再结合图形求距离最小值.

【详解】易知圆心，半径，

圆心到直线l：的距离d，

所以圆与直线相离，如图所示：

所以圆C上各点到l距离的最小值为，

故选：C．

6．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、平面的法向量，应用空间向量的坐标表示，求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】以点D为坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，可得，，，

设面的法向量为，有，取，则，

所以，，，则直线与平面所成角的正弦值为．

故选：D.

7．已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.

【详解】如图所示：

∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，

∴，，

∵是圆上一动点，∴，∴，

∴，，，

∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，

∴点的轨迹方程为.

故选：C.

8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（    ）

A．3 B．2

C． D．

【答案】C

【分析】由角平分线的性质可得，结合已知条件即可求双曲线的离心率.

【详解】由题设，易知：，

由知：，即，整理得：.

故选：C

二、多选题

9．已知两条直线，则下列结论正确的是（    ）

A．当时， B．若，则或

C．当时，与相交于点 D．直线过定点

【答案】ACD

【分析】根据两直线垂直与平行的充要条件判断A、B，对于C将代入直线方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可判断C，对于D将直线方程变形为，从而求出直线过定点坐标；

【详解】解：因为，对于A：当时，，则、，所以，所以，故A正确；

对于B：若，则，解得或，当时，满足题意，当时，与重合，故舍去，所以，故B错误；

对于C：当时，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；

对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；

故选：ACD

10．对于曲线，下面说法正确的是（    ）

A．若，曲线C的长轴长为4

B．若曲线是椭圆，则的取值范围是

C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是

D．若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或

【答案】ACD

【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】曲线，

A选项，， ，则，A选项正确.

B选项，若曲线是椭圆，则，

解得且，所以B选项错误.

C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，

解得，C选项正确.

D选项，曲线是椭圆且离心率为，，

由B选项的分析可知且，

当时，椭圆焦点在轴上，，解得；

当时，椭圆焦点在轴上，，解得，

所以的值为或，D选项正确.

故选：ACD

11．设，为实数，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．左焦点为

【答案】BCD

【分析】根据椭圆和双曲线同焦点，且两曲线均过P点，建立方程求出、，然后根据椭圆和双曲线的性质解题即可.

【详解】解：根据题意可知：，且

解得：，故A错误，B、C正确；

则，所以左焦点为，故D正确.

故选:BCD.

12．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（    ）

A．四边形的面积最小值为

B．最短时，弦长为

C．最短时，弦直线方程为

D．直线过定点

【答案】ABD

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得，由此可知AB正确；设，可知方程为：，由可求得点坐标，由此可得方程，知C正确；将代入方程，根据直线过定点的求法可知D正确.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径，

对于AB，四边形的面积，

则当最短时，四边形的面积最小，

点到直线的距离，，

此时，A正确；

又，此时，B正确；

对于C，设，，，

则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，

又为两切线交点，，

则两点坐标满足方程：，即方程为：；

当最小时，，直线方程为：，

由得：，即，

方程为：，即，C错误；

对于D，由C知：方程为：；

又，即，

方程可整理为：，

由得：，过定点，D正确.

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：过圆上一点作圆的切线，则切线方程为：；过圆外一点作圆的两条切线，切点弦所在直线方程为：.

三、填空题

13．已知圆与直线相交于A、B两点，则______.

【答案】2

【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再计算弦长得到答案.

【详解】圆，即，圆心，半径，

圆心到直线的距离为，故.

故答案为：2

14．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____．

【答案】或##或

【分析】利用空间向量垂直充要条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值

【详解】，，

，

解得或．

故答案为：或．

15．已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为______.

【答案】1

【分析】设出，点坐标，根据点差法即可求得斜率的值.

【详解】设，，显然，

则有，，

两式作差可得，，即，

又弦的中点为，则，，代入可得，

即，所以直线AB的斜率为1.

此时直线方程为，即，

联立直线与双曲线方程可得，，，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件.

故答案为：1.

16．已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为__________．

【答案】4

【分析】将到抛物线的准线的距离转化为M到抛物线焦点的距离，再根据三角形三边关系将的最小值表示为，最后根据圆外一点到圆上动点的距离转化为到圆心的距离减去半径求的最小值即可.

【详解】抛物线的焦点为，则，

圆D的圆心为，半径为

所以.

故答案为：4.

四、解答题

17．已知直线，直线过点，______．在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．

(1)求的方程；

(2)若与在x轴上的截距相等，求在y轴上的截距．

【答案】(1)x＋2y＋2＝0

(2)6

【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可；

（2）先求得直线在x轴上的截距为－2，再代入求解可得直线方程，进而求得在y轴上的截距即可.

【详解】（1）选择①．

由题意可设直线的方程为y－1＝k（x＋4），

因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，

所以直线的方程为，即x＋2y＋2＝0．

选择②．

由题意可设直线的方程为，

因为直线过点A（－4．1），所以，

解得m＝－1．

所以直线的方程为，即x＋2y＋2＝0．

（2）由（1）可知直线的方程为x＋2y＋2＝0，令y＝0，可得x＝－2，

所以直线在x轴上的截距为－2，所以直线在x轴上的截距为－2．

故直线过点（－2，0），代入ax＋2y－12＝0，得a＝－6．

所以直线的方程为3x－y＋6＝0．

因此直线在y轴上的截距为6．

18．如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；

(2)求点A到平面BDF的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．

【详解】（1）在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．

由已知AB＝＝1，

可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．

又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，

又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝

从而易得

∵＝＝（－1，0，1）．

设异面直线AE与BF所成的角为，

则．

即异面直线AE、BF所成的角的余弦为

（2）设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．

＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．

由 ∴ ，即

取＝

所以点A到平面BDF的距离

19．已知圆经过点，，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.

（2）根据已知条件求得满足的方程联立即可求得的坐标.

【详解】（1）∵圆心在直线上，

设圆心，

已知圆经过点，，则由，

得

解得，所以圆心为，

半径，

所以圆的方程为；

（2）设，

∵在圆上，∴，

又，，

由可得：，

化简得，

联立

解得或.

20．已知抛物线的焦点与双曲线右顶点重合.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设过点的直线与抛物线交于不同的两点、，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由抛物线与双曲线的性质求解，

（2）联立直线与抛物线方程，由平面向量数量积的坐标运算与韦达定理化简求解，

【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为，

（2）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，，

联立得，

由韦达定理得，

而，

则

化简得，即

解得，经检验，满足直线与抛物线相交，

故直线的方程为

21．已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.

【答案】(1)

(2)，此时直线的方程为：.

【分析】(1)根据题意，列出方程，解之即可求出结果；

(2) 过点的动直线的方程为：，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出两点纵坐标的关系，然后将焦点三角形面积表示出来，最后根据函数的单调性求出最值即可.

【详解】（1）由题意得,解得：，

椭圆的方程是：.

（2）设，

联立消去得：

由题意可知：点,

所以

令，则，所以，

，易知在单调递增，

所以当，此时，所以直线的方程为：.

22．如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，.

(1)求证：平面.

(2)求平面与平面夹角的余弦值

(3)线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)存在，.

【分析】（1）根据线面平行、面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理进行证明即可；

（2）根据面面垂直的性质，结合正方形的性质建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可；

（3）根据空间向量数量积的运算性质，结合面面垂直的判定定理进行求解即可.

【详解】（1）因为，平面，平面，

所以平面，同理，平面，

又，所以平面平面，

因为平面，

所以平面；

（2）因为平面平面，

平面平面，，

平面，所以平面，

又平面，故.

而四边形时正方形，所以又，

以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直

角坐标系.设，则，，，

，，取平面的一个法向量，设

平面的一个法向量，则，即，

令，则，所以.设平面与平面

所成锐二面角的大小为，则.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.

（3）若与重合，则平面的一个法向量，

由（2）知平面的一个法向量，则，

则此时平面与平面不垂直.若与不重合，

如图设，则，

设平面的一个法向量，则，

即，令，则，，

所以，若平面平面等价于，

即，

所以.所以，线段上存在点使平面平面，且.