2022-2023学年辽宁省营口开发区第一高级中学高二上学期11月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省营口开发区第一高级中学高二上学期11月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省营口开发区第一高级中学高二上学期11月月考数学试题 一、单选题1．直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】把直线方程化为斜截式即可得．【详解】由，得，斜率为．故选：C.2．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由椭圆定义可直接求得结果.【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离和为.故选：D.3．已知，，，则（    ）A．-15 B．-13 C．-9 D．1【答案】B【分析】求出，，然后求解数量积即可.【详解】由已知得，，，所以，.故选：B.4．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）A．5 B．1 C．1或17 D．17【答案】D【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，则，故，故或.由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，所以舍去.故选：D.5．圆M：与圆N：的公切线有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【分析】判断出两圆的位置关系即可得到答案.【详解】由题意，两圆的标准式分别为，，则圆心和半径分别为，，所以，，则，故两圆相交，一共有2条公切线.故选：B.6．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ）A． B．4 C． D．6【答案】A【分析】根据题意，结合焦半径公式得，再计算即可.【详解】解：由题知抛物线的焦点为，因为，所以，因为点在上，所以，由焦半径公式得，解得，所以，，.故选：A7．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（    ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，故，,所以点到直线的距离为.故选：A8．台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长.【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点，由题意知：，，，作，垂足为，则为中点，，，，城市处于危险地区内的时长为.故选：D. 二、多选题9．已知双曲线，则（    ）A．的焦点坐标为 B．的渐近线方程为C．的虚轴长为 D．的离心率为【答案】CD【分析】根据双曲线的标准方程，求出，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为双曲线，则则焦点坐标为，故A错误；焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，即，故B错误；双曲线虚轴长为，故C正确；离心率为，故D正确.故选:CD.10．如图，正四面体的棱长为是的中点，，，设，则（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量的运算对四个选项一一计算后，即可得到答案.【详解】因为是的中点，所以.又，所以，所以.所以.故A错误，B正确；因为，所以，所以，所以.故C正确；.故D错误.故选：BC11．已知直线，圆（为圆心），则（    ）A．直线恒过点B．到直线的最大距离为C．直线与圆一定相交D．当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4【答案】ABD【分析】直线方程整理为关于的恒等式，由此可求得定点坐标判断A，由圆心与定点连线和直线垂直时距离达到最大值计算后判断B，由定点与圆的位置关系判断C，由直线的斜率小于0，可设出截距式方程，然后得出三角形面积，利用基本不等式求得最小值判断D．【详解】直线，令得则直线恒过点，A正确；因为，所以点在圆上，则直线与圆相切或相交，C错误；，当时，到直线的距离最大，且最大值为，B正确；当时，直线的斜率为，则可设直线的方程为，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4，D正确.故选：ABD．12．如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（    ）A． B．平面C． D．平面【答案】ABC【分析】首先求出底面积，再根据棱柱的体积求出棱柱的高，依题意可得在底面的投影在上，设在底面的投影为，即可说明为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】解：因为底面为边长为的菱形，且，所以四边形的面积为，又平行六面体的体积为，所以平行六面体的高为，因为，所以在底面的投影在上，设在底面的投影为，则，又，所以，又，所以为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，，，，，因为，所以、不平行，故A错误；又，所以与不垂直，故B错误；因为，所以与不垂直，故C错误；设平面的法向量为，则，即，不妨取，所以，所以，又平面，所以平面，故D正确；故选：ABC 三、填空题13．古希腊数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆离心率的一个可能值为___________.【答案】，，，（任选一个即可）【分析】根据“逼近法”可得，由此可确定所有可能的取值，由椭圆离心率的求法可求得所有可能的取值.【详解】由题意知：，，，由“逼近法”原理可知，，又，则或或或或或或或；当或时，椭圆离心率；当或时，椭圆离心率；当或时，椭圆离心率；当或时，椭圆离心率.综上所述：椭圆离心率所有可能的取值为，，，.故答案为：，，，（任选一个即可）.14．在直三棱柱中，，，，，，则异面直线与夹角的余弦值为______．【答案】【分析】根据条件，可建立空间直角坐标系，得出与的坐标，利用向量法解决.【详解】由已知可得，两两垂直，可如图建立空间直角坐标系.则，，，，，由可得，，则，，，，，所以，.所以，异面直线与夹角的余弦值为.故答案为：.15．过抛物线的焦点作直线，与抛物线C分别交于点A，B和M，N，若直线与互相垂直，则的最小值为______．【答案】10【分析】设出直线方程，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理，结合抛物线的性质，表示出线段长度，即可得到.【详解】由已知可得，，，抛物线方程为.设直线方程为，则方程为，，，，，联立直线方程与抛物线方程得，.则，，，同理.所以，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：10. 四、双空题16．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线在轴上的截距为______，______.【答案】          【分析】令，可求出直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的关系可求出，再由可求得的值.【详解】令，得，则直线在轴上的截距为，依题意可得，因为所以，所以.故答案为：；. 五、解答题17．已知圆经过点，，.(1)求圆的标准方程；(2)过点向圆作切线，求切线方程.【答案】(1).(2)或. 【分析】（1）设圆的一般方程，由题意列出方程组，求得一般方程，即可化为标准方程；（2）讨论切线斜率是否存在，存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可求得答案.【详解】（1）设圆的方程为，则 ,解得，，，所以圆的方程为，故圆的标准方程为.（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.当切线斜率存在时，设切线方程为，即,由，解得，所以切线方程为，即.综上所述，所求切线方程为或.18．已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且．(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且的中点为，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出即可.（2）用横截式设出直线的方程以及的坐标，联立直线与抛物线方程，得到及韦达定理，再利用线段的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段的长度，用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可求出的面积.【详解】（1）由抛物线的定义知，解得，则抛物线的方程为故：答案为.（2）由线段的中点为知直线的斜率存在且不为0，设直线，，联立直线与抛物线方程，有，即，所以有，且，则所以，即所以直线，，点到直线的距离.所以.故：答案为.19．如图，已知四棱锥的底面是边长为6的菱形，且，底面，．(1)求点到平面的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）连结交于点，可以以点为坐标原点，建系，得出各点的坐标，求出平面的一个法向量，根据即可求得点到平面的距离；（2）求出平面的一个法向量，根据求出，转化为直线与平面所成角的正弦值即可.【详解】（1）连结交于点，则，又底面ABCD，则以点为坐标原点，分别以为轴的正方向，过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系.因为，，所以，，.所以，,，，，，，，.设是平面的一个法向量，则，即有，令，则是平面的一个法向量.又，所以点到平面的距离为.（2）由（1）知，，，设是平面的一个法向量，则有，即有，取，则是平面的一个法向量..所以，直线与平面所成角的正弦值为.20．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图以为坐标原点，、、分为、、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，则，即，令则，设平面的法向量为，则，即，令则，因为，所以，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面的法向量为，显然平面的法向量可以为，所以，所以，所以二面角的正弦值为.21．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为6.(1)求椭圆的方程；(2)为第一象限内椭圆上一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的坐标.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用离心率和弦长公式即可联立求解；(2)利用的坐标，根据三点共线求出两点的坐标，根据面积公式即可求出点的坐标.【详解】（1）因为离心率为,所以，即，又因为，所以，联立，解得，所以过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为，所以由 解得，所以椭圆的方程为.（2）设 由（1）可知，,因为共线，所以,即，解得，又因为共线，所以,即，解得，所以，，所以，整理得，解得或（舍），将代入椭圆方程得或（舍），所以的坐标为.22．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为.(1)求的标准方程；(2)直线与交于两点，点是的平分线上一动点，且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆方程可得焦点坐标；利用点到直线距离公式可求得，结合椭圆之间关系即可求得双曲线方程；（2）设中点为，由向量线性运算，结合等腰三角形三线合一性质可知，将直线方程与双曲线方程联立后，得到韦达定理的形式；由可构造方程求得，从而求得和；利用两点间距离公式表示出，，由，结合韦达定理可证得结论.【详解】（1）由椭圆方程知：，则，，到直线的距离，，，双曲线的标准方程为：.（2）由（1）知：，，与双曲线的左右半支各交于一点，设，设中点为，则，，又为的角平分线，；由得：，，，，，，即，解得：，，；，，，，.