2022-2023学年辽宁省辽西联合校高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省辽西联合校高二上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省辽西联合校高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知直线l经过，两点，则l的斜率为（    ）A．2 B．－2 C． D．【答案】D【分析】利用斜率公式计算后可得正确的选项.【详解】．故选：D.2．直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线mx+3y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）A．﹣3 B．1 C．1或﹣3 D．﹣1或3【答案】A【分析】由题意可得1×3＝（m+2）m，解方程求出m，然后检验即可【详解】根据直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线m+3y﹣1＝0平行，可得1×3＝（m+2）m，解得m＝1或﹣3，当m＝1时，两直线的方程重合，不符合题意；当m＝﹣3时，两直线的方程为x﹣y﹣1＝0和3x﹣3y+1＝0，两直线平行，符合题意，故m＝﹣3．故选：A．3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（    ）A．2 B．8 C． D．【答案】B【解析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.【详解】由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得m=8.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的焦点位置，分析椭圆的方程的形式，属于基础题.4．已知，是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积是（    ）A．3 B．6 C． D．【答案】A【分析】由，利用勾股定理结合椭圆的定义求解.【详解】因为，所以，则，所以，所以，故选：A5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A． B． C． D．【答案】C【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.【解析】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 6．如图，在平行六面体中，P为与的交点，若，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空间向量线性运算结合平行六面体的结构特征计算作答.【详解】在平行六面体中，因P为与的交点，则点P是中点，所以.故选：B7．已知点是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设直线与椭圆交于，,则，，则，，两式相减可求出的值，利用点斜式即可得出直线l的方程.【详解】设直线与椭圆交于，,则，，两式相减可得：，即，因为是线段的中点，所以，，所以，所以直线l的方程是，即，故选：D【点睛】方法点睛：对于中点弦问题常用根与系数的关系或点差法求解，在采用根与系数的关系时注意前提条件，再利用点差法时往往设出两个交点的坐标，设而不求，利用点差法巧妙求出直线的斜率，快速解决问题.8．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.【详解】由题可得圆心，半径为6，是垂直平分线上的点，，，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，，故点的轨迹方程为.故选：B. 二、多选题9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用向量坐标运算法则求解即可．【详解】因为向量，，所以，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确．故选：AD10．下列说法正确的是（    ）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角B．不经过原点的直线都可以用方程表示C．直线，，则与直线与距离相等的直线方程为D．已知圆，圆心为，为直线上一动点，过点向圆引两条切线和，、为切点，则四边形的面积的最小值为【答案】AC【分析】根据直线性质知A正确，当直线倾斜角为或时，B错误，根据平行和直线过中点得到C正确，计算，的最小值为，得到面积最小值，D错误，得到答案.【详解】坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，A正确；当直线倾斜角为或时，不能用表示，B错误；设直线方程为，取上一点，取上一点，则两点中点为，代入直线方程得到，即，C正确；，即，圆心，半径，，故最小时面积最小，的最小值为，故面积的最小值为，D错误.故选：AC.11．点在圆上，点在圆上，则（    ）A．的最小值为3 B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交【答案】ABC【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、，半径分别为、r=1；根据两点间距离公式求出圆心距，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项D；的最小值为可判断A；的最大值为可判断B；根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C.【详解】根据题意，圆，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，圆心距>R+r，故两圆外离，故D错误；则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确；对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C正确.故选：ABC.12．已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（    ）A．椭圆方程为 B．椭圆方程为C． D．的周长为【答案】ACD【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．【详解】由已知得，2b=2，b=1，，又，解得，∴椭圆方程为，如图：∴，的周长为．故选：ACD．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 三、填空题13．在空间直角坐标系中，点和点间的距离是__________．【答案】【分析】利用空间两点间的距离公式即得．【详解】∵点和点，∴点和点间的距离是.故答案为：.14．若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______．【答案】【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的长轴，再由点到椭圆一个焦点的距离为，利用椭圆的定义即可算出点到另一焦点的距离.【详解】 椭圆方程为：椭圆的焦点在轴上，且可得，即又由椭圆的定义： 解得： 点到另一个焦点的距离为故答案为：.15．已知向量 ，且 ，则实数 ________________．【答案】【分析】，利用向量的数量积的坐标运算即可.【详解】，则，解得故答案为：16．过定点的直线：与圆：相切于点，则__．【答案】4【详解】直线：过定点，的圆心，半径为：3；定点与圆心的距离为：．过定点的直线：与圆：相切于点，则．点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 四、解答题17．已知三角形的三个顶点，求：(1)AC边所在直线的方程(2)BC边上中线所在直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据直线方程的截距式方程列式，化简即得AC边所在直线的方程；（2）由线段的中点坐标公式，算出BC中点D的坐标，从而得到直线AD的斜率k，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边上中线所在直线的方程．【详解】（1），∴直线AC的截距式方程为，化简得即AC边所在直线的方程为：；（2）∴BC中点为D（，），直线AD的斜率为k因此，直线AD的方程为y（x+5），化简得，即为BC边上中线所在直线的方程．18．已知圆C经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）直线l经过，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用待定系数法，设圆C的方程为，根据题意列出关于的方程组，解出即可；（2）将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离为1，当直线l的斜率不存在时符合题意，当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为，列出关于的方程解出即可.【详解】解：（1）设圆C的方程为依题意得解之得∴圆C的方程为（2）圆可化为，所以圆心到直线的距离为当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l被圆C截得的弦长为，符合题意当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为，即由题意得解得∴直线的方程为综上所述，直线l的方程为或【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求圆的方程，已知直线截圆所得的弦长求直线的方程，属于中档题.19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)求证：平面EBD(2)求PB与平面EBD所成的角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接AC与BD交于点O，连接OE，根据E是PC的中点，底面ABCD是正方形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量的坐标和平面EBD的一个法向量，设PB与平面EBD所成的角为，由求解．【详解】（1）如图所示：连接AC与BD交于点O，连接OE，因为E是PC的中点，底面ABCD是正方形，是中点，所以，又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；（2）以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，，设平面EBD的一个法向量为，则，即，令，得，，则，设PB与平面EBD所成的角为，所以．20．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABCD，，，F是BC的中点．(1)求证：AD⊥平面PAC；(2)试在线段PD上确定一点G，使∥平面PAF，请指出点G在PD上的位置，并加以证明；(3)求平面PAF与平面PCD夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)G为PD中点，证明见解析；(3)． 【分析】（1）证明出AD⊥PA，AD⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得出结论；（2）当G为PD的中点时，平面PAF，取PA的中点H，连接GH、FH，证明四边形CFHG为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；（3）以点A为坐标原点，AC、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面PAF与平面PCD夹角的余弦值．【详解】（1）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AD⊥PA，∵∠ACB＝90°，，则∠CAD＝90°，则AD⊥AC，∵，平面PAC，∴AD⊥平面PAC；（2）当G为PD的中点时，平面PAF，取PA的中点H，连接GH、FH，如图所示：因为G、H分别为PD、PA的中点，则且，因为四边形ABCD为平行四边形，则且，∵F为BC的中点，则且，所以，且，所以，四边形CFHG为平行四边形，所以，，因为，平面PAF，平面PAF，因此，平面PAF，故当点G为PD的中点时，平面PAF；（3）∵PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，以点A为坐标原点，AC、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，∵，，，则，∵F为BC的中点，则，则、、、、，，，，，设平面PAF的法向量为，设平面PCD的法向量为，由，得，取，可得，由，得，取，可得，因为，因此，平面PAF与平面PCD夹角的余弦值为．21．已知椭圆经过（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于不同两点是坐标原点，求的面积.【答案】(1)；(2)．【分析】(1)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，可求出椭圆的方程；(2)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用进行求解．【详解】(1)由题意得: , 解得: 即轨迹E的方程为                           (2)记，的方程为由消去得，      所以   设直线与轴交于点22．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据条件确定a,b的值，从而可得椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用A,B坐标表示，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点.【详解】（1）由题意点是椭圆的一个顶点，知，因为是等腰直角三角形，所以，即，所以椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．由，得，由题意知，设，，所以，，因为，所以，所以，整理得，故直线的方程为，即，所以直线过定点．若直线的斜率不存在，设其方程为，，．由题意得，解得，此时直线的方程为，显然过点．综上，直线过定点．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用，的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性.