2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高二上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．如果且，那么直线不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限.【详解】，，，，，故，.故直线不经过第四象限.故选：D2．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点代入圆的方程即可求解.【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得.故选：A【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题.3．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（    ）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】由和的分母异号可得．【详解】由题意，解得．故选：B.4．抛物线的焦点到圆C：上点的距离的最小值为（    ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】确定焦点为，确定圆心为，半径，焦点到圆心的距离减去半径即最小距离.【详解】抛物线的焦点坐标为，圆C：，圆心为，半径.焦点到圆心的距离为，则焦点到圆上点的最小值为.故选：C5．已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别求出，即可得到答案.【详解】直线经过定点.因为，所以,所以要使直线与线段没有公共点，只需：，即.所以的取值范围是.故选：A6．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，又因为，则，从而得，又因为，所以.故选：B.7．设集合，集合，当时，则r的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，如下图所示，当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时， 当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，所以当时，则r的取值范围为或，故选：C.8．已知从椭圆：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点P满足，若的面积的最大值为，则面积的最小值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】设出，求出点轨迹为圆，圆心为，半径为，得到点到轴的距离最大值为，根据的面积最大值求出，从而求出，求出，结合点到轴的距离最小值，求出面积的最小值.【详解】设，不妨令，，故，整理得：，点轨迹为圆，圆心为，半径为，由题意得：，则点到轴的距离最大值为，所以，解得：，故，则，则点到轴的距离最小值为，故面积的最小值为.故选：A 二、多选题9．已知，O为坐标原点，点是圆外一点，过点P作直线，直线m的方程是，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．m与圆相离 D．m与圆相交【答案】ABD【分析】根据垂直关系得到，得到AB正确，再计算圆心到直线的距离与半径的大小关系，得到C错误D正确，得到答案.【详解】，，故，直线m的方程是，故 ，两直线不重合，故，，AB正确；圆心到直线的距离为，直线与圆相交，C错误D正确.故选：ABD.10．以下四个命题表述正确的是（    ）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1C．圆：与圆：恰有一条公切线，则D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点【答案】ABC【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径差列式求得判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．【详解】由，得，联立，解得，直线恒过定点，故A正确；圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线化为标准式，圆心，半径为1，曲线化为标准式，圆心，半径为，∴圆心距为，解得，故C正确；设点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，令，，解得，，故直线经过定点，故D错误．故选：ABC.11．已知抛物线C：，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点）射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则MB平分C．若，则D．若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线【答案】ABD【分析】当，计算坐标，得到，通过线段长度关系得到，得到AB正确，时，计算计算坐标得到，C错误，计算的坐标得到D正确，得到答案.【详解】根据抛物线性质，直线过抛物线焦点.若，则抛物线，，的焦点为，直线的方程为，可得，，因为，所以，又，所以平分，故AB正确；若，则抛物线，，的焦点为，故直线的方程为，由得 或 ，故，得， 故选项 C 中说法不正确； 若则抛物线，，则直线的方程为， 令，得，故，由选项的分析可知，所以点共线，故选项D中说法正确.故选：ABD.12．嫦娥五号探测器是我国第一个实施无人月面取样返回的月球探测器．如图所示，现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦半距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长，则下列式子正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.【详解】，，即，故A正确；∵，∴，，，，∴，故B错误；C错误由B可知，，则，故D正确；故选：AD. 三、填空题13．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与l垂直的直线方程________．【答案】（答案不唯一）【分析】根据直线平移规则得到，一条与l垂直的直线方程为，代入化简即可.【详解】设直线方程为：，变换后：，即，故.一条与l垂直的直线方程为：，即.故答案为：.14．设双曲线C：的左，右焦点分别为，，过左焦点且斜率为的直线l与C在第一象限交于点P，若，则双曲线C的离心率为________．【答案】【分析】首先利用双曲线的定义表示的三边，再根据斜率表示，并用余弦定理表示，即可求得双曲线的离心率.【详解】由条件可知，，根据双曲线的定义可知，，并且,所以，,即，，则双曲线的离心率 故答案为：15．已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_______．【答案】【分析】根据的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案．【详解】∵的面积为，∴，∴，由已知得，即，所以，所以，又，所以，由，解得，进而，∴，又，∴，∴.即的取值范围为.故答案为： 四、双空题16．已知双曲线C：过点，则其方程为________，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是________．【答案】          【分析】①将点代入方程中求出，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围【详解】①有双曲线C：过点，所以所以方程为②如图：设的内切圆与分别切于，所以，所以，又，所以，又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，设直线的倾斜角为.则，，，当时，，当时，由题知，...因为两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴.且，，综上所述，.故①答案为：;【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出，的内切圆与轴同时切于双曲线的右顶点,并将用直线的倾斜角表示出来是解题关键. 五、解答题17．菱形的顶点、的坐标分别为、，边所在直线过点．(1)求边所在直线的方程；(2)求对角线所在直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知可得出，则，求出边所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；（2）求出线段的垂直平分线方程，即为对角线所在直线的方程．【详解】（1）解：由菱形的性质可知，则，所以，边所在直线的方程为，即.（2）解：线段的中点为，，由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，因此，对角线所在直线的方程为，即.18．已知抛物线C：的焦点F与双曲线E：的一个焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段AB的中点M到准线的距离．【答案】(1)(2)4 【分析】（1）先由双曲线的焦点，可得，解出即可求解;（2）根据抛物线的定义可得，从而可得点M的横坐标，再根据抛物线的定义可求解.【详解】（1）∵双曲线E：的焦点坐标为，又抛物线（）的焦点，∴，即.∴抛物线C的方程为.（2）设，，由抛物线定义，知，∴，于是线段的中点M的横坐标是1，又准线方程是，∴点M到准线的距离等于.19．已知圆C的圆心坐标为，与y轴的正半轴交于点A且y轴截圆C所得弦长为8．(1)求圆C的标准方程；(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．【答案】(1);(2)证明见解析，定点为. 【分析】（1）设圆的标准为，求出即得解；（2）直线n斜率不存在时，不存在；直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，求出直线的方程为即得解.【详解】（1）设圆的标准为，y轴截圆C所得弦长为8，即，故圆的标准方程为．（2）证明：令，可得，，又点在正半轴，故，当直线n斜率不存在时，设，，直线，的斜率之积为2，，即，点在圆上，，联立，，舍去，当直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，①联立方程，，，代入①，得，化简得或，若，则直线过，与题设矛盾， 舍.直线n的方程为：，所以且所以.所以过定点．20．已知三条直线；，，：，且原点到直线的距离是．(1)求a的值；(2)若，能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的2倍；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由．【答案】(1)(2)存在理由见详解. 【分析】（1）利用原点到直线的距离是求解即可；（2）假设存在满足三个条件的点，然后根据三个条件联立解出即可.【详解】（1）因为原点到直线的距离是，即 所以（2）若，由（1）得，所以设存在点满足题意，则：点到的距离是点到的距离的2倍有 即   ①点到的距离与点到的距离之比是       ②             ③联立①②③解的： 故存在满足上述三个条件的点21．在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；(2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．【答案】(1);(2)或. 【分析】（1）由圆的内切，外切位置关系可得，，即，由椭圆的定义，分析即得解；（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理求解弦中点坐标，用斜率表示直线的垂直关系可得，代入，求解即可.【详解】（1）由题意，圆的标准方程为：，圆心，圆的标准方程为，圆心，不妨设动圆P的半径为，动圆P和圆内切，故；动圆P和圆外切，故，即，又，故动圆P的圆心轨迹是以为焦点的椭圆，，即轨迹E的方程是：.（2）由题意，联立直线与椭圆：，可得，不妨设，则，即，，线段MN的中点横坐标，纵坐标，线段MN的垂直平分线过定点，故，即，代入可得，，即即，解得或.22．动点与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设过点的直线l与曲线C交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q、使得为定值?若存在，求出Q点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)在x轴上存在点、使得为定值. 【分析】（1）根据题意，列出方程，整理后得到曲线C的方程；（2）假设存在点，先考虑直线l的斜率不为0时，设直线，与曲线C的方程联立后，得到两根之和，两根之积，表达出，从而当时，得到，再考虑直线l的斜率为0时，也满足，从而得到结论.【详解】（1）由题意得：，化简得：；（2）假设存在点，使得为定值，当直线l的斜率不为0时，设直线，联立得：，所以，且，得且，设，则，所以，，则，由为定值，得，解得：，此时，当直线的斜率为0时，此时不妨设，故，综上：在x轴上存在点、使得为定值.【点睛】圆锥曲线定点定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况，本题中由于直线l过点，故用含的式子来表达，计算上是更为简单，此时考虑的是直线斜率为0和不为0两种情况.