2022-2023学年山东省青岛市青岛第九中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省青岛市青岛第九中学高二上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市青岛第九中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程.【详解】∵双曲线的标准方程为，∴双曲线的焦点在轴，，，且双曲线的渐近线方程为，即.故选：C.2．若两个不同平面的法向量分别为，则（       ）A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确【答案】A【分析】根据法向量，可得，可得法向量和平行即可得解.【详解】由，所以法向量和平行，所以平面和平行，故选：A.3．已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为A． B．C． D．【答案】A【详解】设直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b）．圆心C为点（2，﹣3），由中点坐标公式得，a=4，b=﹣6，∴r=，则此圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=13，即x2+y2﹣4x+6y=0．故选A．4．过点作直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，点为坐标原点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，根据已知条件求出的取值范围，并求出、两点的坐标，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由于过点作直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则直线的斜率存在，设直线的方程为，即，在直线的方程中，令，可得，即点；令，可得，即点.由题意可得，解得，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．如图，在长方体中，，，点在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构建空间直角坐标系，求，的坐标，应用空间向量夹角的坐标表示求与所成角的余弦值即可.【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，.∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.故选：B6．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于A．2 B．6 C．2或6 D．【答案】C【详解】∵圆 截直线 所得的弦的长度为 ，圆心 到直线的距离 ，∴，解得 或 ．故选C．7．椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=，，故选D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【解析】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.  二、多选题9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（    ）A．B．C．向量与的夹角是D．与AC所成角的余弦值为【答案】ACD【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于A，，所以，选项A错误；对于B：，所以，即，选项B正确；对于C：向量 与 的夹角是，所以向量 与的夹角也是，选项C错误；对于D：，得，，同理，可得，所以，所以选项D错误．故选：ACD．10．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ）A．的周长为 B．面积的最大值为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】BCD【分析】计算周长得到6，A错误，，B正确，，根据定义域得到范围，C正确，，得到值域，得到答案.【详解】根据题意：，，，的周长为，A错误；面积的为，当在上下顶点时等号成立，B正确；设，则，，故，C正确；，设，，则，故的取值范围为，D正确.故选：BCD.11．如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）A． B．该几何体外接球的体积为C．若为中点，则平面 D．的最小值为【答案】ACD【分析】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得，，，，，的坐标，由，的数量积可判断A选项；该几何体外接球的球心为矩形的对角线交点，即可求得半径，可判断B选项；求得的坐标，求得平面的法向量，计算可判断C选项；设（），由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断D选项．【详解】由题意以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得，，，，，，对于A选项：有，，由，可得即，所以A选项正确；对于B选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形的中心的垂面上，即为矩形的对角线的交点，则该球的半径，即该几何体外接球的体积，所以B选项错误；对于C选项：若为中点，则，即，，，设平面的法向量为，由，令，可得，即，可得，又平面，则平面，所以C选项正确；对于D选项：由三角形是等腰直角三角形，可设（），则，又，则当时，取得最小值，所以D选项正确．故选：ACD.12．卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点是平面内两个定点，（是定长），特别地，当时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（    ）A．曲线过原点B．关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称C．方程为D．曲线上任意点，，【答案】ABC【分析】根据得到轨迹方程为得到ABC正确，验证知在曲线上，故D错误，得到答案.【详解】设，时，，化简得到：，故C正确；曲线过原点，A正确；关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称，B正确；验证知在曲线上，故D错误.故选：ABC. 三、填空题13．直线与直线平行，则的值为____________．【答案】##【分析】利用直线的一般式方程确定两直线平行的条件即可求解.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得,所以的值为.故答案为：.14．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可） 15．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．【答案】【解析】设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程.【详解】设点，如图连接交于， 由矩形可知为的中点，，连接，在直角中，，则即，整理得，所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题. 四、双空题16．已知点 是空间直角坐标系 内一点， 则点 关于 轴的对称点 的 坐标为 ________． 若点 在平面 上的射影为 ， 则四面体 的体积为________．【答案】     （1，－2，－3）     2【分析】由空间直角坐标系中的点的对称性质求解，利用棱锥的体积公式直接求解【详解】 是空间直角坐标系 内一点， 则点 关于 轴的对称点 的 坐标为（1，－2，－3），因为点 在平面 上的射影为 ，所以，所以四面体 的体积为，故答案为：（1，－2，－3），2 五、解答题17．已知斜率为的直线与圆心为的圆相切于点，且点在轴上.（1）求圆的方程；（2）若直线与直线平行，且圆上恰有四个不同点到直线距离等于，求直线纵截距的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，从而可得，求出，再由即可求解.（2）设：，由题意可得圆心到直线的距离，解不等式即可.【详解】解：（1）依题意，设点的坐标为.，，解得，即点的坐标为，从而圆的半径.故所求圆的方程为.（2）因为，设：，由圆上恰有四个不同点到直线距离等于，得圆心到直线的距离，解得.即直线纵截距的取值范围为.18．已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.【答案】(1) (2) 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．试题解析：（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.19．已知的顶点，直线的方程为，边上的高 所在直线的方程为.(1)求顶点和的坐标；(2)求外接圆的一般方程.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标；（2）设圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解.【详解】（1）由可得，所以点的坐标为，由可得，所以由，可得，因为，所以直线    的方程为：，即，由可得，所以点的坐标为.（2）设的外接圆方程为，将，和三点的坐标分别代入圆的方程可得：，解得：，所以的外接圆的一般方程为.20．在正四棱柱中在线段上.（1）若平面，求的长；（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知可得两两垂直，建立空间直角坐标系，利用已知条件写出点的坐标，设()，进而得到点的坐标，利用平面，可得，即可得出的值，即可得出结果；（2）由（1）得，为平面的一个法向量，利用线面的所成角的向量求法求解即可.【详解】解：（1）由已知可得两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，设()，则，，∴，∴.由平面，得，解得，即的长为.（2）由（1）得，为平面的一个法向量，∴，∴与平面所成角的正弦值为.21．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为. 22．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的下顶点，，当轴时，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线不过坐标原点时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知建立关于的方程组，解之可求得椭圆的标准方程.（2）由（1）知，设，，由直线不过坐标原点，所以设直线的方程为，与椭圆的方程联立得，得出根与系数的关系式，表示，代入可求得的取值范围.【详解】（1）因为为直角三角形，所以，则，又，所以，又，所以，则，，故椭圆的标准方程为（2）由（1）知，设，，则，，又直线不过坐标原点，所以设直线的方程为，则，消去得，所以，，则，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.