2022-2023学年山东省淄博市沂源县第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省淄博市沂源县第一中学高二上学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市沂源县第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得到直线的斜率，然后可得答案.【详解】直线的斜率为，所以其倾斜角为，故选：B2．已知点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】点到直线的距离等于点到直线的距离，然后根据点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为点关于直线的对称点为，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，为，故选：C3．已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先计算线的方向向量和面的法向量夹角的余弦值的绝对值,也即是线与面夹角的正弦值,由此即可选出选项.【详解】解:由题知,记直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成的角为.故选:A4．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，当直线过椭圆右焦点并垂直于轴时，的面积为（为坐标原点），则椭圆的长轴长为（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由题可得，即得.【详解】令，由，可得，即，所以，解得，所以椭圆的长轴长为.故选：B.5．已知三棱柱，点为线段上一点，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的运算，利用基底表示向量.【详解】由题意得，因为，，所以.故选：D.6．已知棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用坐标法，由题可得平面，然后利用点到平面的距离的向量求法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，所以，，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，即，又平面，所以平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，又所以点到平面的距离为，即直线与平面之间的距离为.故选：B.7．已知三个点，且为坐标原点，满足，则直线与圆的位置关系是（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能【答案】C【分析】由题可得直线的方程，然后根据点到直线的距离公式即得.【详解】因为，，所以，所以直线：，即，由圆，可知圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交.故选：C.8．抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得点坐标，可得的取值范围，可得答案.【详解】∵圆，抛物线，∴圆心也是抛物线的焦点，抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长，由可得，又圆与轴正半轴交于，∴的取值范围为，的周长的取值范围为.故选：D. 二、多选题9．如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）A．单位向量有8个B．与相等的向量有3个C．与的相反向量有4个D．向量共面【答案】ABC【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得.【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确；与相等的向量有共3个，故B正确；向量的相反向量有共4个，故C正确；因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误.故选：ABC.10．已知圆与圆，则下列结论正确的是（    ）A．若两圆外离，则的取值范围是B．当时，两圆内切C．若两圆相交，则的取值范围是D．当时，两圆相交于两点，此时相交弦的长为【答案】BC【分析】A、B、C项分别由圆与圆的位置关系对应的几何表达式求解.D项相交两圆的公共弦所在的直线方程为两圆方程之差，再由圆内的弦长公式 可得结果.【详解】设： 即：∴，即：∴圆心，半径为 设：∴圆心，半径为∴圆心距， ，对于A项，∵两圆外离∴    ∴A项错误；对于B项，∵ ∴∴∴两圆内切.      ∴B项正确；对于C项，∵两圆相交∴解得：     ∴C项正确.对于D项，∵∴：∵AB所在的直线方程为两圆方程之差.∴AB所在的直线方程为 ∴ ∴     ∴D项错误.故选：BC.11．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线过点，则（    ）A．双曲线与双曲线有相同的渐近线B．双曲线的离心率为C．若到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为D．若直线与渐近线围成的三角形面积为，则焦距为【答案】ACD【分析】由一条渐近线过点，可得，可得渐近线方程为，然后逐个分析判断即可【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为，因为一条渐近线过点，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，对于A，双曲线的渐近线方程为，即，所以A正确，对于B，由于，所以离心率为，所以B错误，对于C，因为右焦点为到渐近线的距离为2，所以，解得，因为，，所以解得，所以双曲线方程为，所以C正确，对于D，对于渐近线，当时，，所以由双曲线的对称性可得直线与渐近线围成的三角形面积，得，由，，解得，所以焦距为，所以D正确，故选：ACD12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G为的中点，则下述选项正确的是（    ）A．平面平面B．三棱锥的体积为C．平面与平面夹角的正弦值为D．若P为空间一动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为【答案】AD【分析】对于A，由面面垂直的判定定理判断，对于B，根据题意由求解，对于C，如图建立空间直角坐标系求解，对于D，如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆.【详解】对于A，连接，因为平面，平面，所以，因为，∥，所以，因为，平面，所以平面，则A正确；对于B，，所以B错误；对于C，如图以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以,设平面的法向量为，则，令，则设平面的法向量为，则，令，则，设平面与平面夹角为，由图可知为锐角，所以，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为，所以C错误；对于D，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆，则长度为，所以D正确.故选：AD. 三、填空题13．已知直线与垂直，则的值为__________.【答案】【分析】根据两条直线垂直的充要条件建立方程求解即可.【详解】因为直线与垂直，所以，解得，故答案为：14．已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为__________.【答案】【分析】根据投影向量的定义即得.【详解】因为，向量为单位向量，，所以向量在向量方向上的投影向量为：.故答案为：.15．已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．【答案】【分析】由条件求，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.【详解】解：如图，根据题意，，，∴，，设直线的倾斜角为，∴，当且仅当时等号成立，即，，，又∴，故答案为：．16．为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则__________.【答案】## 【分析】设两圆外切于点，连接，作交于点，点为线段与圆的交点，然后利用求解即可.【详解】如图，设两圆外切于点，连接，作交于点，点为线段与圆的交点，因为，所以，因为，，所以，所以，所以，解得，故答案为：. 四、解答题17．已知，，，，.（1）求实数，，的值；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1）x=2，y=-4，z=2；（2）.【分析】（1）直接利用向量平行和向量垂直即可求出，，的值；（2）先求出 利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为，，，，.所以，解得：x=2，y=-4，z=2.（2）由（1）知：，，，所以 .设与夹角为，则即与夹角的余弦值为.18．如图，四边形是正方形，平面，且.(1)求平面与平面的距离；(2)若，求直线与直线所成的角的余弦值.【答案】(1)3(2) 【分析】(1)根据题意，利用线面平行的判定先证平面，同理可得平面，然后利用面面平行的判定证明平面平面.将面到面的距离转化为点到面的距离即可求解；(2) 在上取一点使得，连接，证明，说明为直线与直线所成的角，在中利用余弦定理即可求解.【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，平面，平面，所以平面，因为，同理平面，又，所以平面平面.所以点到到平面的距离即为平面与平面的距离.因为，且为点到到平面的距离，所以平面与平面的距离为3.（2）如图所示，在上取一点使得，连接，则四边形为平行四边形，所以四边形为平行四边形，所以，则为直线与直线所成的角，在中，，由余弦定理可得：.所以直线与直线所成的角的余弦值为.19．已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________.(1)求直线的一般式方程；(2)已知点为直线上一动点，求最小值.试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三种不同的条件，求出直线的斜率，得出直线的点斜式方程，在转化为一般式即可.（2）设点关于直线的对称点为，利用中点坐标在直线上和两直线垂直斜率之积为，列出方程组求出对称点的坐标，利用对称即可求得最短距离.【详解】（1）解：若选①，由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以直线的一般式方程为.若选②，直线经过与的交点，联立，解得，所以交点坐标为，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以直线的一般式方程为.若选③，由题意设直线的方程为，则所以直线的一般式方程为.（2）解：设点关于直线的对称点为，由题意得，，解得，所以，20．在平面直角坐标系中，过坐标原点的圆（圆心在第一象限）的半径为2，且与轴正半轴交于点.(1)求圆的标准方程；(2)设点是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）设圆的标准方程为，由轴上的弦长及半径得圆心坐标，从而得圆方程；（2）由四边形的面积得面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算可得．【详解】（1）设圆的标准方程为，由题意得，，所以，解得，，圆心得坐标为.圆的标准方程为.（2）四边形得面积，在Rt中，，要使四边形面积最小，则最小即可.此时，∴，所以，四边形BCMD面积的最小值为.21．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.(1)求证：平面；(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）首先证明，然后证明平面，可得，即可证明；（2）首先证明平面，然后以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.【详解】（1）连接，由题设知四边形为菱形，，分别为中点，；又为中点，，因为二面角为直二面角，即平面平面，平面平面平面平面，又平面；又平面平面.（2），为等边三角形，，平面平面，平面平面，平面平面，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，设，则，；由（1）知：平面平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，则；，令，则；，即锐二面角的余弦值的取值范围为.22．已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为.(1)求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？(2)设点，过点且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线分别交圆于异于点的点，设直线的斜率为，直线的斜率分别为.①求证：为定值；②问：直线是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由.【答案】(1)，轨迹是长轴长､短轴长分别为的椭圆；(2)①证明见解析；②直线恒过定点. 【分析】（1）由题可得，进而即得；（2）①设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理法即得；②设直线的方程为，联立圆的方程，根据韦达定理法可表示出，结合条件可得的方程，即得.【详解】（1）设是点到定直线的距离，由题意，动点的轨迹就是集合，则，化简得，即，所以轨迹是长轴长､短轴长分别为的椭圆；（2）①设直线的方程为，与联立得，，设，则，所以；②设直线的方程为，与联立得，，设，则，所以，由题意知，即，所以，此时，所以直线的方程为，故直线恒过定点.