2022-2023学年山西省大同市第三中学校高二上学期期中考试数学试题

这是一份2022-2023学年山西省大同市第三中学校高二上学期期中考试数学试题，共18页。试卷主要包含了抛物线y=8x2的准线方程为，过点A1,3作圆M，圆C1，设抛物线C，下列数列中，是等差数列的是等内容，欢迎下载使用。
大同三中2022~2023学年度第以一学期期中考试高二年级数学试题考试考试时间：120 分钟 第Ⅰ卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线的方程为，则的倾斜角是（    ）A． B． C． D．2．两平行直线与之间的距离为（    ）A． B． C．5 D．3．抛物线的准线方程为（    ）A． B． C． D．4．过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）A．3 B． C． D．5．设等差数列​的前​项和为​，若 ​，则 ​（    ）A．​ B． ​ C．​ D． ​6．圆与圆的公共点的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．不确定7．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．8．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ）A． B．4 C． D．6 二、多选题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．9．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的值可能是（    ）A． B． C．6 D．36 10．下列数列中，是等差数列的是（    ）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2 11．下面四个结论正确的是（   ）A．空间向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．任意向量满足 12．如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（    ）A．椭圆的长轴长为8 B．椭圆的离心率为C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为 第Ⅱ卷三、填空题.本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．13．已知双曲线，则的渐近线方程为______．14．设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.15．若空间中有三点，则点到平面的距离为___________.16．若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________. 四、解答题．本大题共6小题，第17，18小题每小题10 分，第19，20，21小题每小题12分。第22小题14分，共70 分17．已知{}为等差数列，Sn为其前n项和，若．(1)求数列{}的通项公式；(2)求Sn． 18．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 19．在长方体中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点.(1)证明：平面.(2)求与平面所成角的正弦值. 20．已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长. 21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动.(1)当E为AB的中点时，求异面直线AC与所成角的余弦值；(2)AE等于何值时，二面角的大小为. 22．已知椭圆E：的离心率为，且过点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知定点，直线l：满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，始终满足，证明：直线l过一定点T，并求出定点T的坐标.                  大同三中2022~2023学年度第以一学期期中考试高二年级数学试题考试考试时间：120 分钟一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线的方程为，则的倾斜角是（    ）A． B． C． D．【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】解：直线的方程为，即，所以直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.故选：D 2．两平行直线与之间的距离为（    ）A． B． C．5 D．【分析】由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】两平行直线与之间的距离．故选：B 3．抛物线的准线方程为（    ）A． B． C． D．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程可变为故其准线方程为故选：C 4．过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）A．3 B． C． D．【分析】由题意可知，先求出，从而可求得结果.【详解】圆的圆心为，半径为1，因为，所以.故选：A. 5．设等差数列​的前​项和为​，若 ​，则 ​（    ）A．​ B． ​ C．​ D． ​【分析】根据等差数列的性质可得，利用等差数列前n项和公式即可求得答案.【详解】​等差数列​中，，故，，故选：B.​ 6．圆与圆的公共点的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．不确定【分析】判断两圆的位置关系即可得答案.【详解】解：因为圆变形为所以，圆的圆心为，半径为，圆变形为圆，所以，圆的圆心为，半径为，因为，所以，圆与圆相交，其公共点的个数为.故选：C 7．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，且为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【分析】先证明出，.以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求解.【详解】由题意：,所以，所以.同理：.所以可以以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,,,.所以，.设异面直线与所成角为，则.故选：A 8．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ）A． B．4 C． D．6【分析】根据题意，结合焦半径公式得，再计算即可.【详解】解：由题知抛物线的焦点为，因为，所以，因为点在上，所以，由焦半径公式得，解得，所以，，.故选：A 二、多选题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．9．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的值可能是（    ）A． B． C．6 D．36【分析】根据椭圆的标准标准方程，分情况明确，结合长轴长与短轴长的定义，建立方程，可得答案.【详解】由，当时，则，，由题意，，可得，解得，符合题意；当时，则，，由题意，，可得，解得，符合题意.故选：AD. 10．下列数列中，是等差数列的是（    ）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2【分析】根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果.【详解】根据等差数列的定义，可得：A中，满足(常数)，所以是等差数列；B中，满足(常数)，所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足(常数)，所以是等差数列.故选：ABD. 11．（多选题）下面四个结论正确的是（   ）A．空间向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．任意向量满足【分析】对于A，根据数量积的性质判断，对于B，利用空间向量共面定理判断，对于C，利用基底的定义判断，对于D，利用数量积的定义分析判断【详解】对于：空间向量，若，则，故正确；对于B：若对空间中任意一点，有，由于，则四点共面，故B正确；对于C：已知是空间的一组基底，若，则两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C正确；对于D：任意向量满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明和存在倍数关系，由于是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误．故选：ABC． 12．如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（    ）A．椭圆的长轴长为8 B．椭圆的离心率为C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为【分析】根据条件求得短半轴长、长半轴长，从而求得半焦距，进而可求得结果.【详解】由题意易知椭圆的短半轴长，∵截面与底面所成的角为，∴椭圆的长轴长为，则，所以，离心率为，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，则椭圆的方程为.故选：BD. 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．13．已知双曲线，则的渐近线方程为______．【分析】根据双曲线的渐近线方程求解即可.【详解】解：由题知双曲线的焦点在轴上，，所以，的渐近线方程为.故答案为： 14．设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】解：因为直线l经过点､，所以直线l的斜率是，故答案为：1 15．若空间中有三点，则点到平面的距离为___________.【分析】利用空间向量的夹角去求到直线的距离；利用公式去求到平面的距离【详解】由可得则，又，则则到直线的距离为设平面的一个法向量为则，即，令，则，又则点到平面的距离为故答案为：； 16．若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________.【分析】两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，根据圆的弦长公式即可求a的值．【详解】圆与圆的方程相减即为公共弦所在直线方程：，圆圆心(0，0)到公共弦距离d＝，则公共弦长度为，解得a＝．故答案为：．  四、解答题．本大题共6小题，第17，18小题每小题10 分，第19，20，21小题每小题12分。第22小题14分，共70 分17．已知{}为等差数列，Sn为其前n项和，若．(1)求数列{}的通项公式；(2)求Sn．【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）由等差数列前n项和公式求Sn.【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1＝6，a3+a5＝0，则6+2d+6+4d＝0，解得d＝﹣2，因此an＝a1+（n﹣1）d＝8﹣2n，所以{an}的通项公式为an＝8﹣2n．（2）由题意知：， 18．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【分析】（1）首先求出过点且与直线垂直的直线，则圆心必在此直线上；与联立可求得圆心坐标；再利用两点间距离公式可求得；根据圆心和半径可求得圆的方程；（2）根据直线被圆截得的弦长可求得圆心到直线的距离：，分别在斜率存在和不存在两种情况下求解直线方程，进而可得结果.【详解】（1）由题意得，过点且与直线垂直的直线方程为：由，解得：    圆心的坐标为圆的半径：圆的方程为：（2）因为直线被圆截得的张长为圆心到直线的距离：若直线的斜率不存在，则为直线，此时圆心到的距离为，不符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为：，即由，整理得：解得：或直线的方程为：或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用问题，涉及到直线与圆相切、直线被圆截得的弦长问题. 19．在长方体中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点.(1)证明：平面.(2)求与平面所成角的正弦值.【分析】以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.（1）利用向量法证明平面；（2）利用向量法求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）由题意可知，以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.因为分别是的中点，所以,.所以在长方体中，为平面的一个法向量.因为，且平面，所以平面.（2）,.设为平面的一个法向量，则，不妨设，则.设与平面所成角为，则.即与平面所成角的正弦值为. 20．已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长.【分析】（1）由双曲线定义得到，结合离心率得到，求出，得到双曲线的标准方程；（2）先分析得到直线的斜率不为0，设出直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据为直径的圆过原点，得到，从而列出方程，代入两根之和，两根之积，得到，再由弦长公式求出答案.【详解】（1）由双曲线的定义可得，解得：.因为双曲线的离心率为，所以，解得.因为，所以.故双曲线的标准方程为（2）当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去；直线的斜率不为0，则设直线，联立整理得，则，故.因为以为直径的圆过原点，所以，所以所以，即，化简整理得，即，则，故.【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中以为直径的圆过原点，所以，从而由向量数量积为0列出方程，注意考虑直线的斜率存在和不存在两种情况. 21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动.(1)当E为AB的中点时，求异面直线AC与所成角的余弦值；(2)AE等于何值时，二面角的大小为.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可；（2）利用坐标法求平面的法向量，平面的法向量，利用二面角的向量求法即得.(1)如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则∴，设AC与D1E所成的角为，则，即异面直线AC与所成角的余弦值为；(2)设，，则，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量可取，，解得或（舍去）.时，二面角的大小为. 22．已知椭圆E：的离心率为，且过点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知定点，直线l：满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，始终满足，证明：直线l过一定点T，并求出定点T的坐标.【分析】（1）根据离心率得到，把点代入椭圆方程解得答案.（2）联立方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，利用向量的运算法则根据得到，代入直线方程得到定点.【详解】（1）椭圆离心率，故，设椭圆方程为，过点，故，解得，故椭圆方程为.（2）设，由，得，，即.，，，，故，故，即，解得：（舍去），且满足.当时，，直线过定点.综上可知，直线过定点，定点坐标为.【点睛】关键点点睛：利用根与系数的关系解决直线过定点问题是考查的重点