2022-2023学年山西省高中教育发展联盟高二上学期11月期中检测数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省高中教育发展联盟高二上学期11月期中检测数学试题

一、单选题

1．已知直线l的倾斜角是，且过点，则下列四个点中在直线l上的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据点斜式可得直线的方程，将选项中的点的横坐标代入直线方程，逐一检验即可求解.

【详解】直线l的倾斜角是，所以，所以由点斜式得直线l的方程为： ，

当时，，故A错误，

当时，，故点在直线上，B正确，

当 ，故C错误，

当 ，故D错误，

故选：B

2．已知椭圆，则椭圆的长轴长为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】转化为椭圆的标准方程即可求解.

【详解】由椭圆得：，所以，解得，所以长轴长，

故选：A.

3．若点和点到直线的距离相等，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】利用点到直线距离公式可构造方程求得结果.

【详解】由题意得：，即，解得：或.

故选：D.

4．已知圆内一点，则过P点的最短弦所在的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与垂直，求出即得解.

【详解】解：由题得圆的圆心坐标为，

由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与垂直，

由题得,所以直线的斜率为 .

所以过P点的最短弦所在的直线方程是 即.

故选：D

5．若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】讨论焦点的位置，设出方程，由渐近线、虚轴的性质求出方程.

【详解】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为

由，解得，此时双曲线的方程为

当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为

由，解得，此时双曲线的方程为

故选：C

6．若直线与曲线有交点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】确定曲线表示圆心为，半径的一个半圆，直线过定点，画出图像，计算斜率，得到答案.

【详解】曲线，即，，

表示圆心为，半径的一个半圆.

直线，过定点，

如图所示，画出图像：

，，，，

根据图像知：，.

故选：D

7．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，可得，由此可求出点的坐标，再把点的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率.

【详解】由题意得，设

因为，所以，

所以，得，即

因为点在椭圆上，

所以，化简得，

所以离心率，

故选：B.

8．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离．

【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，

，则，又，，

，直线交于点，，

以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，

，，，

，

设与和都垂直，

则，取，则，，

P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．

故选：D．

二、多选题

9．下列关于直线方程的说法正确的是（    ）

A．直线的倾斜角可以是

B．直线过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为

C．过点的直线的直线方程还可以写成

D．经过两点的直线方程可以表示为

【答案】AC

【分析】当可知直线倾斜角为，知A正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知B错误；根据和可整理得到C正确；当或时，两点式方程无法应用，知D错误.

【详解】对于A，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，A正确；

对于B，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等；

当直线不过坐标原点时，设，则，；

综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，B错误；

对于C，在直线上，，

则，，C正确；

对于D，若或，则过两点的直线无法表示为，D错误.

故选：AC.

10．下列说法正确的是（    ）

A．抛物线的准线方程是

B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是

C．双曲线与椭圆的焦点相同

D．M是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则

【答案】ACD

【分析】由椭圆，双曲线，抛物线的方程与性质求解，

【详解】对于A，抛物线的准线方程是，故A正确，

对于B，当即时，方程表示圆，故B错误，

对于C，双曲线即，与椭圆的焦点均为，故C正确，

对于D，双曲线，顶点为，焦点为，，

，而，则，故D正确，

故选：ACD

11．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆O引两条切线，A，B为切点，则下列说法正确的是（    ）

A．长度的最小值为 B．的最大值为

C．当最小时，直线的方程为 D．定点到动直线距离的最大值是

【答案】ACD

【分析】对于A，利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题，对于B，无限接近，的值无限接近1，对于C，由四边形等面积法将求的最小值转化为求的最小值，即当时，取得最小值，联立直线与直线方程可求出点坐标，再由点，点求出以为直径的圆的方程，从而可求出公共弦的方程，对于D，求出直线过的定点，可求出定点到动直线距离的最大值.

【详解】对于A，圆：的圆心，半径，

则圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相离，由切线的性质可知为直角三角形，

所以，

当且仅当与直线垂直时取等号，所以长度的最小值为，所以A正确，

对于B，越小，的值越大，当的长无限大时，无限接近，的值无限接近1，所以B错误，

对于C，圆：的圆心，半径，如图，连接，

则,

所以要求的最小值，只要求出的最小值，即时取得最小值，

所以，所以直线的方程为，即，

由，解得，即，

因为，所以也在以为直径的圆上，

因为以为直径的圆为，

即，

所以直线的方程为，即，

所以当最小时，直线的方程为，所以C正确，

对于D，设，因为为直线任一点，所以，

因为圆的两条切线，A，B为切点，

所以，所以也在以为直径的圆上，

令的中点为，则，则以为直径的圆为

，

因为圆，

所以直线的方程为，

因为，所以直线的方程为，

即，

由，得，

所以直线恒过定点，

所以定点到动直线距离的最大值是

，

所以D正确，

故选：ACD.

12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（    ）

A．若的中点为M，则四面体是鳖臑

B．与所成角的余弦值是

C．点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆

D．过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是

【答案】ABC

【分析】对于A：证明四面体各面均为直角三角形；

对于B：用向量求解；

对于C：先确定是以为长轴的椭球面，又可证S所在平面与长轴垂直，可得S的轨迹是圆；

对于D：用空间向量求出截面与棱的交点，用空间距离计算周长.

【详解】

连接，

因为底面，面，所以，

又，面，面，，

所以面，又面，所以，

所以面MCB为直角三角形，

所以，又

由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，

又面BCD，面DCM均为直角三角形，

所以四面体是鳖臑，所以A正确；

以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，

则，

故，，.

故与所成角的余弦值

，故B正确；

对于选项C：因 ，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，

又，，

，又面，面，，

所以面，

即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，

所以动点S的轨迹是圆，所以C正确；

对于选项D：设平面的法向量为，

由可取，

设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，

故，又因为平面，

所以，解得，，

又，

由几何体的对称性知，

所以截面周长为，故D错误，

故选：ABC.

【点睛】立体几何作截面的方法， 可考虑几何法与代数法两个方向：

一是用严格的几何方法作出截面多边形，用到的一些结论方法：

（1）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点.

（2）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点.

（3）两个平面平面被截面截得的两线平行.

二是用空间向量坐标法求特殊点的位置，由这些点连成截面，具体方法步骤：

（1）设特殊位置点的坐标.

（2）求出截面的法向量.

（3）利用截面内的线一定与法向量垂直求得特殊点的坐标.

三、填空题

13．抛物线 的焦点到准线的距离为________．

【答案】

【详解】 ，所以 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 .

14．在直角坐标系中，，沿直线把直角坐标系折成的二面角，则的长度为___________.

【答案】8

【分析】从分别向直线作垂线，利用向量求解长度.

【详解】如图，分别作垂直于直线于点，则由等腰直角三角形的性质可得，即.

若沿直线把直角坐标系折成的二面角，则，

因为二面角的大小为，所以，代入上式可得，

所以，即的长度为.

故答案为：8.

15．已知正方体的棱长为1，点M，N是线段上的两个三等分点，动点G在内，且的面积为，则G点的轨迹长度为___________.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，通过点到平面的距离公式求出点到平面的距离，通过找到的长度，进而得到点的轨迹，然后计算出点的轨迹长度.

【详解】连接交于点，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

则,

，，

设平面的法向量为，

则，即，令，则

则平面，且点到平面的距离，

所以的面积，则

所以G点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，圆的周长为.

又因为点G在中，则点G的轨迹为圆在三角形内部的弧长.

如图所示：

因为平面，所以

则,

,即，，

根据对称性知圆内弧长占圆周长的，则G点的轨迹长度为.

故答案为：.

四、双空题

16．阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为___________；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为___________.

【答案】     或（）    

【分析】设把已知式用坐标表示并化简即得点轨迹方程，把换为，由抛物线定义把换成，然后由四点共线得最小值．

【详解】设，由得，

化简得，

抛物线的焦点为，，

，

，

易知当四点共线时，取得最小值为，

所以的最小值是．

故答案为：；．

五、解答题

17．已知直线与直线交于点.

(1)直线经过点，且平行于直线，求直线的方程；

(2)直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.

（注：结果都写成直线方程的一般式）

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）联立两直线方程求出交点的坐标，设，将点的坐标代入方程，求出的值，即可得解；

（2）依题意设或，将点的坐标代入方程，求出、的值，即可得解；

【详解】（1）解：由联立得，，

设，将代入得，解得，

为.

（2）解：由题意直线的斜率存在且不为，设或，

将代入得或

解得无解或，

所以，即，

为.

18．如图，平行六面体中，底面是菱形，且.

(1)求与所成角的余弦值；

(2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将分别用表示，再结合数量积的运算律求出向量的夹角，即可得解；

（2）求出向量，利用数量积的运算律求出，再求出向量在向量上的投影，再利用勾股定理即可得解.

【详解】（1）解：因为，，

所以，同理可得，，

因为，

所以，

，

所以

，

所以，

，

与所成角的余弦值是；

（2）解：因为，，

所以，

在菱形中，，

则为等边三角形，所以，

所以

，

则点到直线的距离.

19．已知圆与轴相切，且在轴上的截距之和是6，圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)若圆上恰有两个点到直线的距离为2，求实数的取值范围；

(3)若圆与圆有公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）由已知求得圆心和半径，利用圆的标准方程求解即可；

（2）圆上恰有两个点到直线的距离为2，则由直线与圆的位置关系得即可；

（3）根据两圆有公共点满足求解即可.

【详解】（1）由已知圆在轴上的截距之和是6可得圆心在直线上，

代入得圆心，

又圆与轴相切，所以，

所以.

（2）圆心到直线的距离，

因为圆上恰有两个点到直线的距离为2，

所以，解得，或.

（3）圆与圆有公共点，则，

因为，

所以，

解得，

所以实数的取值范围.

20．如图1，在直角梯形中，为的中点，将沿折起，使，如图2，连接.

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明，得到平面，得到面面垂直.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，再计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）交于点，故平面，

又平面，故，交于点，

故平面，平面，故平面平面.

（2）平面，过作平面的垂线为轴，以为原点，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.

设，则，

解得，，

，，

设平面的法向量，则有，

取，

设平面的法向量，则有，

取，

，

根据观察知，二面角的平面角为锐角，故二面角的大小是.

21．已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足.

(1)求动点M的轨迹C；

(2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

【答案】(1)；

(2)证明见解析，.

【分析】（1）利用相关点代入法，设，由已知向量关系可得，代入原方程即可得解；

（2）设方程为：，代入抛物线方程可得，在的情况下，可得，由，代入求得和的关系即可得解.

【详解】（1）设，则，

由，得，代入得，

所以动点的轨迹.

（2）易得的斜率存在，设，

，

由联立可得：，

①，

②

将①代入②得：，

所以，

所以直线恒过定点.

22．已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.

【答案】(1)

(2)，此时直线的方程为：.

【分析】(1)根据题意，列出方程，解之即可求出结果；

(2) 过点的动直线的方程为：，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出两点纵坐标的关系，然后将焦点三角形面积表示出来，最后根据函数的单调性求出最值即可.

【详解】（1）由题意得,解得：，

椭圆的方程是：.

（2）设，

联立消去得：

由题意可知：点,

所以

令，则，所以，

，易知在单调递增，

所以当，此时，所以直线的方程为：.