2022-2023学年山西省运城市教育发展联盟高二上学期12月调研数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山西省运城市教育发展联盟高二上学期12月调研数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省运城市教育发展联盟高二上学期12月调研数学试题 一、单选题1．准线方程为的抛物线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】由于抛物线的准线方程是，所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为，则，所以抛物线的标准方程为.故选：B2．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】首先通过已知条件求出等差数列的基本量和，然后根据等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】已知，所以，解得.因此得.故选：D3．已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线中，所以，双曲线焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选：C.4．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解.【详解】由圆的方程可知，则圆心坐标，半径为，因为，所以点在圆的内部，设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，显然当最大时，弦长最小，由圆的性质可知当时最大，此时，所以弦长的最小值为，故选：D5．已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】直线方程变为，可得定点.根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】可变形为，解得，即点坐标为.因为，所以直线的斜率为，又过点，代入点斜式方程可得，整理可得.故选：A.6．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】，，，，，，在上的投影为，则点到直线的距离为.故选：D．7．在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】圆：的圆心，半径.由于，所以在圆内，根据垂直平分线的性质可知，所以，所以点的轨迹是椭圆，且，所以点的轨迹方程是.故选：C8．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题：①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为，（），则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（    ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】由题知根据直线：横过点 ，为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为，小圆的面积为．对于①，当时，直线的方程为．此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，，所以，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当时，如图3所示，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A． 二、多选题9．已知双曲线：，则下列选项中正确的是（    ）A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为3【答案】BC【分析】根据已知条件，可知双曲线的焦点在轴上，，，，然后逐项判断双曲线的性质即可.对于D项，根据点到直线的距离求出即可判断.【详解】由已知，双曲线的焦点在轴上，且，，则，所以，，.所以的焦点坐标为、，故A项错误；顶点坐标为、，故B项正确；离心率，所以C项正确；渐近线方程为与，焦点到渐近线的距离为，所以D项错误.故选：BC.10．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则有，解得或，当时数列不是单调数列，所以，所以，故A错误；，故B正确；，故C错误；，，所以成立，故D正确.故选:BD.11．如图，直三棱柱中，，，．点Р在线段上（不含端点），则（    ）A．不存在点，使得B．面积的最小值为C．的最小值为D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值【答案】BD【分析】对于A项，通过证明可得出，进而得出使得的P点的位置；对于B项，通过转化，表达出三棱锥的两种体积的表达式，即可求出点P到的距离的最小值，进而求出面积的最小值；对于C项，通过对两个面的翻转和几何知识求出，进而求出的最小值；对于D项，通过转化，分别得到点P到面的距离为点M到面的距离，点P到面的距离为点M到面的距离，表达出三棱锥与三棱锥的体积之和，即可求出三棱锥与三棱锥的体积之和为定值.【详解】解：由题意在直三棱柱中，，， ，∴在△ABC中，，∴∵,∴，在矩形中，如下图，连接，，∴∴∵∴∴∴当点P为和的交点时，，故A错误.连接，点P到的距离的最小值为直线与之间的距离d，∵，∴∴点A到面的距离为d，在三棱锥中，,即解得：∴，故B正确.将△和△沿展开，连接交于点D，当点P与点D重合时的值最小，如下图所示：，，，，在△中，由余弦定理得，故C错误.过点P作直线，交于点M，如下图所示，∴点P到面的距离为点M到面的距离，设为，点P到面的距离为点M到面的距离，设为.在△中，由几何知识得，，，，∴∴三棱锥与三棱锥的体积之和为，故D正确.故选：BD.【点睛】考查了立体几何中的动点的相关位置关系，面积，体积和最值问题，考查空间想象力和逻辑推理能力.12．在平面四边形ABCD中，A，C在BD两侧，的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设数列的前n项和为，则（    ）A．为递增数列 B．为等比数列C．为等差数列 D．【答案】ACD【分析】设与交于点，由面积比得，根据平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论，其中选项D需要用错位相减法求和．【详解】设与交于点，，，共线，所以存在实数，使得，所以，所以，所以，，所以，即是以为首项，为公差的等差数列，故C正确；所以，即， 对于A，，，所以为递增数列，故A正确；对于B，，，，所以，所以不是等比数列，故B错误；对于D，因为，，所以两式相减得，所以，D正确．故选：ACD． 三、填空题13．已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______.【答案】【分析】 时,,利用 时, 可得,最后验证是否满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式.【详解】当 时, ,当时, =,又 时,不适合,所以.【点睛】本题考查了由求 ,注意使用求 时的条件是,所以求出后还要验证 适不适合 ,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题.14．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是____________．【答案】1【分析】根据两直线平行，可得，然后根据两条平行线之间的距离公式即可求出距离.【详解】由已知可得，，所以，则两直线方程为与.将直线方程化为，则两条直线之间的距离为.故答案为：1.15．在平行六面体中，，，，点P在上，且，则___________．（用，，表示）【答案】【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.【详解】由平面六面体法则可知，.故答案为：.16．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________．【答案】【分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，，再利用，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，又，即化简可得，即，即时，有.故答案为： 四、解答题17．已知圆过平面内三点，，．(1)求圆的标准方程；(2)若点B也在圆上，且弦AB长为，求直线AB的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）将三点代入圆的一般方程，求解方程组得出圆的一般方程，再将其转化为标准方程即可；（2）先求出圆心C到直线的距离，当直线斜率不存在时，验证直线是否满足要求，当直线斜率存在时，设出方程，根据距离公式得出斜率，进而得出方程.【详解】（1）设圆的方程为，，解得即，故圆的标准方程为．（2）圆心到直线的距离，当直线斜率不存在时，方程为：，此时，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为：，，解得∴直线方程为或．18．已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】(1)由条件结合与的关系，证明数列是等比数列，从而得到数列的通项公式；(2)由(1)可知，利用分组转化为等差数列和等比数列求和.【详解】（1）∵，①∴．②①-②得，即又，，∴，∴，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴．（2）由（1）得，，∴．19．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面四边形ABCD为菱形且，，M为OA的中点，N为BC的中点．(1)证明：直线平面OCD；(2)求点B到平面OCD的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】由题可过点A作垂线垂直于CD，垂足为CD中点，令中点为P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出答案.【详解】（1）作于点P，则P为CD中点，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系．则，，，，，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，，即取，解得；所以，平面OCD，∴平面OCD；（2）设点B到平面OCD的距离为，则d为向量在向量上的投影数量的绝对值，由，得，所以点B到平面OCD的距离20．已知数列中，，（）.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，，试比较与的大小.【答案】（1）见解析；（2）当时，有，当时，有.【详解】试题分析：(1)由等差数列的定义即可证得数列是等差数列，进而取得求数列的通项公式是.(2)裂项求和，结合前n项和的特点可得当时，有，当时，有.试题解析：（1）解：∵，（），∴，即.∴是首项为，公差为的等差数列.从而.（2）∵，由（1）知.∴（）∴，而，∴当时，有；当时，有.点睛：注意等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．21．如图，平面五边形PABCD中，是边长为2的等边三角形，，AB＝2BC＝2，，将沿AD翻折成四棱锥P－ABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且．(1)证明：；(2)当直线EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值．【答案】(1)证明详见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）先判断出直线EF与平面PAD所成的角最大时点是的中点，然后利用向量法求得平面ACE与平面PAD夹角的余弦值.【详解】（1）设是的中点，连接，三角形是等边三角形，所以，.四边形是直角梯形，，所以四边形是平行四边形，也即是矩形，所以，.折叠后，，所以，所以，由于平面，所以平面，则两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系，，设，，所以，则，所以，所以.（2）由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是直线与平面所成角，在直角三角形中，，由于，所以当最小时，最大，也即最大，由于三角形是等边三角形，所以当为的中点时，，取得最小值.由于，，故此时，平面的法向量为，，设平面的法向量为，则，故可设，设平面与平面的夹角为，则.22．已知双曲线：的离心率为，左、右顶点分别为点满足．(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线交于两点，直线（为坐标原点）与直线交于点．设直线的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)利用向量的数量积的坐标运算求出即可求双曲线方程；(2) 设，，将直线的斜率，之积表示为的代数表达式，利用韦达定理即可证明.【详解】（1）由题意知，，又，所以，，由，可得，又，所以，故，所以双曲线的方程为；（2）因为，，若直线的斜率不存在，则与双曲线仅有一个公共点，不合题意，故的斜率存在，设：，联立得：，设，，则，．因为，故：，①又，，所以：，②联立①②，解得，于是所以为定值．