2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二上学期第三次质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二上学期第三次质量检测数学试题

一、单选题

1．椭圆的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆方程直接求，再根据焦点的位置，写出焦点坐标.

【详解】由椭圆方程可知，，，所以，且焦点在轴，

所以椭圆的焦点坐标是.

故选：B

2．命题“，使得”的否定是（    ）

A．，都有 B．，使得

C．，使得 D．，都有

【答案】A

【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.

【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

注意到要否定结论，而不是否定条件，所以A选项正确.

故选：A

3．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是7，则点到另一个焦点的距离为（    ）

A．5 B．3 C．2 D．7

【答案】B

【分析】根据椭圆方程求出的值，再根据椭圆的定义计算可得.

【详解】解：由知长半轴长，，

点到另一个焦点的距离为.

故选：B.

4．已知直线、与平面，其中，则“”是“”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】举出反例得到充分性不成立，由线面垂直的定义得到必要性成立.

【详解】如图1，

满足，但不垂直，充分性不成立，

当时，因为，由线面垂直的定义可知：，必要性成立，

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．已知正数满足，则的最小值为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．20

【答案】A

【分析】根据基本不等式，运用乘1法解决即可.

【详解】由题知正数满足，

所以，

当且仅当时取等号.

所以的最小值为4.

故选：A.

6．下面命题中不正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”

C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件

D．设，，则“且”是“”的充要条件

【答案】C

【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B的正误．

【详解】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；

对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；

对于C，“且”“”，但“”推不出“且”，

所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错；

对于D，且，则“”是“”的充要条件，故D对；

故选：C．

7．已知命题p：在中，若，则；命题q：向量与向量相等的充要条件是且.在下列四个命题中，是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合余弦三角函数单调性可判断正确，由向量相等的条件可判断错误.

【详解】命题p：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题p为真命题；

命题q：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，故命题q是假命题，

因此，为假命题，为假命题，为假命题，为真命题.

故选：D.

8．已知椭圆经过点，且焦点分别为，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率.

【详解】由于焦点，

所以焦点在轴上，且，

由于椭圆经过点，所以，

所以，

所以椭圆的离心率为.

故选：D

9．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点、在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为，则椭圆的方程为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率公式可求得的值，进而可求得的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程.

【详解】由题意可知，的周长为，，

又因为椭圆的离心率为，可得，，

又因为椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的方程为.

故选：D.

10．已知椭圆上一点的横坐标为，是椭圆的右焦点，则点到点的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，代入求得点纵坐标后，由两点间距离公式计算距离．

【详解】解：已知椭圆，

则，，则，，

椭圆的右焦点的坐标为，

将代入得，

则.

故选：D.

11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将方程转化为，根据焦点在轴上的椭圆的标准方程列方程组即可.

【详解】由题知：表示焦点在轴上的椭圆，

所以

，

解得 ，

故选：D.

12．已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求．

【详解】因为命题“”为假命题，

所以“”为真命题，

所以，

所以当时，，

根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，

所以，

故选：A.

二、填空题

13．已知x，y满足约束条件则的最大值为_________．

【答案】2

【分析】作出不等式组的可行域，求出目标函数的最优解，即可得出答案.

【详解】解：作出可行域，如图所示，

画出目标函数的图像，

当目标函数过点时，取得最大值，

，解得，即，

所以的最大值为.

故答案为：2.

14．设，为不重合的直线，，，为不重合的平面，下列是成立的充分条件的有___________（只填序号）.

①，

②，，

③，

④，

【答案】④

【分析】根据线面，面面的位置关系，判断选项.

【详解】根据线面的位置关系易知，①②③中面和面可能相交也可能平行，④若且，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故④正确.

故答案为：④

15．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为____________.

【答案】

【分析】根据焦点在轴上和焦距长，可直接构造方程求得.

【详解】椭圆的焦点在轴上，焦距，解得：.

故答案为：.

16．已知，，若“”为假命题，则实数m的取值范围为_____________．

【答案】

【分析】根据“”为假命题，得到均为假命题，写出，分别求出为真命题时m的取值范围，得到答案.

【详解】因为“”为假命题，所以均为假命题，

为真命题，故，

为真命题，故，解得：或，

与或取交集，得，故实数m的取值范围为.

故答案为：

三、解答题

17．（1）解不等式；

（2）已知a是实数，试解关于x的不等式：．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）将分式不等式化为，即可求解集；

（2）讨论、、分别求对应解集.

【详解】（1），则，可得

所以不等式解集为；

（2），

当，即时，解集为；

当，即时，解集为R；

当，即时，解集为.

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求B；

(2)若，，求c．

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解

【详解】（1）变形为：，

所以，

因为，所以，

（2）因为，且，

所以

由正弦定理得：，即，

解得：

19．已知，．

(1)当时，若为真命题，求x的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别解p为真命题、q为真命题时的一元二次不等式的解集，因为为真命题，所以p真且q真，所以求两个集合的交集.

（2）由一个命题与它的逆否命题同真假得：q是p的充分不必要条件，所以q所满足的集合是p所满足集合的真子集，所以由集合的包含关系列式可得结果.

【详解】（1）若p为真命题，则；若q为真命题，则，

当时，q为真命题时，则

∵为真命题，

∴

故x的取值范围为.

（2）∵是的充分不必要条件，

∴q是p的充分不必要条件.

∴且等号不会同时取到，解得： .

故m的取值范围为.

20．已知等差数列满足，，数列满足，．

(1)求，的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据等差数列的基本量结合题意求得首项和公差，即可求得；利用累加法，结合等比数列的前项和公式，即可求得；

（2）根据（1）中所求，求得，再利用错位相减法即可求得结果.

【详解】（1）设数列的公差为，由题可得，解得，

故；

因为满足，，

故当时，

，

故，符合该式，所以；

（2）由题可得，设的前项和为，

则，

故，

则

即，故.

故数列的前项和为.

21．设椭圆过点.

(1)求C的标准方程；

(2)若过点且斜率为的直线l与C交于M，N两点，求线段中点P的坐标.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定的条件，将两个点的坐标代入椭圆方程，解方程组作答.

（2）求出直线l的方程，再与椭圆方程联立，借助根与系数的关系求解作答.

【详解】（1）因椭圆过点，

则有，解得，

所以椭圆C的标准方程为：.

（2）依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，

显然，设，则，

因此线段中点P的横坐标，其纵坐标，

所以线段中点P的坐标为.

22．已知椭圆C：，，分别为其左､右焦点，短轴长为2，离心率，过作倾斜角为60°的直线 l ，直线 l 与椭圆交于A，B两点.

(1)求线段AB的长；

(2)求的周长和面积.

【答案】(1)；

(2)的周长为，面积为.

【分析】（1）由题可得，然后根据离心率结合条件可得椭圆方程，进而可得直线方程，然后利用韦达定理法及弦长公式即得；

（2）利用椭圆的定义及三角形面积公式即得.

【详解】（1）∵椭圆的短轴长为2，

∴，又∵，

∴，

∴椭圆C的方程为：，，，

设，，直线 l 的方程为：，

由，可得，

所以，，

所以

；

（2）由于，分别为椭圆的左､右焦点，

所以的周长为，

因为到直线l：的距离为，

所以的面积.