2022-2023学年陕西省西安中学高二上学期第二次月考理科数学试题

这是一份2022-2023学年陕西省西安中学高二上学期第二次月考理科数学试题，共12页。试卷主要包含了已知直线平面，有以下几个判断等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期第二次月考高二理科数学试题（卷）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息；2.试卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一､单选题（共60分）1.（本题5分）如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）A.5个B.6个C.7个D.8个2.（本题5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，平面，且为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.3.（本题5分）函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.4.（本题5分）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的点，且，则下列说法正确的是（）A.与平行B.与异面C.与的交点可能在直线上，也可能不在直线上D.与的交点一定在直线上5.（本题5分）已知直线平面，有以下几个判断：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；上述判断中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④6.（本题5分）下列结论中正确的是（）A.能被2整除是真命题B.不能被2整除是真命题C.不能被2整除是真命题D.能被2整除是假命题7.（本题5分）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8.（本题5分）设为不重合的平面，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）①，则；②，则；③，则；④，则A.①③B.②③C.②④D.③④9.（本题5分）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（）A.B.C.D.10.（本题5分）设，则（）A.B.C.D.11.（本题5分）正方体的棱长为分别为的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（）①点与点到平面的距离相等；②直线与平面平行；③平面截正方体所得的截面面积为；④直线与直线所成的角的余弦值为.A.①④B.②③C.①②③D.①②③④12.（本题5分）已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（）A.B.C.D.第II卷（非选择题共90分）二､填空题（共20分）13.（本题5分）如图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为__________.14.（本题5分）定积分的值是__________.15.（本题5分）一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是__________.16.（本题5分）已知.设函数若关于的不等式恒成立，则的取值范围为__________.三､解答题（共70分）17.（本题10分）设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和.证明：.18.（本题12分）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程.19.（本题12分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E､F､G､H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点.（1）求证EG平面A1BC1；（2）求证：E､F､G､H四点共面.20.（本题12分）已知椭圆过点，且.（1）求椭圆C的方程：（2）过点的直线l交椭圆C于点，直线分别交直线于点.求的值.21.（本题12分）如图，在三棱柱中，，四边形为正方形，分别为与的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.（本题12分）已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）证明：.          2022-2023学年第一学期第二月考高二理科数学试题（卷）参考答案一､选择题1.D2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.C9.D10.C11.C12.B二､填空题13.114.15.（1）（2）（3）16.三､解答题17.（1），；（2）证明见解析.（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，.设，⑧则.⑨由⑧-⑨得.所以.因此.故.[方法二]：导函数法设，由于，则.又，所以，18.（1）；（2）.（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：则的长就为最短路线.若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，则经过的最短路程为，若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，则经过的最短路程为，若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，则经过的最短路程为，，∴所以蚂蚁经过的最短路程是；（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，由，所以最长路程是.19.【详解】证明：（1）∵正方体BCD-A1B1C1D1，E､F､G､H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点，∴FG∥CD1，CD1∥A1B，∴FG∥A1B，∵FG⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，∴FG∥平面A1BC1，同理，EF∥平面A1BC1，EF∩EG=E，∴平面EFG∥平面A1BC1，EG⊂平面EFG，∴EG∥平面A1BC1.
（2）延长FG，交DC于M，连结MH，交BC于N，则N是BC的中点，∴NH∥AC∥A1C1，∴NH∥EF，∴E､F､G､H四点共面.20.（1）；（2）1.【分析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.【详解】（1）设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.（2）[方法一]：设，，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，则：.直线MA的方程为：，令可得：，同理可得：.很明显，且，注意到，，而，故.从而.[方法二]【最优解】：几何含义法①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以.②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以.设，联立得.由题意知，所以.且.由题意知直线的斜率存在..当时，.同理，.所以.因为，所以.21.（1）证明见解析；（2）【分析】（1）取AB中点O，连接OE，，通过证明四边形为平行四边形得出即可；（2）求直线与平面所成角即可，过作于，可得平面平面，即即为直线与平面所成角，即可求解.【详解】（1）取AB中点O，连接OE，，在三棱柱中，四边形为平行四边形，F为中点，，，又分别为中点，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；（2）由（1），则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，，满足，则，为等腰直角三角形，过作于，是中点，，四边形为正方形，，，平面，，平面，平面，，又，，，在中，，所以，，，平面，平面，平面平面，即为直线与平面所成角，，，，，，故直线与平面所成角的正弦值.【点睛】关键点睛：本题考查线面角的求解，解题的关键是转化为直线与平面所成角，通过证明平面平面得出即为直线与平面所成角.22.（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（1）令，则，设当时，时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵时，；当时，且时，，∴当上时，无零点，当或时，有一个零点，当时，有两个零点.（2）设，则，即证，即证，即证：，设，则，当时，，当时，，∴在单调递减，在单调递增，∴，∴，当且仅当时“=”成立，由（1）知，当时，存在，使得∴∴.