2022-2023学年上海市嘉定区封浜高级中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市嘉定区封浜高级中学高二上学期9月月考数学试题

一、填空题

1．设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.

【答案】45°或135°##135°或45°

【分析】根据等角定理即可得到答案.

【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.

故答案为：45°或135°.

2．一个边长为4的正方形的直观图的面积为___________.

【答案】

【分析】根据直观图面积是原图形面积的，即可得出答案.

【详解】解：正方形的面积为，

所以直观图的面积为.

故答案为：.

3．两个平面最多可以将空间分为___________部分.

【答案】4

【分析】根据两个平面的位置关系分别计算出它们将空间分成的部分数即可得解.

【详解】两个平面的位置关系有平行和相交两种，

当两个平面平行时，它们可将空间分成3部分，

当两个平面相交时，它们可将空间分成4部分，

所以两个平面最多可以将空间分为4部分.

故答案为：4

4．将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2．

【答案】4π

【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.

【详解】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为S＝2×2＝4．

故答案为4．

【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的求解，圆柱侧面积的求解关键是确定半径和母线长，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

5．若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则________．

【答案】

【详解】试题分析：，．

【解析】棱柱的体积．

【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．

2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．

6．已知一个底面半径为2的圆锥，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的体积为_____．

【答案】

【分析】由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线长，从而得圆锥的高，再由体积公式计算．

【详解】设圆锥母线长为，则由题意得，，∴圆锥的高为，

圆锥体积为．

故答案为：．

7．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______.

【答案】

【详解】长方体外接球直径=长方体体对角线长度．

．

8．已知长方体中，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成的角的大小为________．

【答案】##

【分析】证明和后得线面垂直，从而易得线面角的大小．

【详解】长方体中平面，平面，则，

在矩形 中，，，是中点，则，

，∴，

，平面，所以平面，

所以直线与平面所成的角的大小为

故答案为：．

9．如图是正方体的平面张开图，在这个正方体中：

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°；

④DM与BN是异面直线；

以上四个命题中，正确命题的序号是__________．

【答案】③④

【详解】试题分析：以正方形为正方体的底面将正方体折叠起来后，是异面直线，所成角，互相平行，与是异面直线，成角，与是异面直线

【解析】1．翻折问题；2．直线位置关系的判定；3．异面直线所成角

10．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______

【答案】．

【分析】讨论在下底面圆周上的位置，确定不同位置上的变化情况及其最值点，进而确定△的面积的范围.

【详解】如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为，

连结，过点作，垂足为点，则，又为定值2，故的大小随着的长短变化而变化，

如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；

如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为．

综上所述，的取值范围为．

故答案为：．

11．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

【答案】118．8

【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.

【详解】由题意得， ，

四棱锥O−EFG的高3cm， ∴．

又长方体的体积为，

所以该模型体积为，

其质量为．

【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．

12．如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______．

【答案】

【分析】将直三棱柱展开成矩形，连结，交于，此时最小，此时，由，可求出答案.

【详解】将直三棱柱展开成矩形，如图，

连结，交于，此时最小．

∵，，，，

 ,则, 所以

∴当最小时，，

由，则，即

又在直三棱柱中，侧棱底面，所以

,所以面

此时三棱锥的体积：

．

故答案为：

【点睛】本题考查空间展开法研究距离最值问题和棱锥的体积计算，关键是利用展开法解决距离和的最小问题和棱锥的等体积转化，属基础题．

二、单选题

13．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，

设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，

所以，，，

，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，，，

因此，这两个圆锥的体积之和为.

故选：B.

14．已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，则或

【答案】C

【详解】若，，则;

若，则，，；

若，，则而，则或；

若，，则由线面平行判定定理得或；

因此选C.

15．体积相等的球、正四面体和正方体，则它们的表面积的大小关系为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分别利用球、正四面体和正方体的体积公式和表面积公式，求得其表面积，即可求解.

【详解】设球、正四面体和正方体的体积都为，

若球的半径为，则，可得其表面积为

若正四面体的棱长为，则，可得，

所以其表面积为

若正方体的棱长为，可得，所以正方体的表面积为，

可得，即.

故选：B.

16．三棱锥中，点是斜边上一点．给出下列四个命题：

①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；

②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为；

③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；

④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为．

其中正确命题的序号为（    ）

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④

【答案】B

【分析】①由三垂线定理及线面垂直的性质定理得结论判断，②把三棱锥补形为正方体，正方体的外接球就是三棱锥的外接球，正方体的对角线就是外接球的直径，从而可云计算出球体积判断，③利用直角三角形的内切圆直径等于两直角边长之和减去斜边长，得内切圆半径后可求得棱锥的高，从而可得体积判断，根据线面角的定义得出线面角后，求出其正弦值，并让动点运动，得出角的正弦值的变化情况，从而得角的最大值判断④．

【详解】①，平面，平面，则，同理，

又，是在平面上的射影，∴，

因此三棱锥的四个面都是直角三角，①正确；

②，已知说明三棱锥可以补形成以为邻边的正方体，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，

正方体的对角线长为，则外接球半径为，球体积为，②正确；

③，

在直角三角形中，，则，设是内心，则内切圆半径为，从而，

在三棱锥中，平面，而平面，则，

，，

因此，③正确；

④，

由选项A讨论知平面，平面，则平面平面，

因此过作，垂足为，则平面，

是在平面上的射影，因此在平面上的射影在上，如图，且，

由平面，平面，得，是直线与平面所成的角，，

由图可知，当从向移动时，增大，减小，因此增大，

∴当与重合时（此时与重合），最大，即最大，

，，因此的最大值为，④错误．

正确的是①②③，

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查空间垂直问题，外接球问题，锥体的体积及线面角，解题关键是掌握线面垂直的判定与性质定理，充分利用三垂线定理及其逆定理可以简化线线垂直的证明，特殊棱锥的外接球可把棱锥补形为长方体（或正方体、直棱柱等），便于确定外接球球心，得球半径．

三、解答题

17．如图，在长方体中，已知AB＝BC＝2，．

(1)若点P是棱上的动点，求三棱锥C－PAD的体积；

(2)求直线与平面的夹角大小．

【答案】(1)2；

(2)﹒

【分析】(1)根据即可计算；

(2)连接，连接AO，证明平面，则直线与平面所成的角为，解△即可．

【详解】（1）如图，在长方体中，

；

（2）连接，连接AO，

，四边形为正方形，∴，

又，，

平面，

∴直线与平面所成的角为，

∴直线与平面所成的角为．

18．如图，底面ABCD是边长为1的菱形，，底面ABCD，，M为OA的中点，N为BC的中点．

(1)证明：直线平面OCD；

(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接，．利用三角形的中位线定理和菱形的性质可得，，利用面面平行的判定定理得到平面平面，进而得到平面．

（2）由于，可得或其补角为异面直线与所成的角．作于，连接，在 中求出即可．

【详解】（1）取中点，连接，．

由M为OA的中点，

，而，

, 平面，故平面，

又N为BC的中点，，

平面，故平面，

而 平面MNE,

平面平面，

平面．

（2），

或其补角为异面直线与所成的角．

作于，连接，

平面，平面， 故,

又 平面OAP,

故平面OAP，而平面OAP ，

 ，

，，而 ,

故，

，则，

与所成角的大小为．

19．如图，半径为的球中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差．

【答案】

【分析】作出圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，由此易得圆柱底面半径、高与球半径关系，从而可求得圆柱侧面积的最大值，再由球面积得结论．

【详解】如图是圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线，

设圆柱底面半径为，高为，则，，，

因此，所以，当且仅当，即时等号成立，

圆柱侧面积为，最大值为，

此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为．

20．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A-BCB1是棱长为2的正四面体.

（Ⅰ）求证：AC⊥CC1；

（Ⅱ）求三棱锥B-ACC1的体积．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）取的中点，根据正四面体特点，可知平面，为正三角形，然后根据，可得平面，最后可得结果.

（Ⅱ）计算以及，使用等体积法，并结合锥体体积公式，可得结果.

【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连接交于点，

则点为的重心，连接，

设交于点．

依题意点在底面的投影为的重心，

即平面，所以．

因为是正三角形，所以，

平面

则平面，

又平面，则，由//

所以．

（Ⅱ）由是棱长为2的正四面体，

所以，，

因为，，

得

所以．

【点睛】本题考查线面、线线位置关系，还考查等体积法的使用，熟练掌握线面垂直的判定定理以及性质定理，考验推理论证能力，属中档题.

21．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.