2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．【解析】空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 2．如图、用斜二测画法作△的直观图得△，其中，是边上的中线，由图形可知，在△（是的中点）中，下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】还原，可知且，进而通过图形可判断出结果.【详解】由直观图画出如图所示其中，A错误；，B错误；，C正确，D错误故选：C3．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24h降雨量的等级划分如下：等级24h降雨量（精确到0.1）…………小雨0.1～9.9中雨10.0～24.9大雨25.0～49.9暴雨50.0～99.9………… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24h降雨量的等级是（    ）A．暴雨 B．大雨 C．中雨 D．小雨【答案】C【分析】首先求出水面的半径，然后求出容器中水的体积，从而可得出降雨量.【详解】因为圆锥的底面直径为200mm，高为300mm，雨水高度是150mm，所以水面的半径为，所以水的体积为，所以24h降雨量的等级是.故选：C.4．已知点是正四棱锥的侧棱上异于点的一动点，则点在面上的射影落在（    ）A．的外部 B．的内部C．的一边上 D．以上皆有可能【答案】A【分析】把正四棱锥放在正四棱柱中，通过作出垂线，找出射影，即可判断选项.【详解】解：把正四棱锥放在正四棱柱中，是上底面的中心，如图，连接与的中点，由图可知，过作，连接，因为平面平面 ，所以平面，因为平面，所以平面平面所以点在面上的射影落在上，即在外部，故选：. 二、填空题5．两条异面直线所成角的取值范围是________【答案】【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．6．已知向量，则向量的单位向量______．【答案】【分析】计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标.【详解】，，因此，向量的单位向量.故答案为：.【点睛】本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论“与非零向量同向的单位向量为”的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.7．若向量＝（4，2，﹣4），＝（6，﹣3，2），则（ 3）（）＝_____．【答案】【解析】根据向量的数量积的坐标运算求解即可.【详解】, ,,故答案为：【点睛】本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量数量积的坐标运算，属于容易题.8．已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为______.【答案】1或2【分析】根据空间中点、线、面得位置关系可得：A、B两点与平面的位置由两种，因此分A、B两点在平面的同侧与异侧讨论此问题.【详解】解：当A、B两点在平面的同侧时，如图所示，因为A、B两点到平面的距离分别为1和3，由梯形的中位线可知，线段AB的中点M到平面的距离.当A、B两点在平面的异侧时，如图所示，直线AB与平面相交于点O，因为A、B两点到平面的距离分别为1和3，∴，即，M为线段AB的中点，∴O为线段AM的中点，则有M到平面α的距离.故答案为：1或2.9．在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________【答案】【分析】连结辅助线,证明与底面所成的角为,再根据正切值求解.【详解】解：连结,因为为四棱柱,所以面,则与底面所成的角为,,即,解得该正四棱柱的高.故答案为【点睛】本题考查了正四棱柱的性质,正四棱柱的高的计算,考查了线面角的定义,关键是找到直线与平面所成的角.10．在正方体中，二面角的大小为_________．【答案】【分析】连接，交于，连接，，证明，，得为二面角的平面角，设正方体的棱长为2，求解三角形得答案．【详解】解：如图，连接，交于，连接，，由，，为的中点，可得，，则为二面角的平面角，连接，设正方体的棱长为2，则则，，．二面角的大小为．故答案为：．11．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为_________．（填序号）①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；③若直线与平面内的任意一条直线垂直，则；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【分析】利用直线和平面、平面和平面的位置关系判断各命题即可.【详解】①过平面外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面时，有无数个平面垂直于平面，故①错误；②若三点在平面同侧，则；若三点在平面两侧，则与相交，故②错误；③直线与平面内的任意一条直线垂直，则垂直于平面内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③12．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为_________．【答案】【分析】画出圆台的轴截面示意图求出其母线长，应用圆台侧面积公式求侧面积即可.【详解】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且，，所以，而上下底面周长分别为、，故该圆台的侧面积为.故答案为：13．如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，.设 是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为________.【答案】1【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，再由三棱锥的体积公式可得，由乘1法和基本不等式，可得，由不等式恒成立思想，解不等式可得的最小值．【详解】解：在三棱锥中，、、两两垂直，且，，，可得平面，则，由题意可得，即，恒成立，等价为，由，当且仅当时，上式取得等号．所以，解得，即的最小值为1，故答案为：．14．已知三棱柱及空间中一点P，具，（，m为常数），若三棱的体积为24，则三棱锥的体积为_________．【答案】4【分析】由，可得，P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，进而可得到答案．【详解】取AC的中点O，∵，∴，∴P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，设三棱柱的高为h三棱锥的体积为故答案为：4． 15．直三棱柱的侧棱长为2，侧棱到平面的距离不小于1，从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则所剩几何体的体积最小值为___________.【答案】【分析】由余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等列式求解，再由棱柱体积减去去掉的几何体的体积求解.【详解】在直三棱柱中，平面，，设，，，由于三棱柱中去掉以为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等.∴，得，∴所剩几何体的体积，又侧棱到对面的距离不小于1，则，可得当且仅当时等号成立，故所剩几何体的体积的最小值为.故答案为：.16．给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个的四个顶点满足：（，2，3，4），则该正四面体的体积为_________．【答案】## 【分析】利用正方体性质找到正四面体满足题设的四个平行平面，进而求出正方体棱长，即可求出四面体的体积.【详解】如下图正方体中，过的平面，过的平面，过的平面，过的平面，且面面，每相邻的两个平面距离为1，所以正四面体满足题设要求，此时其上底面如下图示，过作于：所以，设正方体棱长为，则，由等面积知：，可得，所以正四面体的体积.故答案为： 三、解答题17．已知空间中的三点，，.(1)求的面积；(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；（2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.【详解】（1）由题设，，则，所以，故在中，故的面积为.（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，所以，即，所以，可得，当它们反向共线，即且时，有，无解，综上，.18．如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且．(1)求该圆锥的全面积和体积；(2)求异面直线AO与CD所成角的大小.【答案】(1)全面积为，体积为；(2). 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式和圆锥全面积公式进行求解即可；（2）根据三角形中位线定理，结合异面直线成角的定义进行求解即可.【详解】（1）在中且，即圆锥高为，底面半径为2．圆锥的侧面积，圆锥的底面积，故圆锥的全面积；体积为.（2）过D作交BO于点M，连接CM，则为异面直线AO与CD所成角．因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC，所以．在中，所以．由D是AB的中点知：M是OB的中点，所以，结合题设易知：．在中，．所以，即异面直线AO与CD所成角的大小为.19．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且．(1)求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和；(2)若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间．【答案】(1)；(2)，增区间为，减区间为，. 【分析】（1）根据离散曲率的定义，由直四棱柱的结构特征，分别求出A、处的离散曲率，相加后乘以4即可求得答案.（2）由曲率定义可得，应用三角形面积公式求底面积，根据棱柱体积公式写出体积解析式，再由正弦型函数的性质求单调区间.【详解】（1）在直四棱柱中,，底面ABCD为菱形，由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等，所以处的曲率为，而处的曲率为，又，所以、两处的曲率和为，故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和.（2）由题设，处的曲率，故，所以直四棱柱底面面积为，故直四棱柱高为1，故体积为，令，，可得，，即，上递增；令，，可得，，即，上递减；所以增区间为，减区间为，.20．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF（1）求证：PO⊥底面ABCD（2）求直线与OF所成角的大小.（3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】（1）由底面是菱形，证得PO⊥BD，在中，PA=PC，证得PO⊥AC，结合线面垂直的判定定理，即可证得PO⊥底面ABCD；（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，证得CPOE，得到∠EOF为直线与OF所成的角，进而求得直线与OF所成角的大小；（3）连接CM，连接CE，ME，证得EM平面BDF，结合（2）证得平面EMC平面BDF，即可得到CM平面BDF.【详解】（1）因为底面是菱形，且，所以O为AC，BD中点，在中，PB=PD，可得PO⊥BD，因为在中，PA=PC，O为AC，BD中点，所以PO⊥AC，又因为ACBD=O，所以PO⊥底面ABCD.（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，因为底面ABCD是菱形，ACBD=O，由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CPOE. ，故∠EOF为直线与OF所成的角，又由为等边三角形，且E为中点，所以∠EOF=.（3）存在，，连接CE，ME，因为AP=4AF，E为AP中点，所以，又因为，所以在中，，即EMBF，因为EM平面BDF，BF平面BDF，所以EM平面BDF，由（2）知ECOF，因为EC平面BDF，OF平面BDF，所以EC平面BDF，因为ECEM=E，所以平面EMC平面BDF，因为CM平面EMC，所以CM平面BDF.【点睛】解答空间中点、线、面位置关系的判定问题常见解题策略：1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；2、对于空间中的垂直关系中确定线面垂直是关键，证明线线垂直则需借助线面垂直的性质，垂直关系的判定定理和性质定理合理转化是证明垂直关系的基本思想.21．如图，在中，，，，，现将分别以、、所在的直线为轴旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为、、．(1)若，，，求以为轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)求；（用、、表示）(3)若，并令，将表示为的函数，写出这个函数的定义域并求该函数的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)，， 【分析】（1）根据圆锥侧面积计算公式，计算出表面积.（2）分别求得由此求得.（3）结合余弦定理化简的表达式，求得函数，并结合正弦定理求得最大值.【详解】（1），，，三角形是直角三角形，且为直角.过作，垂足为，.以为轴旋转一周所得几何体是以为底面半径、为高的两个圆锥组合而成，该几何体的表面积为.（2），分别表示三角形中边上的高.则，，.（3），，，由余弦定理得，，.由正弦定理得，由于，所以.所以，由于在定义域上为增函数，所以.