2022-2023学年上海市新中高级中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市新中高级中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）.
A．相交B．平行C．异面D．无法确定
【答案】A
【分析】在长方体中，延长，，，即会得到直线和直线的位置关系.
【详解】
如图，延长使，因为，，，为棱的中点，所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交.
故选：A.
2．下列给出的命题正确的是（ ）
A．两条互相垂直的直线确定一个平面
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．不共面的四点中，任何三点不共线
D．所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱.
【答案】C
【分析】依据空间中直线与直线垂直定义、直线与平面平行及平面与平面平行的知识、平面公理2（基本事实）及推论、棱柱的定义及分类依次判断即可.
【详解】对于A，根据空间中两条直线互相垂直的定义，互相垂直的两条直线可以是异面直线，故A错误；
对于B，当两平面相交，这两个平面外的一条直线与交线平行时，这两个相交平面同时平行于这条直线，故B错误；
对于C，不共面的四点中，假设有三点共线，则这三点可以确定一条直线，另一点在直线上或在直线外，均有四点共面，与前提矛盾，故假设错误，不共面的四点中，任何三点不共线，故C正确；
对于D，当所有侧面均为正方形的四棱柱的底面为不是正方形的菱形时，这个四棱柱不是正四棱柱，故D错误.
故选：C.
3．如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（ ）
A．直线上B．直线上C．直线上D．内部
【答案】B
【分析】先通过线线垂直证明面，进而可得面面，由面面垂直的性质定理可得要过作平面，只需过作即可，则答案可求.
【详解】连接，，，且，
面，又面ABC
面面，
面面，
要过作平面，则只需过作即可，
故点在直线上
故选：B.
4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫像多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：
①正方体各顶点的曲率为；
②任意三棱锥的总曲率均为；
③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】根据几何体顶点的曲率和几何体总曲率的定义求解.
【详解】①因为正方体的每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故正确；
②如图所示：，
A点的曲率为： ，
B点的曲率为：，
C点的曲率为：，
D点的曲率为：，
则三棱锥的总曲率均为，
，故正确；
③此几何体有16个顶点，每个顶点的曲率为，所以该几何体的总曲率为，故正确.
故选：D
二、填空题
5．“点A在直线上”用符号语言可以表示为_____________.
【答案】
【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.
【详解】A在直线上，即
故答案为：
6．设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.
【答案】45°或135°##135°或45°
【分析】根据等角定理即可得到答案.
【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.
故答案为：45°或135°.
7．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的体积为________．
【答案】2π
【详解】由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝πr2＝π，V＝S底·h＝2π.
8．用斜二测画法画水平放置的边长为4的正方形的直观图，则这个直观图的面积为_________;
【答案】
【分析】由斜二测画法画出正方形的直观图，计算可得.
【详解】方法一：
如图，由直观图的斜二测画法知，
边长为4的正方形的直观图为平行四边形，
且，，，
其高，
所以其面积为.
方法二：
由斜二测画法的直观图的面积是原图面积的倍，因此，直观图面积为.
故答案为：.
9．已知三棱锥，设点是在底面上的投影，若与底面所成角相等，则点是的________心.
【答案】外
【分析】根据，，与底面所成角相等得到点在底面的投影到三角形三个顶点，，的距离相等，即可得到点在平面上的投影是的外心.
【详解】因为，，与底面所成角相等，所以顶点在底面的投影到三角形三个顶点，，的距离相等，所以点在平面上的投影是的外心.
故答案为：外.
10．如图，已知空间四边形两对角线和的长分别为8和10，所成的角为，依次连接各边中点所得四边形的面积是_________;
【答案】
【分析】根据，，，分别为，，，中点得到四边形为平行四边形，且，，根据与所成角为得到平行四边形的一个内角为，然后求面积即可.
【详解】因为，，，分别为，，，中点，
所以，，且，，
所以四边形为平行四边形，
因为与所成角为，所以平行四边形的一个内角为，
所以.
故答案为：.
11．异面直线a、b所成角为，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、D分别在直线a、b上，若，，，则________．
【答案】或
【分析】过B作BE//AC且过D作DE⊥BE于E，连接BE、CE，要注意E、C在AB的同侧或异侧两种情况，结合已知有，再过C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的长度，在Rt△DEC中应用勾股定理求.
【详解】由题意，过B作BE//AC且过D作DE⊥BE于E，连接BE、CE，如下示意图，
∴由题设知：面ABEC为直角梯形且，
过C作CF⊥BE于F，则CF=AB=2，，可得DE=，BE=，
∴如图1，易得EF=，则EC=，
在Rt△DEC中，CD=.
如图2，易得EF=，则EC=，
在Rt△DEC中，CD=.
故答案为：或
12．已知正方体的体积为64，点分别是线段的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，线段的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分别取线段、的中点P、Q，连接、、，证明平面平面，可得当G与P（或Q）重合时，CG取最大值，当G在PQ的中点R时，CG有最小值，利用勾股定理求得线段CG的取值范围．
【详解】分别取线段、的中点P、Q，连接、、，
连接EF，，由三角形中位线定理可得，，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
同理可证，平面，
又，∴平面平面，故点G在线段PQ上运动（含端点位置）．
当G与P（或Q）重合时，；
当G在PQ的中点R时，．
∴．
故答案为：.
三、解答题
13．如图，已知平面，，，，，，点是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面；
（2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角的正切值.
【详解】（1）∵平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，
∵，点为中点，
∴，
∵平面平面，平面，
∴平面.
（2）
取中点，连接，，
∵，，，点为中点，
∴四边为平行四边形，，
∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
∵平面，
∴为直线与平面所成角，
∵点为中点，，
∴，，，
∴，
所以直线与平面所成角的正切值为.
14．（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明;
（2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面.
【答案】（1）见解析；
（2）见解析.
【分析】（1）写出面面平行的判定定理，然后用反证法证明即可；
（2）根据为正方体，，为，中点得到，，然后利用面面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，即，，，，，
证明：假设，
∵，，，
∴，同理可得，，
∴，与矛盾，所以不成立，
所以.
(2)
取中点，连接，，，
∵为正方体，，为，中点，
∴，，，，
∴四边形，为平行四边形，，，
∵平面，平面，平面，平面，
∴∥平面，∥平面，
∵平面，平面，，
∴平面∥平面.
15．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面是棱的中点，.
(1)判断四面体是否为鳖臑.若是，请写出每个面的直角（只需写出结论）;若不是，请说明理由.
(2)若四面体是鳖臑，求二面角的大小;
(3)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)是，直角分别为，，，；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据“鳖臑”的定义判断即可，然后根据四面体的结构特征写直角；
（2）根据四面体为“鳖臑”得到，根据平面得到，即可得到平面，根据线面垂直的性质得到，即可得到为二面角的平面角，然后求角即可；
（3）根据得到三角形为等边三角形，然后利用等体积的方法求点到平面的距离即可.
【详解】（1）四面体是“鳖臑”，直角分别为，，，.
（2）∵四面体为“鳖臑”，∴为直角三角形，
∵，，∴，，
∵平面，平面，
∴，
∵,平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵平面平面，
∴为二面角的平面角，
∵，
∴，
所以二面角的平面角为.
（3）
取中点，连接，
∵，∴三角形为等边三角形，，
∴，，
∵，点为中点，
∴，，
设点到平面的距离为，，
，解得，
所以点到平面的距离为.
16．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若.
(1)求异面直线和所成角的余弦值;
(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由;
(3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求出此时的值.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)答案见解析，
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，由异面直线夹角的定义得到和所成的角为，在中，由边角关系求解即可.
（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不放设，则，再根据得，进而得答案.
（3）延长到，使得，连接，过作于，利用三点共线，两线段和最小，得到，过作于，连接HB，在中，求解HB即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为底面 是矩形，所以，
又平面，所以平面，
又，故异面直线和所成角的大小为，
因为，，所以
故直线PC与所成角的大小为；
（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不妨设，则
因为平面，到平面的距离为，
由等体积法得，即
因为，
代入数据解得，即，
故存在点G，当时，使得点D到平面PAG的距离为；
（3）延长到，使得，连接，过作于，
则
当且仅当三点共线时等号成立，故，
过作于，连接HB，在中，，