2022-2023学年四川省成都市教育学研究院附属中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省成都市教育学研究院附属中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角.
【详解】因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为，选C.
【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.
2．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．1或-1B．0或-1C．-1D．1
【答案】C
【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.
【详解】解：因为直线与直线平行，
所以，即，
所以，
故选：C.
3．等比数列中，，则数列的前8项和等于
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2…×a8）
=
=4lg10
=4．
故选C．
【解析】等比数列的前n项和．
4．已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】取直线上的定点，再计算到的距离即可.
【详解】取直线上的定点，则到的距离即到的距离为.
故选：D
5．如果实数、满足，那么的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将看作圆上一点与连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果.
【详解】，即，圆心为，半径为，
的几何意义是圆上一点与连线的斜率，
如图，结合题意绘出图像：
结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即最大，
令此时直线的倾斜角为，则，的最大值为，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将看作点与连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.
6．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.
【详解】由题得，
所以直线l过定点P.
当CP⊥l时，弦AB最短.
由题得,
所以.
所以直线l的方程为.
故选A
【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．若实数，满足约束条件则的最大值是（ ）
A．5B．11C．9D．15
【答案】B
【分析】作出不等式组表示的平面区域；令作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过时，取得最大值．
【详解】画出实数、满足约束条件表示的平面区域：
令，
目标函数变形为，则表示直线在轴上截距，截距越大，越大，
作出目标函数对应的直线，
由，解得，即．
目标函数线过时，
直线的纵截距最大，取得最大值为，即的最大值是；
故选：B
8．若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤1B．﹣1≤b≤1
C．b≤﹣1D．﹣1＜b≤1或b
【答案】D
【分析】对曲线两边平方，结合范围，得到曲线是右半个圆，画出曲线的图象，再画出斜率为1的直线，平移直线，找到只有一个公共点的b的取值范围.
【详解】解：曲线x即 x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．
当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，
当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，
可得1，求得b，或b（舍去）．
故当直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b，
故选：D.
9．若圆关于直线对称，则的最小值为
A．4B．C．9D．
【答案】C
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：由题意可知，圆心在直线，
则，
又因为，，
所以，
当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值9．
故选：．
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
10．已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.
【详解】直线过点，
画出图象如下图所示，
，，
由于直线与线段AB没有公共点，
当时，直线与线段有公共点，不符合题意，
当时，直线的斜率为，
根据图象可知的取值范围是，
所以的取值范围是.
故选：A
11．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出圆的圆心坐标和半径，作出圆关于直线的对称圆，连结，则与直线的交点即为点，此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，的最小值为.
【详解】
由圆，圆，
可知圆圆心为，半径为1，如图，
圆圆心为，半径为2，
圆关于直线的对称圆为圆，
连结，交于，则为满足使最小的点，
此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，
最小值为，
而，
的最小值为，故选A.
【点睛】本题考查了圆方程的综合应用，考查了利用对称关系求曲线上两点间的最小距离，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
12．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.
【解析】抛物线定义.
二、填空题
13．已知点、，以线段为直径的圆的标准方程是___________.
【答案】
【分析】求出的中点坐标即为圆心，求出线段长度的一半即为半径，即可得圆的标准方程.
【详解】因为点、，
所以线段的中点坐标为，
因为，所以以线段为直径的圆的半径为，
所以以线段AB为直径的圆的标准方程是.
故答案为：.
14．已知圆和圆，则两圆的公切线有_____条．
【答案】3
【解析】确定圆心坐标与半径，可得两圆相外切，从而可得到结论．
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2，
圆的圆心坐标为，半径为3，
则两圆的圆心距为，
两圆外切，
两圆公切线的条数为3条．
故答案为：3．
15．设点在直线上，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据直线和圆的位置关系，作出图象，数形结合可得的取值范围．
【详解】解：∵点在直线上，
∴直线上，
又直线与圆相切，
∴要使圆上存在点N，使得，
则的最大值大于或等于45°时，一定存在点N，使得，
而当与圆相切时取得最大值，此时有，
∴的取值范围为
故答案为：
16．已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理.
【详解】由题意设点，，，
因为，是圆的切线，所以，，
所以在以为直径的圆上，其圆的方程为:
，又在圆上，
将两个圆的方程作差得直线的方程为：，
即，所以直线恒过定点，
又因为，，，，四点共线，所以，
即在以为直径的圆上，
其圆心为，半径为，如图所示:
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
17．已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)面积的最小值为
【分析】（1）判断出直线过定点，在根据直线不经过第四象限求得的取值范围.
（2）求得两点的坐标，从而求得面积的表达式，利用利用基本不等式求得其最小值.
【详解】（1）直线，即，
所以直线过定点，是直线的斜率，所以.
（2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以
取；取；
所以，
所以
，
当且仅当时等号成立.
18．已知圆过点，和直线相切，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据条件设圆心，圆心到直线的距离就是半径，， 待定系数法求圆的方程；
（2）由弦长公式可知圆心到直线的距离，所以分不存在和存在两种情况讨论求直线方程.
【详解】（1）设圆心为，
∴，化简得．
所以圆心，．圆的方程．
（2），解得：，
①不存在时，，满足条件；
②存在时，设，，得，所以．
综上，直线的方程为或．
【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程和求直线方程，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.
19．在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的大小；
（2）在锐角中，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用两角和的正弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理、三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）
，
，
，则，，由，可得：；
（2）在锐角中，，由（1）可得，，
由正弦定理可得，
，
由，可得，所以，
，可得：.
20．如图，在三棱锥中，面，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）利用面面垂直的判断定理，转化为证明平面；（2）首先根据垂直关系转化，证明，即平面，即作出直线与平面所成角，再求其正弦值.
【详解】（1）平面，且平面，
，又，且，
平面，平面，
平面平面；
（2）过点作，连结，
平面平面，且平面平面，
，平面，
是直线与平面所成角，且
设，
则根据等面积可知，，
，
，
所以直线与平面所成角的正弦值.
21．已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹.
(1)求曲线的方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，由结合两点间距离公式可求；
（2）可得斜率不存在时满足，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可；
【详解】（1）在给定的坐标系里，设点，
由及两点间的距离公式，得， ①
将①式两边平方整理得：
即所求曲线方程为：．
（2）由（1）得，其圆心为，半径为．
（i）)当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆相切；
（ii）当过点的直线的斜率存在时，设其方程为，
即，
由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得：
，解得，
此时直线方程为.
所以过点与曲线相切的直线方程为或．
22．平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
(1)求圆M的标准方程；
(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
（i）过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）7；（ii）在定直线上
【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出，即可得解；
（2）（i）设直线的方程为，分和两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出，再根据即可得出答案；
（ii）设，联立，利用韦达定理求得，求出直线OP，BQ的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.
【详解】（1）解：设圆M的方程为，
则，解得，
所以圆M的标准方程为；
（2）解：设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
（i）若，则直线斜率不存在，
则，，
则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，
所以S的最大值为7；
（ii）设，
联立，消得，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，解得，
则
，
所以，
所以点N在定直线上.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求圆的标准方程，考查了圆的弦长问题及圆中四边形的面积的最值问题，还考查了圆中的定直线问题，有一定的计算量.