2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期11月阶段性测试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期11月阶段性测试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．，为实数，命题；命题且，则是的（ ）．
A．充分不必要的条件B．必要不充分的条件
C．充要条件D．既不充分也不必要的条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】当“”时，如，此时“且”不成立.
当“且”时，根据不等式的性质可知.
所以是的必要不充分条件.
故选：B
2．如图给出的程序框图，若输入的值为，则输出相应的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据程序框图可求得输出的的值.
【详解】由程序框图可知，当输入的值为，则输出相应的值为.
故选：A.
3．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【答案】B
【分析】由圆的方程可求得两圆的圆心和半径，根据圆心距可得两圆位置关系.
【详解】由圆知：圆心，半径；
由圆知：圆心，半径；
，则，两圆外切.
故选：B.
4．已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最大值的求解问题，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，
若取得最大值，则在轴截距最大，
由图象可知：当过点时，在轴截距最大，
由得：，即，.
故选：C.
5．双曲线虚轴的一个端点为，焦点为、，，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知
.
6．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点、在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率公式可求得的值，进而可求得的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知，的周长为，，
又因为椭圆的离心率为，可得，，
又因为椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的方程为.
故选：D.
7．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，则（ ）．
A．8B．C．16D．32
【答案】C
【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案.
【详解】焦点，直线的方程为，
由，消去并化简得，
设，所以，
所以.
故选：C
8．如图，已知直线与抛物线相交于两点，且，交于，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由垂直关系可求得，进而得到直线方程；将直线方程与抛物线方程联立可求得和；由向量垂直关系的坐标表示可构造方程求得的值.
【详解】，，，直线方程为，即，
由得：，
设，，则，，
，解得：.
故选：B.
9．已知，是双曲线的左、右焦点，若的右支上存在一点，满足，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求得的取值范围，从而求得正确答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，其中过一、三象限的渐近线为，其斜率为.
在双曲线的右支，设，由于，即①，
根据双曲线的定义可知②，
由①②解得.
由于在双曲线的右支，所以，
两边平方得，，
所以.
故选：A
10．点是圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．已知点和，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用相关点法可求得点轨迹方程为，由椭圆定义可将转化为，可知当三点共线时，取得最小值.
【详解】设，，则，，，
由得：，即，，
为圆上的点，，即点轨迹为；
为的左焦点，右焦点为，
由椭圆定义知：，
在椭圆外，（当且仅当三点共线时取等号），
.
故选：C.
11．在平面直角坐标系中，已知，是双曲线上一点，则直线和直线的斜率之积的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，由斜率公式可表示出，令，利用判别式法可求得的范围，进而得到最大值.
【详解】设，则直线OP斜率，直线AP斜率，
，
令，则，即方程有解；
当时，，解得：，符合题意；
当时，，解得：或；
综上所述：，则直线和直线的斜率之积的最大值为.
故选：A.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，也为抛物线的焦点．点为双曲线和抛物线在第一象限内的交点，满足所在直线的斜率为且．则下列命题正确的有（ ）个．
①； ②双曲线的离心率为；
③； ④
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作垂直于抛物线的准线，由直线斜率可求得，结合抛物线定义可知，由此可得①正确；由双曲线定义可求得，，根据向量数量积定义可得，知③正确；利用余弦定理可构造关于的齐次方程，知②错误；利用同角三角函数关系求得后，代入三角形面积公式可知④正确.
【详解】过可作的准线，作垂直于该准线，垂足为，
对于①，直线的斜率为，，则，
，，，即；
由抛物线定义知：，，即，①正确；
对于③，设，则，
由双曲线定义知：，，即，，
，
，③正确；
对于②，，
，又，，②错误；
对于④，，，
又，，④错误.
故选：B.
二、填空题
13．命题，．则命题的否定为：__________．
【答案】，.
【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为：，.
故答案为：，.
14．运行如图所示程序后，输出的结果为__________．
【答案】
【分析】运行程序，当时，输出的值.
【详解】运行程序，
，
判断是，，
判断是，，
判断是，，
判断是，，
判断否，输出.
故答案为：
15．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【分析】画出图象，根据列不等式，化简后求得离心率的取值范围.
【详解】设是线段的中点，则，
右焦点到渐近线的距离是，
，由于，所以，
所以，即，
所以.
故答案为：
16．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】设，利用可求得轨迹的方程；当时，可知其与有且仅有一个交点，不合题意；当时，将直线方程分别与的两段方程联立，通过讨论其与是否有交点可确定与的交点个数，利用可构造方程或不等式求得结果.
【详解】设点，则，即，
整理可得：，；
记，，
当时，与有且仅有一个交点，与无交点，与有且仅有一个交点，不合题意；
当时：，
由得：；
由得：，即，则；
①当，即或时，与有一个交点，
与有且仅有一个交点，，解得：或；
②当，即时，与无交点，
与有两个不同交点，，解得：，；
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题
17．已知，命题：对任意，不等式恒成立．命题表示焦点在轴上的椭圆．
(1)若命题为真，求的取值范围；
(2)若命题为假，为真，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式恒成立，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围.
（2）先求得为真时的取值范围，再根据“为假，为真”求得的取值范围.
【详解】（1）对于命题：对任意，不等式恒成立，
由于，则，
解得，所以，命题为真时，的取值范围是.
（2）对于命题表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得.
由于“为假，为真”，所以，一真一假
假真时，；真假时，.
综上：的取值范围是
18．已知圆经过、两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆相切，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出线段的垂直平分线的方程，与直线的方程，可得出圆心的坐标，求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）分两种情况讨论：直线的斜率不存在，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出直线的方程.
【详解】（1）解：线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为，即．
圆心为的中垂线与直线的交点，
联立，解得，故圆心为，
圆的半径，所以圆的标准方程为．
（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得或.
的方程为或．
19．已知椭圆．
(1)若直线与交于、两点，且线段中点的坐标为，求的方程．
(2)点是上一点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点、，利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程；
（2）令，则问题可化为直线与椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程，由求出的取值范围，即为的取值范围.
【详解】（1）解：设、，则有，，
两式相减得，
整理得，所以，
因此直线的方程为，即．
（2）解：令，则问题可化为直线与椭圆有公共点，
联立得，即，
由得，解得．
即的取值范围是．
20．如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．
(1)求证：为定值；
(2)求证：为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆方程可得坐标，进而知双曲线，结合离心率和双曲线关系可求得双曲线方程，根据，利用斜率公式和在双曲线上，可化简得到；
（2）将与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由弦长公式可求得，同理可得，根据可化简得到；将，代入所证式子中即可化简得到定值.
【详解】（1）由题意知：，，双曲线的，
又双曲线离心率，，，；
设，，，则，
，
即为定值.
（2）设直线的方程分别为，，，，
由（1）知：，
由得：，
，，
；
同理可得：，
，
即为定值．
21．已知抛物线过点，为原点．
(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)直线与抛物线交于不同的两点、（、不与重合）．过点作轴的垂线分别与直线、交于点、，且为线段的中点．试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．
【答案】(1)，焦点为，准线方程为
(2)直线恒过定点
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得出的值，可得出抛物线的方程，并可求得抛物线的焦点坐标与准线方程；
（2）设、，则，，求出点、的纵坐标，根据题意可得出，化简可得出，分与两种情况讨论，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理可求得的值，即可得出直线所过定点的坐标.
【详解】（1）解：抛物线过点，所以，解得，
所以，抛物线的方程为，其焦点为，准线方程为．
（2）解：设、，则，，
易得直线的方程为，令得，
直线的方程为，令得，
为线段的中点，所以，即，
化简得，①
当时，直线与只有一个交点，不符合条件；
当时，联立与的方程化简得，
，，代入①可得，解得，
直线恒过定点．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
22．已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的点到其焦点距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆上的点的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程为，求得的坐标，根据求得点的坐标（用表示），将的坐标代入椭圆方程，求得的关系式，根据直线的方程，结合弦长公式以及点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式，并利用基本不等式求得面积的最大值.
【详解】（1）依题意，短轴，
椭圆上的点到其焦点距离的最大值为
，解得，．
椭圆的方程为：.
（2）设直线方程为，由题知存在且不为0，，，
由得，解得，
将的坐标代入椭圆方程得，即，
过原点的直线与平行，直线的方程为，
联立与的方程化简得：，即，
，
点到直线的距离，
，
当且仅当，即时，的面积取到最大值2．
【点睛】求解椭圆中三角形面积的最值问题，关键点有两个，一个是求得三角形面积的表达式，另一个是求面积的最值.三角形面积的求法主要有弦长的求法、高的求法.面积的最值的求法主要有二次函数的性质、基本不等式等方法.