2022-2023学年四川省四川外语学院重庆第二外国语学校高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省四川外语学院重庆第二外国语学校高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再求

【详解】

故选：C

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】设,

由于，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．命题“，，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.

【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,

注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.

故选：B

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

5．平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（    ）

A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．“屏占比”变化不确定

【答案】B

【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小.

【详解】设升级前屏幕面积为a,整机面积为b,

则屏占比为，设减小面积为，则升级后屏占比为：，则，即，屏占比变小.

故选：B

6．已知函数，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得的定义域，由此求得的定义域.

【详解】，解得，

所以的定义域是，

对于有，

所以函数的定义域为.

故选：D

7．已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】由于函数满足对任意，都有成立，

所以在上单调递增，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故选：A

8．已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，设，则，得，可得，即可求解.

【详解】由题意，因为在为单调函数，且，

设，则，即，所以，

可得或（负值舍），所以，故选A.

【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

二、多选题

9．以下说法正确的有（    ）

A．实数是成立的充要条件

B．对a，恒成立

C．命题“，使得”的否定是“，使得”

D．若，则的最小值是8

【答案】BC

【分析】根据充要条件、差比较法、存在量词命题的否定、特殊值等知识确定正确答案.

【详解】A选项，当时，可能，不能得到，所以A选项错误.

B选项，，当且仅当时等号成立，

所以对a，恒成立，B选项正确.

C选项，命题“，使得”的否定是“，使得”， C选项正确.

D选项，当时，可能，则，所以D选项错误.

故选：BC

10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】AD

【分析】判断函数是否是同一函数，先判断其定义域是否相同，然后再判断对应法则是否一致即可.

【详解】A：首先定义域都是，其次，所以是同一函数，A对；

B：定义域为的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，B错；

C：的定义域是，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错;

D：首先定义域都是，其次对应法则相同，是同一函数，D对；

故选:AD

11．在下列函数中，最小值是的函数有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，，所以A选项不符合.

B选项，，

当且仅当时等号成立，所以B选项不符合.

C选项，对于函数，

当时，，当且仅当时等号成立.

当时，，当且仅当时等号成立，

综上所述，的最小值是，符合题意.

D选项，，

，

当且仅当时等号成立，所以D选项符合.

故选：CD

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的单调减区间为

B．若有三个不同实数根，则

C．若恒成立，则实数a的取值范围是

D．对任意的，不等式恒成立

【答案】BCD

【分析】对A：利用分段函数图象判断单调性；对B：根据题意结合图象、对称性分析运算；对C：根据图象结合图象平移分析运算；对D：先证，再根据题意分析证明.

【详解】对A：作出的图象，如图1所示，

则的单调递减区间为，A错误；

对B：不妨设，则关于直线对称，

∴，则，B正确；

对C： 当时，显然不成立，不合题意，舍去；

当时，可以通过向左平移个单位得到，如图2，显然不成立，舍去；

当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3，以射线与相切为临界，

即，则，

∴，解得，则；

综上所述：实数a的取值范围是，C正确；

对D：对任意的，则

，当且仅当时等号成立，

即，则，

∴，

又∵，则，

∴，D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知集合，，，则集合B的个数为______个．

【答案】

【分析】利用列举法求得集合的个数.

【详解】依题意，集合，，，

所以可能为：，

共个.

故答案为：

14．设为上的奇函数，即，且当时，，则______．

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.

【详解】依题意，是奇函数，

所以.

故答案为：

15．若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为______．

【答案】

【分析】画出的图象，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】，

由解得或，

画出的图象如下图所示，

由于函数的定义域为，值域为，

由图可知，的取值范围是.

故答案为：

16．当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是________．

【答案】

【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，然后解不等式可得.

【详解】因为，x＞0，y＞0，

所以

当且仅当，即时等号成立，

因为恒成立，

所以有恒成立，解得，即k的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当，直接根据集合间的运算求解即可；

（2）由可知，故可得实数的取值范围．

【详解】（1）解：当时，，或，故；

（2）解：若，则，故，解得，即.

18．已知函数．

(1)当时，函数在上单调，求b的取值范围；

(2)若的解集为，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

（2）根据的解集求得的关系式，从而求得不等式的解集.

【详解】（1）当时，的对称轴为，

由于函数在上单调，

所以或，

解得或，

所以的取值范围是.

（2）由于的解集为，

所以，即，

所以，

所以不等式，即，

所以，，

解得或，所以不等式的解集为.

19．已知二次函数对都有成立，且．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在上的最小值为，求实数的值．

【答案】（1）；（2）2

【分析】（1）设二次函数，根据题意列出方程，求得的值，即可得到函数的解析式；

（2）根据二次函数的图象与性质，分类讨论求得函数的最小值，得出实数的方程，即可求解.

【详解】（1）设二次函数，

则

解得，

即 ，，得 ，所以：.

（2） ，对称轴，开口向上， ，分两种情况： ① 当时，函数 在区间单调递增，

，得到，与前提矛盾.

② 当时，函数在区间单调递减，在单调递增

，得到 （舍），或 （满足前提）     综上所述：

【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用待定系数法求解，以及熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和分析问题、解答问题的能力，属于中档试题.

20．已知函数，a为常数．

(1)若，解关于x的不等式；

(2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)．

【分析】(1)化简不等式，结合二次函数与二次不等式的关系即可求解该不等式；

(2)将参变分离，将问题转化为求解即可．

【详解】（1），

当时，，的解集为；

当时，，的解集为；

当时，，的解集为．

综上所述，当时的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为．

（2）对任意，

，

∴．

令，则，，

，

当且仅当，即，时取“＝”，

∴，

故实数a的取值范围为．

21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．

(1)当时，求海报纸的面积；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？

【答案】(1)

(2)选择长宽分别为的海报纸.

【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.

【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，

由图像知：，

（2）由（1）知：

，当且仅当即，

即

综上，选择长宽分别为的海报纸.

22．已知函数，．

(1)若函数在区间上的最小值为，求实数m的值；

(2)对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得值.

（2）对进行分类讨论，根据在区间上的“最大值”以及在区间上的最大值求得的取值范围.

【详解】（1）函数的开口向上，对称轴，

当时，在区间上的最小值为：

，符合.

当时，在区间上的最小值为：

，，不符合.

综上所述，的值为.

（2）依题意，对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，

所以在区间上的“最大值”小于在区间上的最大值，

对于，任取，

，

由于，

所以，

所以在区间上递增，最大值为.

函数的开口向上，对称轴，

当时，，

则，所以.

当时，，

则，所以.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】含参数的二次函数最值问题，要对参数进行分类讨论，分类标准的制定是关键，分类标准要做到不重不漏，可以考虑二次函数的开口方程、对称轴等方面来制定分类讨论.