2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高二上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．

【详解】解：

解得：.

故选：C.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，所以，，，

或，

当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；

当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．执行如图所示的程序框图，若输入t的取值范围为，则输出s的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由程序图可得，，再分段求解函数的值域，即可求解．

【详解】由程序图可得，

当时，，，当时，，，

综上所述，的取值范围为，．

故选：A．

4．点关于直线的对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.

【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，

则，解得.

所以点的坐标为

故选：A.

5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围

【详解】解：由题意得，解得，

故选：C．

6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

7．已知，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由，，得：，

（当且仅当，即，时取等号），

的最小值为.

故选：C.

8．直线被圆所截得的弦长为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.

【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，

所以点到直线的距离为，

所以，直线被圆截得的弦长为.

故选：A.

9．已知命题关于的方程没有实根；命题，.若和都是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】计算出当命题为真命题时实数的取值范围，以及当命题为真命题时实数的取值范围，由题意可知真假，进而可求得实数的取值范围.

【详解】若命题为真命题，则，解得；

若命题为真命题，，，则.

由于和都是假命题，则真假，所以，可得.

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.

10．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.

【详解】由得 ，

若，则不等式无解．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

综上，满足条件的的取值范围是

故选：C．

11．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.

【详解】，为等腰直角三角形，，

则外接圆的半径为，又球的半径为1，

设到平面的距离为，

则，

所以.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.

12．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.

【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，

，因此，，在，，

即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，

所以E的离心率为.

故选：B

【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、填空题

13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．

【答案】

【分析】根据分层抽样的方法，即可求解.

【详解】由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件，

用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，

则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.

故答案为：.

14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．

【答案】

【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】∵直线与平行，∴，解得，

∴直线：，直线：，

∴直线与之间的距离．

故答案为：

15．已知实数满足，则目标函数的最大值为______．

【答案】-4

【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．

【详解】作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；

平移直线，由图像可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大．

，解得，即，所以的最大值为-4．

故答案为-4．

【点睛】本题考查了简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

16．已知过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB经过抛物线C的焦点F，则___________．

【答案】

【分析】设出点的坐标，与抛物线方程联立，结合题意和韦达定理，求得抛物线的方程为，直线AB的方程为，进而求得的值.

【详解】设，在抛物线，过切点A与抛物线相切的直线的斜率为，

则以为切点的切线方程为，

联立方程组，整理得，

则，整理得，

所以，解得，

所以以为切点的切线方程为，即，

同理，设，在抛物线，过切点B与抛物线相切的直线，

又因为在切线和，

所以，

所以直线AB的方程为，

又直线AB过抛物线的焦点，所以令，可得，即，

所以抛物线的方程为，直线AB的方程为，

联立方程组，整理得或，

所以，

所以

.

故答案为：.

三、解答题

17．已知点，直线，直线.

(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；

(2)求直线关于直线的对称直线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，

（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程

【详解】（1）设点，则由题意可得，

解得，

所以点B的坐标为，

（2）由，得，所以两直线交于点，

在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则

，解得，即，

所以，

所以直线为，即，

所以直线关于直线的对称直线方程为

18．已知圆C：．

(1)若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；

(2)若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．

【答案】(1)或.

(2)8

【分析】（1）先判断当斜率不存在时,不满足条件；再判断当斜率存在时,设利用垂径定理列方程求出k，即可求出直线方程；

（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，得到.判断出当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，，即可求出四边形PACB面积的最小值.

【详解】（1）圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.

（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件；

（2）当斜率存在时,设即.

圆心C到直线l的距离，

解得: 或k=0,所以直线方程为或.

（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.

因为,所以

所以.

所以当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.

所以，所以，

即四边形PACB面积的最小值为8.

19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.

20．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

【答案】（1）；（2）最大值为.

【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.

【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，

所以该抛物线的方程为；

（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法

设，则，

所以，

由在抛物线上可得，即，

据此整理可得点的轨迹方程为，

所以直线的斜率，

当时，；

当时，，

当时，因为，

此时，当且仅当，即时，等号成立；

当时，；

综上，直线的斜率的最大值为.

[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法

同方法一得到点Q的轨迹方程为．

设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．

[方法三]：轨迹方程+换元求最值法

同方法一得点Q的轨迹方程为．

设直线的斜率为k，则．

令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．

[方法四]：参数+基本不等式法

由题可设．

因为，所以．

于是，所以

则直线的斜率为．

当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．

【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；

方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；

方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；

方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.

21．已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为．

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用双曲线的离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程；

（2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二次方程，利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系，利用A，B两点都在以点为圆心的同一圆上得到，再利用向量的数量积为0得到、的关系，进而消去得到的不等式进行求解.

【详解】（1）解：因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为，

所以点在双曲线上，

由题意，得，解得，，，

即双曲线的标准方程为.

（2）解：联立，得，

因为直线与该双曲线C交于不同的两点，

所以且，

即且，

设，，的中点，

则，，

因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，

所以，即，

因为，，

所以，

即，

将代入，

得，

解得或，

即m的取值范围为或.

22．已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，为椭圆上的任意一点（不含长轴端点），且面积的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围.

【答案】(1) (2)

【详解】试题分析：

（1）要求椭圆方程，一般要找到两个关于的方程，题中离心率是一个，即，面积最大时P点是椭圆短轴端点，因此有，这样可解出得椭圆方程；

（2）把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后为一元二次方程，设交点，利用韦达定理可得中点坐标（用表示），注意直线与椭圆相交有限制条件，由中点在圆内又得一条件，从而可解得的范围．

试题解析：

（Ⅰ）由题可知，又a2=b2+c2，

∴，故

所以椭圆的标准方程为                      

（II）联立方程消去y 整理得：

则，解得

设，则，

即AB的中点为

又AB的中点不在圆内，所以，解得

综上可知，