2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.

【详解】命题“，”的否定为“，”.

故选：A.

【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.

2．直线在轴上的截距为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在直线的方程中令,即可求得直线的横截距.

【详解】在直线的方程中，令,得到,解得,

故选：B.

3．下列结论正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】B

【解析】利用特殊值法可判断A、C、D选项的正误；利用不等式的基本性质可判断B选项的正误；

【详解】对于A选项，取，，，，则，成立，但，A选项错误；

对于B选项，若，，则，由不等式的基本性质可得，B选项正确；

对于C选项，取，，，，则，成立，但，C选项错误；

对于D选项，取，，则成立，但，D选项错误.

故选：B.

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分别从充分性与必要性这两个方面出发即可判断.

【详解】由可得，从而，从而满足充分性；

若，当时，无意义，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由关于坐标轴的对称性与坐标间的关系判断．

【详解】点关于平面对称的点的横、竖坐标不变，纵坐标为相反数，因此对称点的坐标是．

故选：D．

6．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在坐标平面中画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可求目标函数的最小值.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示：

由可得，故，

将初始直线平移至时，有最小值为，

故选：D.

7．直线：和直线：（）的位置关系是（    ）

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．重合

【答案】B

【分析】讨论和两种情况，再由斜率关系得出两直线位置关系.

【详解】当时，直线：与直线：相互垂直；

当时，直线方程可化为，直线方程可化为

因为，所以直线与直线相互垂直

故选：B

8．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，，，，是展开图上的四点，则在正方体盒子中，与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先把展开图还原在正方体中，判断出为与平面所成角，直接求解.

【详解】把展开图还原为正方体，，，，如图所示：

与平面所成角即为，所以，所以.

故选：A.

9．已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是

A．直线 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

【答案】D

【分析】由是圆上任意—点，可得，结合已知，由垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义可得点的轨迹是以为焦点的双曲线.

【详解】

因为N为中点，O为中点，

所以，

因为P在线段的中垂线上，所以，

因此，即点的轨迹是双曲线，故选D.

【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程、双曲线定义的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.

10．直线与曲线有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为1的轴上方的半圆，设直线与半圆相切时，切点为，进而数形结合求解即可得答案.

【详解】解：根据题意，直线过定点，

曲线表示圆心为原点，半径为1的轴上方的半圆，

设直线与半圆相切时，切点为，如图，

在中，，

所以

所以直线与曲线有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为.

故选：D

11．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由直线，，可得，，代入三角形面积计算公式，再令，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．

【详解】由直线，，

可得，，

所以当的面积，

令，所以，

所以当，即时，取得最小值．

故选：C

【点睛】求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．

12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：

①当轴时，

②离心率

③                        

④点的横坐标为定值

上述结论正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④

【答案】D

【解析】当轴时，求出，判定①不正确；通过求解离心率，可判定②正确；设的内切圆半径为，利用面积公式求得，可判定③正确；设内切圆与,的切点分别为，结合双曲线的定义，求得的横坐标，可判定④正确.

【详解】当轴时，可得，此时，所以①不正确；

因为，所以，整理得，

可得（其中为双曲线的离心率，），所以，所以②正确；

设的内切圆半径为，

由双曲线的定义可得，

其中，

因为，所以，

解得，所以③正确；

设内切圆与,的切点分别为，

可得，

因为，

可得，则点的坐标为，

所以点横坐标为，所以④正确.

故选：D.

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、填空题

13．某学校高一､高二､高三年级的学生人数之比为2∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取___________名学生.

【答案】24

【分析】根据分层抽样的定义按比例计算可得．

【详解】由题意应从高三年级抽取学生人数为．

故答案为：24．

14．过圆的圆心且与直线平行的直线方程为___________.

【答案】

【分析】求出圆心坐标，及直线斜率，再根据给定条件直接求出直线方程作答.

【详解】圆，即的圆心，直线的斜率为，

所以过点与直线平行的直线方程为：，即.

故答案为：

15．直线与圆相交于两点A，B，点为圆心，且则___________.

【答案】1或−5##-5或1

【分析】由向量数量积的定义可得，根据余弦定理可得的长，由圆的垂经定理可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离可得答案.

【详解】如图，

由,

所以

在中,由余弦定理可得

所以

设圆心到直线的距离为，则

又，即

解得或

故答案为：或

16．点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1（线段BC1）上运动，给出下列五个命题，正确的是___________.

①直线AD与直线B1P为异面直线；

②A1P面ACD1；

③三棱锥A-D1PC的体积为定值；

④面PDB1⊥面ACD1.

⑤直线与平面所成角的大小不变；

【答案】②③④

【分析】利用特殊点判断①，根据面面平行的性质得到平面，即可判断②③，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断④⑤；

【详解】解：对于①：当点运动到点时，，此时直线与直线不是异面直线，故①错误；

对于②：由正方体的性质可得且，，，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故②正确；

对于③：由②可得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，所以以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变；故③正确；

对于④：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则，，，，，，所以，，，所以，，所以，，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故④正确；

对于⑤：由④可知可以为平面的一个法向量，设，则，所以，所以，，，设直线与平面所成角为，则不为常数，故直线与平面所成角大小改变，故⑤错误；

故答案为：②③④

三、解答题

17．已知圆C：，直线l：.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.

（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.

【详解】（1）由圆：，可得，

其圆心为，半径，

若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.

（2）由（1）知：圆心到直线的距离，

因为，即，解得：，

所以，整理得：，解得：或，

则直线为或.

18．已知圆：，直线：.

(1)证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；

(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）化简直线方程再列方程组求解即可；

（2）根据（1）中所求定点，当直线所过定点与圆心的连线和直线l垂直时弦长最小，从而求解出直线l的斜率，进而写出直线l的方程.

【详解】（1）由得，

所以直线所过定点的坐标满足方程解得

所以直线l恒过定点（3，1）.

（2）根据（1），记直线所过的定点为，当直线l被圆C截得的弦长最小时，

根据题意，，

直线l的方程为，即

19．在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．

（1）求证：平面ADE；

（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）.

【分析】（1）由，另易证得，即可证得面面，由面面平行，从而证得线面平行，即面.

（2）连接，易证面，可过作交于，连接，则即为二面角A—FB—C的平面角，求出其余弦值即得.

【详解】解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，

所以，

又，

所以均为等边三角形.

所以，

所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.

因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA//FC.

又因为平面ADE，平面ADE，

所以平面ADE. 又平面，

所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.

（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，

所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即

因为AB为圆的直径，所以，

在，

所以，所以在

因为，又因为，所以平面FBC，

又平面FBC，所以.

在内，作于点H，连接AH.

因为平面ACH，所以平面ACH，

又平面ACH，所以，

所以就是二面角的平面角.

在，在，

所以，所以，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.

20．已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；

（2）直线y＝kx+1与曲线C方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式进行求解即可.

【详解】（1）设点P的坐标为P（x，y），则，整理可得曲线C的轨迹方程为；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），与直线方程联立可得：（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，则：，

＝，

从而直线MA，MB的斜率之和为0．

21．已知过的直线l与圆O：相交于不同两点A，B，且点A，B在x轴下方，点.

(1)求直线l的斜率的取值范围；

(2)证明：；

(3)求三角形ABN面积的最大值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）故设直线l的方程为，联立方程，根据结合得到答案.

（2）设，则，计算，得到证明.

（3）设，根据根与系数的关系计算，设，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（1）由题知，故设直线l的方程为，

，故，，

即，故直线l的斜率k的取值范围为.

（2）设，则，

，故.

（3）设，则由（1）知，，

∴

，

设，，则，

，当且仅当，即，时取等号，

故三角形ABN面积的最大值为.

22．已知椭圆的左、右焦点分别为，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点.点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先求得直线的方程，由此求得焦点坐标，即求得，结合三角形的最大面积求得，进而求得，从而求得椭圆的方程.

（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合三角形的面积来求得直线的方程.

【详解】（1）直线，直线过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为，则，又的面积最大值，则，所以，，，

故椭圆的方程为③.

（2）①当直线的斜率存在时，设，

代入③整理得，

设、，则，.

所以，.

点到直线的距离.

因为，即，

又由，得，

所以，..

而，，即，

解得，此时；.

②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.

也有，经检验，上述直线均满足，

综上：直线的方程为或.