2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题1．不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】解：解得：.故选：C.2．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，所以，，，或，当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．执行如图所示的程序框图，若输入t的取值范围为，则输出s的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由程序图可得，，再分段求解函数的值域，即可求解．【详解】由程序图可得，当时，，，当时，，，综上所述，的取值范围为，．故选：A．4．点关于直线的对称点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围【详解】解：由题意得，解得，故选：C．6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D7．已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.【详解】由，，得：，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故选：C.8．直线被圆所截得的弦长为（    ）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，所以点到直线的距离为，所以，直线被圆截得的弦长为.故选：A.9．已知命题关于的方程没有实根；命题，.若和都是假命题，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】计算出当命题为真命题时实数的取值范围，以及当命题为真命题时实数的取值范围，由题意可知真假，进而可求得实数的取值范围.【详解】若命题为真命题，则，解得；若命题为真命题，，，则.由于和都是假命题，则真假，所以，可得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.10．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围.【详解】如下图示，当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或.故选：B11．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12．已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A 二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．【答案】【分析】根据分层抽样的方法，即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件，用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.故答案为：.14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．【答案】【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离．故答案为：15．已知实数满足，则目标函数的最大值为______．【答案】-4【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；平移直线，由图像可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大．，解得，即，所以的最大值为-4．故答案为-4．【点睛】本题考查了简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．16．已知过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB经过抛物线C的焦点F，则___________．【答案】【分析】设出点的坐标，与抛物线方程联立，结合题意和韦达定理，求得抛物线的方程为，直线AB的方程为，进而求得的值.【详解】设，在抛物线，过切点A与抛物线相切的直线的斜率为，则以为切点的切线方程为，联立方程组，整理得，则，整理得，所以，解得，所以以为切点的切线方程为，即，同理，设，在抛物线，过切点B与抛物线相切的直线，又因为在切线和，所以，所以直线AB的方程为，又直线AB过抛物线的焦点，所以令，可得，即，所以抛物线的方程为，直线AB的方程为，联立方程组，整理得或，所以，所以 .故答案为：. 三、解答题17．已知点，直线，直线.(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；(2)求直线关于直线的对称直线方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程【详解】（1）设点，则由题意可得，解得，所以点B的坐标为，（2）由，得，所以两直线交于点，在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，所以直线为，即，所以直线关于直线的对称直线方程为18．已知圆C：．(1)若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；(2)若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．【答案】(1)或.(2)8 【分析】（1）先判断当斜率不存在时,不满足条件；再判断当斜率存在时,设利用垂径定理列方程求出k，即可求出直线方程；（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，得到.判断出当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，，即可求出四边形PACB面积的最小值.【详解】（1）圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件；（2）当斜率存在时,设即.圆心C到直线l的距离，解得: 或k=0,所以直线方程为或.（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.因为,所以所以.所以当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.所以，所以，即四边形PACB面积的最小值为8.19．已知焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且过点．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求弦长．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据离心率可求得渐近线方程为，可设双曲线方程为，由双曲线过点，代入即可得解；（2）联立直线方程和双曲线方程，求得两点坐标，利用两点间距离公式即可得解.【详解】（1）由离心率为，所以，所以双曲线渐近线方程为，设双曲线方程为：，代入点的坐标可得，所以双曲线方程为：；（2）变形可得，联立和方程可得：，所以，，所以两点坐标分别为，所以.20．如图，三棱锥中，平面.（1）求证：平面；（2）若，为中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析.（2）.【详解】试题分析：（1）由平面BCD，平面BCD，得到.进一步即得平面.（2）思路一：由平面BCD，得.确定.根据平面ABD，知三棱锥C-ABM的高，得到三棱锥的体积.思路二：由平面BCD知，平面ABD平面BCD，根据平面ABD平面BCD=BD，通过过点M作交BD于点N.得到平面BCD，且，利用计算三棱锥的体积.试题解析：解法一：（1）∵平面BCD，平面BCD，∴.又∵，，平面ABD，平面ABD，∴平面.（2）由平面BCD，得.∵，∴.∵M是AD的中点，∴.由（1）知，平面ABD，∴三棱锥C-ABM的高，因此三棱锥的体积.解法二：（1）同解法一.（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCD=BD，如图，过点M作交BD于点N.则平面BCD，且，又，∴.∴三棱锥的体积.【解析】垂直关系，几何体的体积，“间接法”、“等积法”. 21．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为．设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为k，则．令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设．因为，所以．于是，所以则直线的斜率为．当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.  22．已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，为椭圆上的任意一点（不含长轴端点），且面积的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围.【答案】(1) (2)【详解】试题分析：（1）要求椭圆方程，一般要找到两个关于的方程，题中离心率是一个，即，面积最大时P点是椭圆短轴端点，因此有，这样可解出得椭圆方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后为一元二次方程，设交点，利用韦达定理可得中点坐标（用表示），注意直线与椭圆相交有限制条件，由中点在圆内又得一条件，从而可解得的范围．试题解析：（Ⅰ）由题可知，又a2=b2+c2，∴，故所以椭圆的标准方程为                      （II）联立方程消去y 整理得：则，解得设，则，即AB的中点为又AB的中点不在圆内，所以，解得综上可知，