2022-2023学年四川师范大学附属中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川师范大学附属中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川师范大学附属中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题1．命题“”的否定形式是（    ）A． B．C．或  D．或 【答案】D【分析】由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“或”.故选：D2．双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出双曲线的渐近线，即可得到所围成的三角形区域，即可判断.【详解】解：双曲线即的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域如图：则该区域的不等式组为.故选：A3．在区间内任取一个实数，使方程（其中m是常数，）表示焦点在y轴上的椭圆的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据方程表示椭圆求出的范围，再根据几何概型即可得解.【详解】解：要使方程表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，所以其概率为.故选：A.4．下列说法正确的是（    ）A．命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”.B．双曲线以为中点的弦所在的直线斜率为.C．命题“或”为真命题，则命题“且”为真命题.D．若一组样本数据的方差为，则数据的方差为.【答案】D【分析】A项：由命题“若则”的逆否命题为“若则”可判断；B项：由点差法或代数法可求得结果；C项：由“或”“且”判断命题真假的方法可得结果；D项：由方差计算公式：若的方差为，则的方差为可得结果.【详解】对于A项：命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，故A项不正确；对于B项：设，因为为AB的中点，则，，方法1：点差法易得AB所在直线的斜率存在，则，则 两式作差可得：，即：，即：，经检验，符合题意，所以AB所在直线的斜率为，故B项不正确；方法2：由题意知，AB所在直线的斜率存在且不为0，所以设AB所在直线的方程为，所以，所以且 ，，，又∵，∴，解得：，经检验符合题意，所以AB所在直线的斜率为，故B项不正确；对于C项：∵“或”为真，则真或真，即：真假，或假真，或真真，∴假假，或真真，或假真， ∴且为真或假，故C项不正确；对于D项：∵若的方差为，则的方差为，∴的方差为16，则的方差为64.故D项正确.故选：D.5．设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由已知，可根据方程表示的曲线为双曲线，利用双曲线方程的标准形式列式求解，然后与条件比对，即可作出判断.【详解】由已知可得：方程表示的曲线为双曲线，所以，解得：或，所以“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分而不必要条件.故选：A.6．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示如下：则x=（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】去掉最高分和最低分可以得到剩余的七个数，根据七个数的平均数为91，可以列出关于x的等式，解出x即可.【详解】由图可知去掉的两个数是87,99，因为七个剩余分数的平均分为91，所以，解得.故选：C.7．一个盒子里装有标号为的张标签，随机地选取张标签，则取出的张标签的标号的平均数是的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合组合数公式，古典概型公式求概率.【详解】若3张标签的标号的平均数是3，则这3个标号和为9，则只能是1，3，5或2，3，4两种情况，所以取出的张标签的标号的平均数是的概率.故选：A8．设直线与，则（    ）A．当时，B．当时，C．当时，D．坐标原点到直线的距离的最大值为【答案】B【分析】根据两直线平行和垂直的公式，列式求解，判断直线所过定点，利用数形结合判断D.【详解】当两直线平行时，，即，解得：或，当时，代入两直线，，，两直线重合，不平行，故舍去，当时，代入两直线，，，两直线平行，所以，故A错误，B正确；当两直线垂直时，，整理为：或，故C错误；D. ，即，可知直线恒过定点，所以原点到直线的距离的最大值为原点和定点间的距离，故D错误.故选：B9．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为A． B． C． D．【答案】B【详解】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x轴的距离为.10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框中填入的条件可以为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.【详解】框图首先给累加变量赋值，给循环变量赋值，判断框中的条件满足，执行，；判断框中的条件满足，执行，；判断框中的条件满足，执行，；依次类推，令，知，判断框中的条件满足，执行此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是“”故选：D.11．若双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线被圆：截得弦长为，则双曲线的离心率为（    ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】设渐近线方程，再根据垂径定理可得，进而根据渐近线斜率与双曲线离心率的关系求解即可.【详解】设渐近线方程，则圆：圆心到的距离，即，解得.又双曲线基本量关系可得，结合渐近线方程可得当双曲线焦点在轴时，离心率为；当双曲线焦点在轴时，离心率为；故选：C12．已知是圆上两点，且．若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线与圆相交弦长可得的中点的轨迹方程为圆，又根据直线的方程可确定，交点的轨迹，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数的取值范围.【详解】解：圆，半径，因为恰为的中点，直线与圆相交弦长，所以，的轨迹方程是．又直线过定点，直线过定点，且，则点是两垂线的交点，所以在以为直径的圆上，则圆心，半径为的轨迹方程是由于的斜率存在，所以点的轨迹要除去点，由已知得圆与圆有公共点，，即，又，所以，解得.∴实数的取值范围为.故选：B. 二、填空题13．在空间直角坐标系Oxyz（O为坐标原点）中，点关于x轴的对称点为点B，则____________．【答案】【分析】先求解对称点坐标，利用空间中两点的距离公式，求解即可.【详解】由题意，点关于x轴的对称点为点，故.故答案为：14．从编号为、、、、的个网站中采用系统抽样抽取容量为的样本，若所抽样本中有编号为的网站，则样本中网站最小编号为________．【答案】【分析】求出分段间隔，分析出编号为的网站位于第组，进而可列等式求出样本中网站最小编号.【详解】分段间隔为，第组样本的编号为、、、、，由于，所以，编号为的网站位于第组，设样本中网站最小编号为，则，解得.故答案为：.15．设点是圆上任意一点，由点向轴作垂线，垂足为，且．则的轨迹的方程为___________.【答案】.【分析】设点根据题意求出，设根据，求出分别用来表示，然后代入.【详解】设由点向轴作垂线，垂足为，所以设，又因为即所以，又因为是圆上任意一点，即所以，即.故答案为：16．设､分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上的一点，若的最大值为，则椭圆的离心率的取值范围是_____【答案】.【分析】由已知可得：，进而可得到，结合基本不等式可求椭圆的离心率范围.【详解】由题意可知：，则（当且仅当，也即时等号成立）所以，则，又因为椭圆的离心率，所以，故答案为：. 三、解答题17．（1）求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质求解即可.【详解】（1）设椭圆方程为：且a > b > 0，，，，，故椭圆方程为：；（2）的焦点为：，根据题意得到：，则，解得：，故，故双曲线的方程为：.18．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)从点向圆C作切线，求切线方程．【答案】(1)(2)或 【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，又因为的中点为，所以线段的中垂线的直线方程为，即，联立 解得 ，所以圆心又因为半径等于,所以圆的方程为.（2）设圆的半径为，则，若直线的斜率不存在，因为直线过点，所以直线方程为，此时圆心到直线的距离，满足题意;若直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，即.所以切线方程为或.19．已知椭圆：经过点，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最大值．【答案】(1)(2)6 【分析】(1)根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，列出方程组，解之即可得出结果；(2) 设，利用平面向量数量积的坐标运算得到，再根据椭圆的性质和二次函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）由题意得，解得，，∴椭圆的标准方程为：．（2）由（1）知，，设，∴，，∴，∵，∴．∴的最大值为6．20．为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了人，按其免疫力指标分成如下五组:，，，，，其频率分布直方图如图所示.今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果.经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标与疫苗注射量个单位具有线性相关关系，样本数据的散点图如图所示.附:对于一组样本数据，，…，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.(1)求体检中心抽取的100个人的免疫力指标的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）(2)由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍.以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？【答案】(1)27(2)个单位. 【分析】（1）由频率分布直方中各组数据区间的中点值 乘以相应频率再求和得平均值；（2）由散点图得数据线性相关，求出线性回归直线方程，然后不等式可得结论．【详解】（1）由频率分布直方图可得，抽取的个人的免疫力指标的平均值为.（2）由散点图可得组样本数据分别为，，，，且与具有线性相关关系，∵，，∴，，故关于的线性回归方程为，由（1）可知，普通成年人群自身免疫力指标的平均值为，∴令，得，解得，∴疫苗注射量不应超过个单位.21．已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．(1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)是定值，. 【分析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值．【详解】（1）由题意知，，根据椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆的方程为，则，，曲线的方程为；（2）由题意知直线的方程为且m≠0)，设直线与椭圆的交点为，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，为．22．已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当k=2时，求△OMN的面积；（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上.【答案】(1) ;(2);(3)证明见解析.【分析】(1)由可得，结合离心率和可求出，进而可得椭圆的方程.(2)写出的方程为与椭圆进行联立，设，结合韦达定理可得，即可求出，由点到直线的距离公式可求出原点到的距离，从而可求出三角形的面积.(3) 设，联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得，设，由在同一条直线上，得，同理，从而可得，即可证明交点在定直线上.【详解】解：(1)因为，所以，即，因为离心率为，则，设，则，又，即，解得或（舍去），所以，所以椭圆的标准方程为.(2) 设，由直线的点斜式方程可知，直线的方程为，即，与椭圆方程联立，，整理得，则，所以 ，原点到的距离，则的面积.(3)由题意知，直线的方程为，即，设，则，整理得，则，因为直线和椭圆有两个交点，所以，则，设，因为在同一条直线上，则，因为在同一条直线上，则，所以，所以，则交点T恒在一条直线上.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点，由三点共线结合斜率公式得和，两式进行整理后可求出，即可证明交点在定直线上.