2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题1．若，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的基本性质可判断A，采用作差法逐一判断选项B,C,D的正误即可.【详解】对于选项A：因为，，所以，故A不正确；对于选项B：由于，因为，，所以，所以，即，故B正确；对于选项C：因为，所以，故C不正确；对于选项D：因为，所以，故D不正确.故选：B.2．命题“，”的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即“，”.故选：C.3．椭圆x2+4y2=4的焦点坐标为（    ）A．（±2，0） B．（0，±2） C． D．【答案】C【分析】将椭圆的方程化为标准方程，写出a，b的值，再由a，b，c之间的关系求出c的值，可得焦点的坐标．【详解】椭圆x2+4y2=4的标准方程为：，可得a2=4，b2=1，可得c2=a2-b2=4-1=3，所以，焦点在轴上，故焦点为.故选：C．4．已知向量，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量平行和垂直的坐标表示逐个分析判断即可【详解】对于A，因为，，所以，所以与不平行，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以与不垂直，所以B错误，对于C，因为，，所以，因为，所以与不平行，所以C错误，对于D，因为，，所以，所以，所以D正确，故选：D5．已知直线，直线，若直线与直线互相垂直，则实数的值为（    ）A．2或－1 B．－1 C．2 D．【答案】D【分析】根据垂直关系列方程，即可得解.【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，.故选：D6．若变量、满足约束条件，则目标函数取最大值时的最优解是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线，即可得出结果.【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.可化为，平移直线，当其经过点时，目标函数取得最大值，联立，解得，，故最优解是，故选：C.7．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题知，再解不等式即可.【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，，解得：．故选：D．8．不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求解一元二次不等式可得的解集，再由题意得关于的不等式组求解即可.【详解】由不等式，得，∵不等式成立的一个充分不必要条件是，∴⫋，则且与的等号不同时成立，解得，∴的取值范围为，故选：D．【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.9．椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是A． B． C． D．【答案】D【详解】设直线与椭圆交于，则，两式相减得，因为弦的中点坐标，所以 ，代入得到 ，所以，即斜率 ，且过点，所以直线方程是 ，化简为，故选D.10．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.【详解】由已知，不妨设，，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以，故选：B．11．已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，则，设直线l方程为，，，由得①，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程.【详解】由长轴长为4得，解得，设，直线l方程为，，，则，，由得，，即，所以①，又P在椭圆上，所以，即，代入①式得，即，因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关，所以，解得，所以所求椭圆方程为．故选：D．【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（    ）A． B．10 C． D．15【答案】C【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论．【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上由双曲线的定义①，由椭圆的定义②，又，即，所以，即，故③，①②得④，将④代入③得，，当且仅当，即时取等号；故选：C 二、填空题13．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程______．【答案】【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程.【详解】解：圆，圆心为，半径圆，经整理为，其圆心为，半径；故中点为， ，由对称性知，，整理得直线l的方程为.故答案为：14．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】作出函数和函数在区间上的图象，由图象得出为增函数且，由此可解出实数的取值范围.【详解】如下图所示：由上图所示，当时，不等式恒成立，则函数为增函数，且有，所以，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面,则球的表面积为__________．【答案】【详解】根据题意及边长关系得到BC=2,CD=3,BD=因为平面故得到 三角形ABC为直角三角形，三角形ACD也为直角三角形，故球心在AD的中点上，球的半径为 故答案为.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16．已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为_____________．【答案】【分析】延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用求得结果.【详解】延长交于点，∵是的平分线，，，又是中点，所以，且，又，，，．故答案为：.  三、解答题17．命题，，命题，使得成立.（1）若为真，为假，求实数的取值范围.（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得真时的范围，由得题所表示的集合为，进而由，一真一假，列式求范围即可；（2）设命题表示的集合为，再由列式求解即可.【详解】（1）命题，，则，解得，∴命题所表示的集合为，命题，使，即，∵为增函数，∴解得，∴命题所表示的集合为，若为真，为假，则，一真一假，①若真假，则，解得，②若假真，则，解得，综上，的取值范围为.（2）设命题表示的集合为，若是的充分不必要条件，则，即，∴，∴的取值范围为.18．已知点，圆（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值.【答案】（1），切线方程：或，切线方程：；（2）或【分析】（1）由切线条数可确定在圆上，代入圆的方程可求得；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果；（2）设直线方程，代入点坐标得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得.【详解】（1）过点只能作一条圆的切线    在圆上，解得：当时，，则切线方程为：，即当时，，则切线方程为：，即（2）设直线方程为：    直线方程为：圆的圆心到直线距离，解得：或【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：1.过圆上一点的切线方程为：；2.直线被圆截得的弦长等于.19．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．(1)求弦长的值；(2)求的周长．【答案】(1)3(2) 【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.【详解】（1）解：因为双曲线的焦点为，所以，设．联立，整理得：，.（2）解：记的周长为，则．，又得．点在右支，故．同理：点在左支，．20．如图，在三棱柱中，、分别是、的中点．（1）设棱的中点为，证明：平面；（2）若，，，且平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【分析】（1）根据,，所以平面平面，从而平面；（2）在面内作于点在面内作于点，所以是二面角的平面角再根据几何关系求解余弦值即可。【详解】（1）证明：连接，是的中点，是的中点，可由棱柱的性质知，且；四边形是平行四边形．，，分别是、的中点，平面平面，平面（2）在面内作于点在面内作于点，连接．平面平面，平面，是二面角的平面角，在中，，．设二面角的大小为，则【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角，其中线面平行采用面面平行从而线面平行的策略，属于较易题目。21．已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)由给定条件求出椭圆C1的半焦距，短半轴长即可得解；(2)设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，消去x得关于y的一元二次方程，借助韦达定理表示出面积的关系式，再利用对勾函数的性质即可作答.【详解】（1）直线过定点，即椭圆的一个焦点为，依题意：椭圆的半焦距，短半轴长，长半轴长a有，所以椭圆的标准方程为；（2）显然点在椭圆内部，即直线与椭圆必有两个不同的交点，由题意得直线不垂直于y轴，设直线的方程为，由消去整理得,设，，则，,从而有，令，函数在单调递增，则，即时，，于是有，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为．22．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得弦长为，经过坐标原点的直线与圆交于，两点.(1)求出圆的标准方程；(2)若时相应直线的方程；(3)若点，分别记直线、直线的斜率为、，求的值．【答案】(1)(2)或．(3)0 【分析】（1）根据题意设出方程，根据弦长和点即可求出；（2）过点作，由题可得，则可求出，即可建立关系求解；（3）设出直线方程，与圆方程联立，利用韦达定理可求.【详解】（1）由已知圆的圆心在轴上，所以设圆方程为．经过点且被轴截得的弦长为，所以有，．解得，，所以圆的标准方程为．（2）过点作，由得到，所以即，所以．设直线的方程为（直线与轴重合时不符合题意），由解得，所以直线的方程为，即或．（3）设，，设直线方程与圆的方程联立得，所以，．所以．