2022-2023学年天津市蓟州中学高二上学期期中练习数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市蓟州中学高二上学期期中练习数学试题

一、单选题

1．下列命题中正确的是（    ）

A．空间任意两个向量共面

B．向量、、共面即它们所在直线共面

C．若，，则与所在直线平行

D．若，则存在唯一的实数，使

【答案】A

【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．

【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；

空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；

若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；

若，当时，不存在唯一的实数，使，D错．

故选：A．

2．圆心为，且与x轴相切的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件得出圆的半径，然后可得答案.

【详解】因为圆心为，且与x轴相切，所以此圆的半径为，

所以圆的方程为，

故选：B

3．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（    ）

A． B．3 C．－1 D．或3

【答案】D

【分析】由点到直线的距离公式即可得关于实数a的方程，进而可求出实数a的值.

【详解】由题意得，化简得

解得或3．

故选：D.

4．已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】联立两条直线求解点坐标，利用点到直线距离公式可得解

【详解】由题意，

联立可得，故

则P到直线l：的距离：

故选：A

5．若与相外切，则（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【分析】根据两圆外切，得到圆心距等于半径之和，求出

【详解】的标准方程是，圆心的坐标为，半径，

的标准方程是，圆心的坐标为，半径，

因为与相外切，

所以，

即，

解得：.

故选：C.

6．如图，三棱锥中，分别是棱的中点，点在线段上，且，设，则的值分别是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据图形关系，利用向量的加减法和数乘运算可得，由此可得结果.

【详解】，

.

故选：D.

7．已知斜率为的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】因为圆的半径为，且直线l被圆截得的弦长为，即可以通过垂径定理求得圆心到直线l的距离，还可以通过圆心到直线l的距离公式，列出方程，从而求出直线方程.

【详解】圆：，故半径为，又因为直线l被圆截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离为

设直线l的方程为，

则，则或

所以或.

故选：D

8．已知点、，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出直线所过定点的坐标，计算出、的值，数形结合可得出关于的不等式，解之即可.

【详解】直线的方程化简得，由，可得，

故直线恒过定点，故，，直线的斜率为，

要使得直线与线段有公共点，则或，解得.

故选：A.

9．若x，y满足，则的最小值是（    ）

A．5 B． C． D．无法确定

【答案】C

【分析】由为圆上的点与原点距离的平方，结合圆的性质即得.

【详解】由，可得，

表示以为圆心，以为半径的圆，

设原点， ，

则（为圆上的点与原点距离的平方）的最小值是

．

故选：C．

二、填空题

10．设，向量，且，则___________．

【答案】

【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解．

【详解】因为，所以，解得，则．

因为，所以，解得，则．

．

故答案为:.

11．已知两条直线，，若，则直线与之间的距离______．

【答案】##

【分析】利用两直线平行可求得的值，再利用平行线间的距离公式可求得的值.

【详解】因为，则，解得，所以，直线的方程为，

因此，直线与之间的距离.

故答案为：.

12．若向量，，则__________．

【答案】##

【分析】求出两向量的数量积为0，从而可求得其夹角．

【详解】解：因为，

所以，故．

故答案为：.

13．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.

【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0

【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；

方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立x－2y－3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.

【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题意得:,

解得：

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，

即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

方法二：线段的中点坐标为，即，

直线的斜率为，

所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，

所以线段AB的垂直平分线方程为，即2x＋y＋4＝0，

由几何性质可知：线段AB的垂直平分线与的交点为圆心，

联立，

得交点坐标，

又点O到点A的距离，即半径为，

所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，

即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

14．直线l过且与圆相切，则直线l的方程为___________

【答案】或.

【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，当直线斜率不存在时直线符合题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径求出直线斜率即可.

【详解】由圆的方程，得，

则圆心坐标为，半径为，

当直线的斜率不存在时，直线：，与圆相切，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线：，即，

由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，

即，解得，所以：；

综上，直线的方程为或.

故答案为：或.

15．已知，，，则点到直线的距离为_____.

【答案】

【分析】先求向量，的坐标，再求在的投影，再由勾股定理即可求解.

【详解】解：,,

在的投影为，

点到直线的距离为,

故答案为：.

三、解答题

16．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.

(1)写出点，的坐标；

(2)求证：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据空间直角坐标系中，的位置写出坐标；

（2）求出，证明出结论.

【详解】（1）根据空间直角坐标系可得，.

（2）∵，，

∴，.

即，

∴，

故.

17．已知方程表示一个圆.

(1)求实数m的取值范围；

(2)求圆的周长的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据圆的一般式与标准式的转化，根据标准式即可求解.

（2）根据二次函数的性质可求解半径的最大值，进而可求圆周长的最大值.

【详解】（1）原方程可化为，

若方程表示一个圆，则，解得，

即实数m的取值范围是.

（2）圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为.

18．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，且平面，分别为棱的中点．

(1)用向量表示；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图形关系，利用向量加减法和数乘运算进行转化即可；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法直接求解即可.

【详解】（1）.

（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，

，

即异面直线与所成角的余弦值为.

19．已知定点，，动点满足．设动点的轨迹是曲线，直线l恒过点

(1)求曲线的方程；

(2)当直线l与曲线相交于M，N两点，且时，求l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)运用求轨迹方程的方法即可；(2)利用弦长公式求出圆心到直线的距离，并设出直线方程，利用即可求解.

【详解】（1）设动点，由得，

，

化简得，，

所以曲线的方程为.

（2）由(1)可知，曲线表示以点为圆心，为半径的圆，

设圆心直线的距离为，

由弦长公式解得，.

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，

此时圆心直线的距离为满足题意；

若直线的斜率存在并设为，由点斜式，

整理得，

，解得.

所以的直线方程为.

综上所述，的直线方程为或.

20．如图，线段PC、BC、DC两两垂直，AD∥BC，CB＝CD＝CP＝3AD＝3．点F为PA的中点，点E在CD上，且CE＝1．

(1)求证：BE⊥CF；

(2)求平面ADP与平面BPC夹角的余弦值．

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0证明线线垂直；

（2）求出两平面的法向量，利用空间向量求解平面的夹角的余弦值.

【详解】（1）以为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

由题意得：，

则，

所以，

所以BE⊥CF；

（2）平面的法向量为，

设平面ADP的法向量为，

则，

解得：，不妨令，则，

所以，

则，

设平面ADP与平面BPC夹角为，

所以