2022-2023学年重庆南开（融侨）中学高二上学期线上教学检测数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆南开（融侨）中学高二上学期线上教学检测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（ ）
A．6B．C．7D．
【答案】A
【分析】设点，根据抛物线方程，求得其准线方程，再利用抛物线定义求解.
【详解】设点，
因为抛物线方程为x2=8y，
所以其准线方程为，
又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，
由抛物线的定义得：，
解得，
所以点P的纵坐标为6，
故选：A
2．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ）
A．2B．－2C．D．4
【答案】C
【分析】先将椭圆方程化为标准形式，再根据椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍求解.
【详解】将椭圆化为标准形式为 ，
因为椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，
所以，
解得，
故选：C．
3．等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等轴双曲线，可得a=b，根据交点坐标，可求得c值，根据a，b，c的关系，即可得答案.
【详解】∵等轴双曲线的一个焦点为，∴，且a=b，
又，
∴，即，
∴双曲线的标准方程为．
故选：D
4．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行可知：求出，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】解：当两直线平行，∴，解得或，
当，两直线重合，舍去；
当时，两直线平行．
所以“”是“直线与直线平行”的充要条件．
故选：C
5．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.
【详解】设圆的一般方程为，圆心坐标为，
因为圆经过两点，，且圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆的方程为.
故选：C.
6．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，
所以，
∴，，
所以.
故选：B.
7．如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段交椭圆于点Q．若，，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由可得点的横坐标为，再由可求出得点的纵坐标的绝对值为，然后将点的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率
【详解】解：由题意得，设，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以，
因为在椭圆上，
所以，
化简得，，
因为，所以，
，得，
解得或（舍去）
故选：D
8．过轴上点的直线与抛物线交于，两点，若为定值，则实数的值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】设出直线的方程与抛物线方程联立，根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】设直线的方程为，
代入，得，
设，，则，．
，
同理，，
∴
，
∵为定值是与无关的常数，
∴，
故选：D．
【点睛】关键点睛：代数式由变形为是解题的关键.
二、多选题
9．已知圆C和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】首先设出圆的方程，根据直线与圆相切以及圆经过的点，列出等量关系即可求解.
【详解】由题意设所求圆的方程为，圆与轴相切，.
依据其他条件则有，解得或，所以该圆的方程为
或
故选：AB
10．已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为递减数列
C．是和的等比中项D．的最小值为
【答案】AD
【分析】先由题干中条件得到公差，从而求出通项公式，判断出AB选项；计算出，，发现，故判断C选项的正误；D选项为递增数列，且，，从而得到最小，计算出结果即可判断.
【详解】由题意得：，因为，所以，所以通项公式为：，A选项正确；由于，所以为递增数列，B选项错误；通过计算可得：，，，其中，所以不是和的等比中项，C选项错误；因为为递增数列，且，，故在时取得最小值，，D选项正确
故选：AD
11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
【答案】BCD
【分析】由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A、B正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误；利用椭圆的定义判断是否在椭圆上，判断D的正误.
【详解】双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
12．已知抛物线的焦点为，直线经过点交于A，两点，交轴于点，若，则（ ）
A．B．点的坐标为
C．D．弦的中点到轴的距离为
【答案】CD
【分析】首先利用焦点坐标求出抛物线的方程，即可判断A选项；根据题意找到线段之比求出点B的坐标可判断B选项，根据点B,F坐标可写出直线AB方程，联立之后，由弦长公式及中点坐标公式求解并判断CD选项.
【详解】
由于得到，故A错误；抛物线方程为，
过B点作BD垂直于y轴，垂足为D点，则,
因为，所以,
所以，
即,代入抛物线方程，解得,故B错误；
不妨取点的坐标为，
所以直线的方程为：，
联立抛物线方程得到：，
韦达定理可知：，
由抛物线的弦长公式可知：，故C正确；
弦的中点到轴的距离为，故D正确；
故选：CD.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
三、填空题
13．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
【分析】直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA，然后根据已知条件求出直线PB与PA的斜率即可
【详解】解：∵直线l与线段AB有公共点，
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA．
∵，
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
14．在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .
【答案】27
【分析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案
【详解】设公比为，插入的三个数分别为，
因为，所以，得，
所以，
故答案为：27
15．已知数列满足：，，则______．
【答案】
【分析】由递推关系式可知数列是周期为的周期数列，根据可得结果.
【详解】由题意得：，，，，
数列是周期为的周期数列，.
故答案为：.
16．过抛物线的焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD，分别交M于A，B，C，D则的最小值为______
【答案】16
【分析】设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理法结合焦点弦公式求出弦和，从而利用基本不等式求的最小值.
【详解】由抛物线：可知，
由题可知直线的斜率存在且不为，可设直线的方程为，，，
直线的方程与抛物线方程联立，得：，
∴，，
同理，
∴，当且仅当时等号成立，
即的最小值为16.
故答案为：16.
四、解答题
17．设等比数列的前n项和为，已知，求和．
【答案】，或，．
【分析】由条件求得首项和公比，再利用等比数列的通项公式和前n项和公式求解.
【详解】解：设的公比为q，由题意得，
解得或，
当时，；
当时，．
18．已知数列的前项和为的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系式可求得的通项公式；
（2）由（1）可得到与的项，由此利用等差数列前项和公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
当时，，
所以，
经检验：满足，
所以.
（2）由（1）可知，令，则，得，
又，所以当时，；当时，；
所以.
19．在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
（2），
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.
20．如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点.
(1)求证：平面.
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后利用与平面的法向量垂直即可得证.
（2）求出两个平面的法向量的夹角的余弦值即可求解.
【详解】（1）过作于点，则，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为 为的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
所以平面的法向量为，
因为，所以，
又因为平面，所以平面.
（2）由（1）知，，，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
所以平面的法向量为，
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21．已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．
【答案】(1);
(2)证明见解析,定直线的方程为: x=1.
【分析】(1) 由题意知:即可求出a,b即可;
(2) 由椭圆对称性知G在上,由特殊点求出x=1,再求出一般性也成立即可.
【详解】解:
(1)因为,所以c=1,
由题意知:,解得,
则椭圆的方程为:.
(2)由椭圆对称性知G在上,假设直线 l过椭圆上顶点,则,
则,而,
其交点,
所以G在定直线x=1上;
当M不在椭圆顶点时,设,
由,整理得:,
则,
当x=1时,,
得,
得,
得,
上式显然成立,
所以G在定直线x=1上.
22．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．
【答案】（1）x2=4y
（2）当t=﹣时，|MN|的最小值是
【详解】（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1
由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0
所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4
由解得点M的横坐标为xM===，
同理可得点N的横坐标为xN=
所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=
令4k﹣3=t，t不为0，则k=
当t＞0时，|MN|=2＞2
当t＜0时，|MN|=2=2≥
综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是