2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高二上学期12月阶段性检测（线上）数学试题 （解析版）

重庆市巴蜀中学高2024届高二上数学阶段性检测题

一､单选题

1. 双曲线的渐近线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.

【详解】由题得双曲线的方程为，所以，

所以渐近线方程．

故选：D

2. 已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 4 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】先求抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，由弦长公式可求的最小值.

【详解】因为直线为抛物线的准线，故即，

故抛物线方程为：.

设直线，则，，

而，当且仅当等号成立，

故的最小值为8，

故选：D.

3. 已知为递增的等差数列，，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差数列的性质列出方程组，从而求出和公差，写出的通项公式即可求出答案.

【详解】因为为等差数列，，所以，

由，得或(舍)，所以，

所以.

令，得.

故选：D.

4. 若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线的斜率，求出的取值范围，求出的取值范围即可.

【详解】解：因为直线方向向量是，

所以直线的斜率，因为，

所以，又直线的倾斜角，，

所以或，即.

故选：C.

5. 已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，则，而，再将代入化简可得答案

【详解】设公差不为0的等差数列满足，

则，整理可得．

则．

故选：B．

6. 若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项和成立的最大自然数是（    ）

A. 4039 B. 4038 C. 4037 D. 4036

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前项和公式进行求解即可.

【详解】因为，所以等差数列是递减数列，

因为，

所以，且，，

所以使数列的前项和成立的最大自然数是4038．

故选：B

二、多选题：本题共2小题，每小题7分，共14分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得7分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

7. （多选）等差数列是递增数列，且，前项和为，则（    ）

A.  B.

C. 当时，最小 D. 当时，的最小值为8

【答案】AD

【解析】

【分析】先求得，结合数列的单调性判断AB选项的正确性，结合二次函数的性质、一元二次不等式判断CD选项的正确性.

【详解】设等差数列的公差为，

由，可得，即．

又由等差数列是递增数列，

可知，则，故A正确，B错误；

因为，

由，可知当或时最小，故C错误；

令，解得（舍去）或，

即时的最小值为8，故D正确．

故选：AD．

8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（    ）

A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C上存在点K，使得

C. 直线的斜率为 D. 平分

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据给定条件用椭圆半焦距c表示a，b以及点Q的坐标，再逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】令椭圆半焦距为c，则，由得，，椭圆，

，而，则点，

对于A，椭圆C的离心率，A正确；

对于B，设，即有，，

即锐角，B不正确；

对于C，直线的斜率，C正确；

对于D，直线的方程为，点Q到直线的距离，

即点Q到直线与的距离相等，则平分，D正确.

故选：ACD

三､填空题

9. 已知数列是等差数列，是其前项和，则_________.

【答案】27

【解析】

【分析】根据等差数列前项和的性质可求出结果.

【详解】根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，

所以，即，

所以.

故答案为：

10. 已知点，圆上两点满足，则的最小值为__________.

【答案】49

【解析】

【分析】根据，得到M，P，N三点共线，设线段MN的中点为，利用点差法得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再根据点M，N到直线的距离和等于点到直线的距离的2倍求解.

【详解】解：因为，

所以M，P，N三点共线，

因为圆过两点，

所以M，N是过点的直线与圆的交点，

设线段MN的中点为，

由，得，

化简得，

表示点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，

则点到直线的距离的最小值为，

因为点M，N到直线的距离和等于点到直线的距离的2倍，

所以

，

故答案为：49.

四､解答题

11. 已知数列是等差数列，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前17项和.

【答案】（1）；（2）217.

【解析】

【分析】（1）由已知条件，求出公差即可求解；

（2）因为当时，，当时，，所以，由等差数列求和公式即可求解.

【详解】解：（1）因为数列是等差数列，设公差为，

因为，，

所以，

所以，

所以；

（2）设等差数列前项和为，

令，解得，

所以当时，，当时，，

故

.

12. 定义：若点在椭圆上，并满足，则称这两点是关于的一对共轭点，或称点关于的一个共轭点为．已知点在椭圆上，是坐标原点．

（1）求点关于的所有共轭点的坐标：

（2）设点在上，且，求点关于的所有共轭点和点所围成封闭图形面积的最大值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题中定义，通过解方程组进行求解即可；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、椭圆弦长公式、基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

设点关于的共轭点的坐标为，由题意有，

消去得，解得，

即点关于的共轭点有且只有一个，坐标为，即为本身；

【小问2详解】

因为，所以，

所以设直线方程为：，

将其与椭圆方程联立有，消去得．

由题有．

又设，则．

则

．

又设到直线距离，则．

则所围成的图形面积为

，当且仅当，即取等号．

故点关于的所有共轭点和点所围成封闭图形面积的最大值为．

【点睛】关键点睛：运用基本不等式是解题的关键.