2022-2023学年重庆市第八中学校高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市第八中学校高二上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．某日某火锅店进货了四种食品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及莴笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是（    ）

A．7 B．13 C．8 D．9

【答案】D

【分析】根据分层抽样的比例，分别求出抽取的样本中毛肚的份数与莴笋的份数，即可求得答案.

【详解】由题意可知采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数为，

抽取的莴笋份数为，

故抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是，

故选：D

2．已知圆心在第一象限，且过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据题意可设圆的方程为，将点代入，从而得到圆心坐标，然后结合点到直线的距离公式即可得到结果.

【详解】因为圆与两坐标轴都相切，点在圆上，

所以可设圆的方程为，

所以，即，解得或，

所以圆心坐标为或

所以圆心到直线的距离为或.

故选：B

3．是空气质量的一个重要指标,我国标准采用世卫组织设定的最宽限值,即日均值在以下空气质量为一级,在之间空气质量为二级,在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位:）的统计数据,则下列叙述不正确的是（    ）

A．从5日到9日,日均值逐渐降低

B．这10天中日均值的平均数是49.3

C．这10天的日均值的中位数是45

D．从这10天的日均监测数据中随机抽出一天的数据,空气质量为一级的概率是

【答案】C

【分析】根据折线图可知选项A正确,根据平均数的计算公式可知选项B正确,将10天的日均值从小到大排列,取中间两数的平均数可知选项C错误,数出日均值在以下的天数,根据概率计算公式可知选项D正确.

【详解】解:由图可知从5日到9日,日均值逐渐降低，故选项A正确;

由图平均数为，故选项B正确;

由图可知这10天的数据从小到大排列为：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位数为:，故选项C错误;

由数据可知,10天中日均值以下有4天，故空气质量为一级的概率是，故选项D正确.

故选：C

4．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（    ）

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】D

【分析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.

【详解】因为到直线的距离等于到点的距离，

所以到直线的距离等于到点的距离，

所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线

故选：D

5．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M与C的焦点不重合，点M关于，的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在C的右支上.若，则C的实轴长为（    ）

A．6 B． C．12 D．

【答案】A

【分析】由题意可得，代入，结合双曲线的定义即可得出答案.

【详解】∵为MA的中点，为MB的中点，

∴，

又，所以，

∴，即实轴长为6.

故选：A

6．2020年1月11日，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（简称FAST）开放运行. FAST的反射面的形状近似为球冠.球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高.某科技馆制作了一个FAST模型，其口径为米，反射面总面积为平方米，若模型的厚度忽略不计，则截出该球冠模型的球的体积为（    ）（注：球冠表面积，其中R是球的半径，h是球冠的高）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知，可作出球冠的平面图，根据题意条件，设出长度关系，在中，利用勾股定理和利用球冠表面积公式可得到一组方程，解方程即可求解出球的半径，从而求得球的体积.

【详解】

如图所示，是弦，是直径，

点为弦的中点，由垂径定理可知，交弦于点，

由已知可得，口径为米，反射面总面积为平方米，R是球的半径，h是球冠的高，

所以，，，，所以，

在中，由勾股定理可知：，即①，

又由球冠的表面积可得：②，

由①②可得：，，

所以截出该球冠模型的球的体积为.

故选：D.

7．如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意结合几何关系得到关于a,b,c的齐次方程，然后求解椭圆的离心率即可.

【详解】设椭圆的右端点为，根据对称性可知，那么，

又根据椭圆的对称性可知，点关于轴对称，，

设点的横坐标是，代入椭圆方程得，解得，

即 ，，

因为，所以，即，可得，即，即，故选C.

【点睛】本题考查了椭圆性质的综合，其中求圆锥曲线的离心率是重点考查内容，一般可利用几何性质转化为关于的齐次方程，再利用化简求解，本题的关键是利用椭圆的对称性，可知点关于轴对称，以及点关于轴对称，这样得到点的坐标，以及这样的关键条件.

8．已知点P是双曲线C：上的动点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设P(x,y)是双曲线C右支上的一点，则有 ，，所以=，再根据，即可求得范围.

【详解】解：如图所示：

设P(x,y)是双曲线C右支上的一点，

由焦半径公式可得，

所以，

同理可得，

所以，

又因为，

所以原式

又因为，

所以,

所以,

所以.

故选：B.

二、多选题

9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，则两组样本数据的样本（    ）

A．极差相同 B．中位数相同 C．方差相同 D．平均数相同

【答案】AC

【分析】将一组数据中的每个数据都加或减同一个非零常数 后, 样本平均数和中位数改变, 方差、标准差和极差不变.

【详解】对于选项 ：设样本数据 中, 最大, 最小, 因为 , 所以样本 中, 最大, 最小, 极差, 故 正确;

对于选项 ：设样本数据 的中位数为 , 则样本数据 的中位数 为 , 所以两组样本数据的样本中位数不相同, 故B错误 ;

对于选项 , 新样本数据的样本标准差

所以C选项正确.

对于选项 ,  因为原样本数据的样本平 均数 , 新样本数据的样本平均数 , 所以两组样本数据的样本平均数不相同, 所以 D 错误.

故选：AC.

10．若动点、分别在直线：与：上移动，则AB的中点M到原点的距离可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】设出动点、的中点坐标，然后求出中点的轨迹方程，再求出原点到该直线的距离可得答案.

【详解】设AB的中点M的坐标为则有：

又、分别在直线：与：上

两式相加得：

，

.大于该值的都有可能.

故选：BCD

11．设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．的面积为（为坐标原点）

【答案】BC

【分析】设，利用焦半径公式求出，进而求出，并结合，求出，即可判断A；求出三点的坐标，从而求出向量，的坐标， 即可判断B；已知两点坐标，且，利用斜率公式可得，即可判断C；由，求出的面积，即可判断D.

【详解】

如图，设，

，

，

，

又，

，即，

解得：；

故选项A不正确；

由上述分析可知，

又容易知，

则，，

故成立；

故选项B正确；

；

故选项C正确；

，

故选项D不正确；

故选：BC．

12．已知为椭圆外一点，，分别为椭圆的左，右焦点，，，线段，分别交椭圆于，，，设椭圆离心率为，则下列说法正确的有（    ）

A．越大，则越大 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】BC

【分析】由题意可知，过做直线的垂线，结合 利用余弦定理求出；  

点在左侧时和当点在右侧时判断A选项说法是否成立；当时，连接,在中，根据余弦定理及椭圆定义，可计算出离心率,即可判断C是否正确；当时，连接,在中，根据余弦定理及椭圆定义，可计算出离心率,即可判断C是否正确，即可判断B是否正确；由余弦定理表示出，结合椭圆定义推出；在中， 根据余弦定理计算，推出，最后计算即可判断D是否正确.

【详解】，

过做直线的垂线，垂足为,在中，，

在中: ,

对于A选项：，点在以为圆心，以为半径的圆上运动，

如图当点在左侧时较小，但较大，当点在右侧时较大，但也可能较小，故越大，则越大说法错误，故A不正确；

对于C选项：

若为中点，

连接,在中，,，，

根据余弦定理可知：

又，故C选项正确；

对于B选项：若，为中点，

连接,在中，,，，

根据余弦定理可知：

又，故B选项正确；

对于D选项：过做轴，垂足为,

，

又

在中，,，，

根据余弦定理可知：

，故D不正确.

故选：BC

三、填空题

13．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N，若，则的面积为_________.

【答案】

【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，，故，

不妨设在第一象限，故，.

故答案为：

14．重庆市第八中学校为了更好地关注青少年的心理健康，对某年级的全体同学进行了一次心理健康测试，测试成绩满分为100分，其中1600名同学的测试成绩的频率分布直方图如图所示，则这1600名同学成绩的第65百分位数为_________.

【答案】

【分析】由频率分布直方图，根据频率之和为1，求出m的值，得出成绩的第65百分位数位于第4组中，设第65百分位数为，进而列出方程求得答案.

【详解】解：，

，

又，，

第65百分位数位于第4组中，

设第65百分位数为，

则，

解得，

故答案为：.

15．圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，若圆锥的底面半径为3，则圆锥SD的内切球的表面积为_________.

【答案】

【分析】先由题给条件求得若圆锥的母线长为9，再求得圆锥SD的内切球的半径为，进而求得该球的表面积

【详解】设圆锥SD的底面半径为r，高为h，母线长为l，则

则，解之得，则

设圆锥SD的内切球的半径为R，

则圆锥SD的轴截面面积

解之得，

则圆锥SD的内切球的表面积为

故答案为：

16．已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为_________.

【答案】

【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可．

【详解】抛物线的焦点坐标为，，

焦点为，，得，

即抛物线方程为，

当轴时，，此时，，即，，则，

，

当不垂直轴时，设斜率为，设，，，，

则，

代入得，即，

则，，

过分别作垂直于准线，

则，，

，

则，

则，

当且仅当，即时，取等号，故的最小值为，

综上可知:的最小值为，

故答案为：

四、解答题

17．已知圆：，：，点P，A，B分别在x轴和圆，上.

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求的最小值.

【答案】(1)相离；

(2).

【分析】（1）由两圆心距离与两半径间的大小关系判断；

（2）作圆关于x轴的对称圆，则的最小值为.

【详解】（1）由题意得，，∴，

∴两圆的位置关系为相离；

（2）作圆关于x轴的对称圆，则为，B的对称点为，则的最小值为的最小值，即为.

18．双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距，再由准线方程求得，从而可得，然后可得双曲线方程．

（2）设弦的两端分别为，，利用点差法，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程．

【详解】（1）∵椭圆的焦点为，  ∴

∵一条准线方程为，，解得，∴，

∴双曲线的方程为．

（2）设弦的两端分别为，．则有：

．

弦中点为，．

故直线的斜率．

则所求直线方程为：．

19．某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，后得到如图的频率分布直方图.

(1)求抽取的40名学生同学的成绩的中位数；

(2)若该校高二年级共有学生560人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；

(3)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的概率.

【答案】(1)75分；

(2)196；

(3).

【分析】（1）由各组的频率和为1，求出，再利用中位数的定义可求得结果；

（2）根据频率分布直方图求出成绩不低于80分的频率，再乘以560可乘以所求的人数；

（3）根据频率分布直方图求出数学成绩在与两个分数段内的学生的频率，从而可求出各段上的人数，然后列出所有的情况，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可得，

解得，

因为前3组的频率和，前4组的频率和，

所以中位数在第4组，

设中位数为，则，解得，

所以中位数为75分；

（2）由频率分布直方图可得成绩不低于80分的频率为，

因为该校高二年级共有学生560人，

所以该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数约为（人）；

（3）由频率分布直方图可得成绩在内的人数为人，记为，

成绩在内的人数为人，记为，

若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生的所有情况有：

，，，，

共15种情况，

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的有：，，共8种，

所以所求概率为.

20．图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2.

(1)求证：平面平面ABED；

(2)在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)存在，直线与平面所成角的正弦值为

【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点P的坐标，从而得到线面角.

【详解】（1）取BE的中点F，连接AF，，

因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，

所以均为等边三角形，

故⊥BE，⊥BE，且，

因为，所以，

由勾股定理逆定理得：AF⊥，

又因为，平面ABE，

所以⊥平面ABED，

因为平面，

所以平面平面ABED；

（2）以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，

设，，，

故，

解得：，

故，

设平面的法向量为，

则，

故，

令，则，故，

其中

则，

解得：或（舍去），

则，

设直线与平面所成角为，

则，

直线与平面所成角的正弦值为.

21．已知椭圆C：长轴长为4，P在C上运动，F1，F2为C的两个焦点，且cos∠F1PF2的最小值为．

(1)求C的方程；

(2)已知过点的动直线l交C于两点A，B，线段AB的中点为N，若为定值，试求m的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设|PF1|，|PF2|长分别为p，q．利用余弦定理及基本不等式可得，结合条件即求；

（2）直线l的斜率不存在，可得，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+m，利用韦达定理法及数量积的坐标运算可得，即得.

【详解】（1）由题意得a＝2，

设|PF1|，|PF2|长分别为p，q．则

（当且仅当p＝q时取等号）

从而，得，

∴，

则椭圆的标准方程为．

（2）若直线l的斜率不存在，易得；

若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+m，联立，

得，易知恒成立，

设，则，

且，，

＝

＝

＝，

要使上式为常数，必须且只需，即．

此时为定值，符合题意．

综上可知，当时，能使得若．

22．已知椭圆方程，长轴为短轴的两倍，抛物线方程：，O为坐标原点，F是抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，如图所示.

(1)证明：直线OA，OB的斜率乘积为定值，并求出该定值；

(2)反向延长OA，OB分别与椭圆交于C，D两点，且，求椭圆方程；

(3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线方程.

【答案】(1)证明见解析，定值为-4；

(2)；

(3).

【分析】(1)设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理及斜率公式求出直线OA，OB的斜率的乘积，由此即可证明；

(2)设出点C，D的坐标，然后由(1)写出直线OA，OB的方程，联立直线OA的方程与椭圆方程，求出点C的横坐标的平方关系式，由此求出OC，OD的平方关系和，再根据C,D在椭圆上有解已知关系式化简即可求解；

(3)先写出三角形OAB与三角形OCD的面积比的关系式，再利用(1),(2)的结论化简即可求解.

【详解】（1）证明：设直线OA，OB的斜率分别为，

直线l的斜率存在且不为0，设直线l:,

联立方程,消去x，整理得：

，

易知，且，

又，

则；

（2）解：设

由(1)可知，直线OA的方程为，直线OB的方程为，

联立方程，可得，

用替换式子中的，

则有，

所以，

又因为，所以上式与无关，

所以，且，

即且，

所以，

此时椭圆的方程为：；

（3）解：因为=，

由(2)可知当时，

，，

则，

又由(1)可，

所以，

当且仅当时取等号，

由题意可得，

所以，

此时抛物线方程为：.

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆以及抛物线的方程以及直线与椭圆、抛物线的位置关系的应用，在第二问中关键是由，得出化简的式子与无关，从而得出的值；第三问的关键是将三角形的面积之比转化成，属于难题.