2022-2023学年重庆市第七中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市第七中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．60° C．90° D．不存在

【答案】C

【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案.

【详解】化简得，，明显可见，该直线斜率不存在，倾斜角为90°

故选：C

2．若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，从而可求出实数k的取值范围.

【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，

所以，解得，

故选：D

3．若空间四点､､､共面且则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．6

【答案】D

【分析】化简可得，由四点共面可知系数和，计算即可得解.

【详解】依题意，

由四点共面,则系数和，则.

故选：D

4．直线关于点对称的直线方程为（    ）

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0

C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0

【答案】B

【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。

【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，

则关于对称点为，

又因为在上，

所以，即。

故选：B

5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题设，应用两点距离公式可得，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心.

【详解】令P(x，y)，则，两边平方并整理得：，

∴圆心为(4，0)．

故选：A．

6．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（    ）

A．1 B．2

C．4 D．

【答案】A

【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得.

【详解】如图所示，

延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，易知，所以|PF1|＝|PQ|.

根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，

从而|QF2|＝2.

在△F1QF2中，易知OH为中位线，则|OH|＝1.

故选：A.

7．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为（    ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

【答案】B

【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，即可得出答案．

【详解】解：由条件，知．

即，

，即，

所以二面角的大小为.

故选：B．

8．已知A，B分别为椭圆C：的左､右顶点，P为椭圆C上一动点（异于A，B两点），PA，PB与直线交于M，N两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算，设直线的方程为，的方程为，计算，得到，根据正弦定理得到，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，设，则，

所以，

易知直线斜率存在，设直线的方程为，直线的方程为，令得，不妨设 ，则，

设和外接圆的半径分别为，

由正弦定理得，，又，

，当，即时等号成立.

故选：A

二、多选题

9．已知空间中三点，，，则（    ）

A． B．

C． D．A，B，C三点共线

【答案】AB

【详解】易得，，，，A正确;

因为，所以，B正确，D错误;

而，C错误.

故选: AB.

10．已知曲线，则（    ）

A．当时，则的焦点是，

B．当时，则的渐近线方程为

C．当表示双曲线时，则的取值范围为

D．存在，使表示圆

【答案】ABD

【分析】通过的值或取值范围，判断曲线的形状，转化求解即可.

【详解】对于A，当时，曲线，则的焦点是，，所以A正确；

对于B，当时，曲线，则的渐近线方程为，所以B正确；

对于C，当表示双曲线时，，解得：或，所以C不正确；

对于D，当，即时，曲线表示圆，所以D正确.

故选：ABD.

11．已知椭圆C的两个焦点分别为，，离心率为，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆C的方程为

B．的最大值为

C．当时，

D．椭圆的形状比椭圆C的形状更接近于圆

【答案】AC

【分析】根据离心率计算得到，，得到椭圆方程，计算的最大值，B错误，根据椭圆性质得到C正确，根据离心率的大小关系得到D错误，得到答案.

【详解】，，故，，故椭圆C的方程为，A正确；

的最大值为为，B错误；

，故当时，，C正确；

椭圆的离心率为，故椭圆C的形状更接近于圆，D错误.

故选：AC.

12．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．线段上存在点，使平面

C．线段上存在点，使平面平面

D．设直线与平面所成角为，则的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．

对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，，

所以 ，，，

设（），则

所以，

平面即

解之得

当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确

对于C，设平面的法向量

则，取

得

设平面 的法向量 ,

则

取 , 得 ,

平面平面

设 , 即 ,

解得 ，，不合题意

线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．

对于D，平面的法向量为

则

因为

所以

所以的最大值为．故D正确．

故选：ABD

三、填空题

13．经过点作圆的切线，则切线的方程为___________.

【答案】

【解析】根据题中条件，先求出切线斜率，进而可得切线方程.

【详解】因为点在圆上，

所以，因此切线斜率为2，

故切线方程为，整理得．

故答案为：.

14．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线AB的距离为___________.

【答案】2

【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可

【详解】因为，，

点到直线AB方向上的投影为，

所以点到直线AB的距离为，

故答案为：2

15．设､是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为___________.

【答案】14

【分析】利用椭圆的几何性质求解即可.

【详解】如图所示

由椭圆的性质可得，，

所以的周长，

当最小时，最大，又当轴时最小，

此时，

所以的最大值为14，

故答案为：14

16．已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．

【答案】

【分析】设，与双曲线两渐近线联立可求得坐标，利用可构造齐次方程求得离心率.

【详解】

由题意可设：，

由得：，即；

由得：，即；

，，即，

，即，，解得：，

即双曲线的离心率为.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：

（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；

（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.

四、解答题

17．已知向量，，，，.

(1)求，，；

(2)求与所成角的余弦值.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）根据向量平行得到，根据向量垂直得到，计算得到答案.

（2）计算，，再根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1），故，即，

故，，，即，，

，故，，故

（2），，与所成角的余弦值为：

18．已知两点，及圆：，为经过点的一条动直线.

(1)若直线与圆相切，求切线方程；

(2)若直线与圆相交于两点，从下列条件中选择一个作为已知条件，求的面积.

条件①:直线平分圆；条件②：直线的斜率为-3.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设直线为，利用圆心到直线的距离等于半径求即可；

（2）选择条件①利用两点式可得直线的方程，再利用点到直线的距离得到的高，即可得到面积；选择条件②利用点斜式可得直线的方程，再利用点到直线的距离得到的高，即可得到面积.

【详解】（1）当直线斜率不存在时，即，圆心到直线的距离，此时直线与圆相交；

当直线斜率存在时，设直线为，即，

当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，

即，解得或，

所以切线方程为或.

（2）选择条件①：

直线平分圆则直线过圆心，所以直线为，即，

因为，点到直线的距离，

所以.

选择条件②：

由直线的斜率为-3且过可得直线为，即，

直线过圆心，所以，

点到直线的距离，

所以.

19．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点，为中点，.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据图形特点，建立空间直角坐标系，利用向量关系即可证明平面；

（2）按照空间向量的坐标运算求解直线与平面所成角的正弦值即可.

【详解】（1）证明：四棱锥中，底面为矩形，所以

又平面，平面，所以

如图所示，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，取中点连接

则，，，，，

所以，，，

所以，

则，即，又平面，平面PBC

所以平面.

（2）解：由（1）可设平面的一个法向量为

又，

所以，令，所以

则

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，

求双曲线的渐近线方程；

当时，的面积为，求此双曲线的方程．

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果.

试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.

（2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得．

根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.

21．如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.

(1)证明：平面；

(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)存在，

【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；

（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.

【详解】（1）证明：正方形中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，

，且，又，

，又，，

，又，，

又平面，

平面；

（2）解：如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，

设点，，，

，

，

设平面的法向量为，

，

令，

显然，平面的法向量为，

，

即，即

即，解得或（舍），

所以存在一点，且.

22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0.

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆C的方程为．

（2）依题意，点，设，

因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．

所以直线斜率必不为0，设其方程为，

与椭圆C联立，整理得：，

所以，且

因为点是椭圆上一点，即，

则，

所以，即

因为

，

所以，此时，

故直线：恒过x轴上一定点．