2022-2023学年重庆市第十八中学高二上学期线上素质测评数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市第十八中学高二上学期线上素质测评数学试题

一、单选题

1．已知两条直线和互相垂直，则等于 （ ）

A．2 B．1 C．0 D．-1

【答案】D

【详解】解：因为两条直线和互相垂直，则斜率之积为-1，可知参数a的值为-1,选D

2．若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【分析】利用椭圆的定义可得.

【详解】根据椭圆的定义知，，因为，所以．

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的定义，一般地，与焦点三角形有关的计算问题，应利用椭圆的几何性质来考虑，本题属于基础题.

3．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)

A．4 B．－4 C．－ D．

【答案】C

【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的倍列方程，解方程求得的值.

【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C.

【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.

5．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D．

6．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ）

A． B．AB与平面所成的角为

C． D．与平面所成的角为

【答案】D

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．

【详解】如图所示：

不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．

对于A，，，，A错误；

对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；

对于C，，，，C错误；

对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．

故选：D．

7．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】[方法一]：设而不求

设，则

则由得：，

由，得，

所以，即，

所以椭圆的离心率，故选A.

[方法二]：第三定义

设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：

故，

由椭圆第三定义得：，

故

所以椭圆的离心率，故选A.

8．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．

【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，

当直线时，， ，此时最小．

∴即 ，由解得， ．

所以以为直径的圆的方程为，即 ，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．

二、多选题

9．已知直线：和圆：，则（    ）

A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线：垂直

C．直线与圆相离 D．若，直线被圆截得的弦长为

【答案】BD

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，

B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为，从而存在满足题意，

C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；

当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；

当 时，直线与直线垂直，故B正确；

∵定点在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C不正确：

当时，直线l化为，即x+y+2=0，

圆心O到直线的距离，

直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，

故选：BD.

10．平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和3，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】BD

【分析】作出图像，分、,、到平面的距离为1,3三种情况讨论即可.

【详解】如图，到平面的距离为1,3，

则的中点到平面的距离为2，所以到平面的距离为4，

若,到平面的距离为1,3，设到平面的距离为，

则或，因为，则，所以点到平面的距离为2，

当到平面的距离为1,3，同理得到平面的距离为2，

故选：BD.

11．已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的焦点坐标为、 B．椭圆的长轴长为

C．直线的方程为 D．

【答案】BC

【分析】结合椭圆概念易判断A错B对，设，由点差法化简可验证C是否正确，联立直线与椭圆方程，由弦长公式可验证D是否正确.

【详解】因为椭圆方程为：，所以焦点在轴上，故A项错误；

，所以，B项正确；

设，则①，②，联立①②整理得，又，，所以，故直线的方程为，即，故C正确；

联立得，，，故D项错误.

故选：BC

12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ）

A．曲线围成的图形有4条对称轴

B．曲线围成的图形的周长是

C．曲线上的任意两点间的距离不超过6

D．若是曲线上任意一点，的最小值是

【答案】ACD

【分析】由圆的方程作出曲线图象，再由弧长公式，点到直线的距离公式对选项逐一判断，

【详解】当时，曲线方程可化为，即，是以为圆心，为半径的圆的一部分，

同理可作出其他象限内图象，如图所示，

对于A，曲线围成的图形有4条对称轴，分别是直线，，，，故A正确，

对于B，曲线围成的图形的周长是，故B错误，

对于C，曲线上的任意两点间的距离最大值为，故C正确，

对于D，到直线的距离为，

而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，

故的最小值是，故D正确，

故选：ACD

三、填空题

13．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________.

【答案】

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，

即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，

即可得到方程，解得即可．

【详解】双曲线的渐近线为：

，即，

不妨取，圆，

即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离：

，

解得或．

故答案为：．

14．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为______

【答案】

【分析】直接利用异面直线所成的角的求法及解三角形的知识即可求出结果．

【详解】如图所示：

在正方体体中，连接，

所以异面直线与所成角，即为直线和所成的角或其补角．

设正方体的棱长为，由于平面，

所以为直角三角形．

所以，

所以．

故答案为

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，涉及转化思想及运算求解能力，属于基础题型．

15．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值是_________.

【答案】24

【分析】根据直线是否存在斜率分类讨论，根据解方程、一元二次方程根与系数的关系，

结合基本不等式进行求解即可.

【详解】当直线垂直于轴时，，；

当直线不垂直于轴时，设直线为，显然，

把直线方程代入抛物线化简得：

，

则；

所以，

又，

当且仅当时取等号，所以所求的值为24.

故答案为：24.

16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为__________.

【答案】

【分析】首先证明四边形为矩形，设，得到方程组

，解出即可.

【详解】连接，因为，

所以四边形是平行四边形，

所以，，

又，所以四边形为矩形，

设

则由题意得，解得，

则，则标准方程为，

故答案为：.

四、解答题

17．如图，在中，，斜边.可以通过以直线AO为轴旋转得到，且二面角是直二面角.D是AB的中点.

(1)求证：平面平面AOB；

(2)求异面直线AO与CD所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）依题意可得，，即可得到是二面角的平面角，从而得到，即可得到平面，从而得证；

（2）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由为的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作，垂足为，连接，则，所以是异面直线与所成的角，再由锐角三角函数计算可得.

【详解】（1）证明：由题意，，，

是二面角的平面角，

又二面角是直二面角，

，

又，平面，

平面，

又平面，

平面平面．

（2）作，垂足为，连接，则，

因为，，，

平面，所以平面，

所以平面，平面，所以，

是异面直线与所成的角，

在中，，，

，

又．

，

在中，．

异面直线与所成角的余弦值为为．

18．如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.

（1）求边所在直线的方程；

（2）求矩形外接圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1) 直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；

（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.

【详解】（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，

所以直线的斜率为-3.

又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，

即.

（2）由，解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为.

所以为矩形外接圆的圆心.

又，

从而矩形外接圆的方程为.

【点睛】方法点睛：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

19．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，写出相关点坐标及相关向量，得到，即可证明；

（2）计算平面的一个法向量，而为平面的法向量，利用面面夹角余弦值的公式求出角的余弦值，则得到面面角的正弦值.

【详解】（1）证明：取中点,连接，

为正三角形,,

正三棱柱平面平面且相交于,

又平面，平面，取中点,

则，，，

平面，，

故以为原点, 建立如图所示空间直角坐标系,

则，根据上下底面为正三角形，

易得，

，

,

,

，且平面，直线平面.

（2）设平面的一个法向量为，

，，则，

令，得，

由（1）得为平面的法向量，

设二面角的平面角为,

,

，

二面角正伭值的大小为.

20．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点、同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

【答案】（1） （）；（2） 观测点、测得离航天器的距离分别为和4时，应向航天器发出变轨指令.

【解析】（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点求出方程；

（2）先求解变轨时的点的坐标，结合两点间的距离可求.

【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为，

因为抛物线经过点，所以，解得；

联立可得，

故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（）.

（2）当时，分别代入椭圆方程和抛物线方程均得到，所以在观测点处测得离航天器的距离为4时，应向航天器发出变轨指令；

因为，所以在观测点处测得离航天器的距离为时，应向航天器发出变轨指令.

故观测点、测得离航天器的距离分别为和4时，应向航天器发出变轨指令.

【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.

21．直线l:y=kx＋1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B．

（Ⅰ）求实数k的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1），（2）

【详解】(1)直线与双曲线方程联立消y得关于x的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k的取值范围.

(2)解本题的突破口是假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，

整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0再根据韦达定理解决即可.

(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线方程2x2－y2＝1后，整理得：

(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①

解：依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

，解得－2<k<－．

(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得②，

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，

整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0③

把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0，解得

k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．

可得k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

22．如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．

（i）已知，，求的值；

（ii）求的最小值．

【答案】(1)；

(2)（i）0；（ii）16.

【分析】（1）结合已知条件，设，利用直接法求轨迹方程即可.

（2）(i)首先设出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及向量的共线关系即可求解；(ii)结合韦达定理以及距离公式表示出，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）设点，则，且，

由得：，

即 化简得，

故动点的轨迹的方程为：.

（2）(i)设直线的方程为：．

设，，又，

联立，消去得，，，

由韦达定理知，

由，得：，，

整理得：，，

故．

(ii)

．

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．