2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．抛物线的通径长为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】抛物线，即，利用通经长公式即可求得通经长．

【详解】解：抛物线，即，可得，因此通径长为：．

故选：C．

2．和椭圆有相同焦点的等轴双曲线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出椭圆的焦点坐标，再利用等轴双曲线性质，求解即可．

【详解】椭圆，，则，可得，

设等轴双曲线方程为，其中，

可得，解得

所求的双曲线方程为．

故选：A

3．已知数列满足，则的前10项的和为（    ）

A． B．6 C．5 D．

【答案】D

【分析】根据数列的周期性，结合特殊角的三角函数值，以及二倍角公式，即可求得结果.

【详解】由题可知，又的周期，且，

故该列数列的前10项的和为.

故选：D.

4．在△中，“”是“△为钝角三角形”的（    ）条件

A．充要 B．充分不必要

C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根据正、余弦定理求得的等价条件，再从充分性和必要性定义即可判断.

【详解】在△中，，等价于，即，

由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，故可得为钝角；

即△中，等价于△是以为钝角的钝角三角形；

显然，充分性成立，但若△为钝角三角形，不一定是为钝角，故必要性不成立.

故“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.

故选：B.

5．已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则实数的值是（    ）

A．9 B．3 C． D．1

【答案】B

【分析】根据求出通项公式，利用可求出，再由等比数列求和公式求出，分、讨论根据等差数列的定义可得答案.

【详解】因为等比数列的前项和，

则当时，，

则，解得，又因为，所以，

则，当时，，

即是以为首项，为公比的等比数列，

当即时，，所以，时，，

所以是首项为1，公差为1的等差数列；

当即时，

则，当时，，

所以，

因为，，所以不是常数，即不是等差数列.

综上所述，.

故选：B.

6．已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线渐近线与之间的位置关系，即可容易判断.

【详解】的斜率分别是；

对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，

又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误；

对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，

又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误；

对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，

又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确；

对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，

又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误.

故选：C.

7．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】设复数，利用已知求出a与b的关系，代入原式表示为b的二次函数求最大值即可.

【详解】设复数，则，

所以，

所以，

所以.

.

故选：B.

8．若数列满足：，其中且，若对任意成立，则实数的最小值是（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】D

【分析】由已知去绝对值得，即，采用叠加法求出，分为奇偶讨论求出的分段函数，结合极限即可求解的最小值.

【详解】因为，且，

所以，

即，

，，

，

累加得

，

又，所以，

即，

当为奇数时，单调递增，，，

当为偶数时，单调递减，，，

要使对任意成立，则，实数的最小值是.

故选：D

二、多选题

9．已知空间中两个不同的平面，两条不同的直线满足，则以下结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若相交，则相交 D．若，则

【答案】CD

【分析】利用空间中线线、线面关系逐项判断即可.

【详解】A选项，如图所示：，，与有可能只是相交，故A错误；

B选项，如图所示：若，，与有可能异面；

C选项，若，相交，则一定相交，故C正确；

D选项，由面面垂直的判定定理即可得若， ，则，

故D正确.

故选：CD.

10．已知平面上点，动点，以下叙述正确的是（    ）

A．若，则的轨迹是一条直线

B．若，则的轨迹是双曲线的一支

C．若（为正常数，且），则的轨迹一定是圆

D．若，则的轨迹是椭圆

【答案】ACD

【分析】根据椭圆，双曲线的定义，结合题意，对每个选项逐一判断，即可选择.

【详解】对A：根据题意可得：，整理可得：， 故的轨迹是一条直线，A正确；

对B：，故点的轨迹是一条射线，不满足双曲线定义，B错误；

对C：，即，整理可得：

，其表示圆心为，半径为的圆，C正确；

对D：，故其轨迹是以为焦点，且长轴长为的椭圆，D正确.

故选：ACD.

11．单增数列满足，点，对于任意都有，则（    ）

A．数列的通项公式为

B．数列的最大值为

C．的面积为

D．四边形的面积为

【答案】ABD

【分析】A选项根据求得数列的递推关系确定为等差数列求出通项判断为正确；B选项利用作差法判断数列为递减数列，得最大值为首项，计算判断为正确；C选项利用向量法的坐标表示计算三角形的面积判断为不正确；D选项利用同样的方法计算和两三角形面积相减得到四边形的面积判断为正确.

【详解】A选项，因为，

又数列为单增数列，所以，

即数列为首项为1，公差为1的等差数列，

所以，A正确；

B选项，，

所以数列为递减数列，故当时，数列的值最大，为，

B正确；

C选项，，则

C不正确；

D选项，四边形的面积为

D正确.

故答案为：ABD.

12．已知双曲线的左右焦点分别为，且，点是双曲线第一象限内的动点，的平分线交轴于点垂直于交于，则以下正确的是（    ）

A．当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为

B．当时，点的坐标为

C．当时，三角形的面积

D．若则

【答案】ABD

【分析】对A：根据点到直线的距离，结合已知条件求得，即可求得离心率；对B：根据角平分线定理，结合的长度，即可容易求得的坐标；对C：根据双曲线的定义，结合已知条件，即可求得焦点三角形的面积；对D：做辅助线，构造全等三角形，求得，再根据与渐近线之间的关系，建立的不等式，即可求得的范围.

【详解】对A：易知点的坐标为，又双曲线的一条渐近线为，根据题意可得，

又，故，则，则双曲线的离心率为，故A正确；

对B：因为，点为双曲线上一点，由其定义可得：，

由角平分线定理可得：，即，又，故，

又的坐标为，故点的坐标为，B正确；

对C：由题可知，又，则，

故，则△的面积，故C错误；

对D：延长交于点，连接，如下所示：

易知△△，即，由，可得，则，

故可得；

又点在第一象限，故直线的斜率必小于渐近线的斜率，

不妨设渐近线的倾斜角为，由，可得，

则，即，整理得，又，

则，解得，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率，焦点三角形面积，以及双曲线中参数范围的求解；其中D选项中，充分挖掘几何关系，建立的不等式，是解决问题的关键，属中档题.

三、填空题

13．双曲线的离心率等于____________.

【答案】.

【详解】试题分析：.

【考点定位】双曲线及其离心率.

14．已知等比数列满足，那么的公比__________．

【答案】2

【分析】利用公式法列方程求解即可.

【详解】设等比数列的通项公式为，

因为，

所以，

化简得，

解得.

故答案为：2.

15．已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为__________．

【答案】4

【分析】将到抛物线的准线的距离转化为M到抛物线焦点的距离，再根据三角形三边关系将的最小值表示为，最后根据圆外一点到圆上动点的距离转化为到圆心的距离减去半径求的最小值即可.

【详解】抛物线的焦点为，则，

圆D的圆心为，半径为

所以.

故答案为：4.

16．设等差数列的公差为（为常数），且是数列的前项和，则数列的前2022项和__________．（用表示）

【答案】

【分析】由求得，得到，化简得，结合累加法即可求解.

【详解】由，即，所以，，所以，，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知数列满足：

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求数列的前项的和．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据等差数列的定义，结合已知条件，即可容易证明；

（2）根据（1）中所证即可求得，结合等比数列的前项和以及等差数列的前项和即可求得结果.

【详解】（1），故可得，

故数列为首项，公差为的等差数列.

（2）根据（1）中所求，故可得，故；

故

.

故数列的前项和为.

18．锐角的内角所对边分别为，且

(1)求角；

(2)已知的面积为，其外接圆半径为，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边化角，结合二倍角公式即可求解；

（2）由正弦面积公式求出，结合正弦定理外接圆公式求出，最后联立余弦定理可整体求出，进而得解.

【详解】（1）由得，

因为，所以，同时除以得，即，；

（2）因为，即，

又，

由余弦定理可得，

即，，

所以的周长为.

19．如图，斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点，且．

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理，及面面垂直的判定定理即可得证；

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角.

【详解】（1）取的中点，连接DO，即点在底面上的射影为，平面

又平面，

又，平面ABED ，则平面

又平面，所以平面平面

（2）取的中点，连接，

以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设

则，，，，

则，，

设平面的法向量为

则，令，则

设直线与平面所成角为，

则

20．已知抛物线的焦点为到双曲线的渐近线的距离为1．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，和抛物线焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求得以及抛物线方程；

（2）设出切线方程，联立抛物线方程，根据相切关系，求得参数之间的关系，再结合点的坐标求解，消去参数，即可求得点的轨迹方程.

【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，

又抛物线的焦点的坐标为，

由题可得：，解得，故抛物线方程为：.

（2）设过点与抛物线相切的直线方程为，

联立抛物线方程可得，

则，又，则，且，，

设点的坐标为，则，即，代入，

可得，又，故；

则点的轨迹方程为：.

21．已知椭圆的右顶点为，左､右焦点分别为，直线与椭圆交于，当与重合时，点在轴上的射影为

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当时，求的最值．

【答案】(1)

(2)的最小值为，最大值为

【分析】（1）当与重合时，把代入椭圆方程可得，直线过可得，求出直线，令时得，结合可得答案；

（2）设，由椭圆方程与直线方程联立得由韦达定理可得，

利用两点间的距离公式求出，，故，代入， 令，转化为，令，利用导数求出最值即可.

【详解】（1）因为右顶点为，所以，

当与重合时，点在轴上的射影为，故此时，

所以，可得，

直线过，所以，得，直线，

当时，，即，

所以，得，由，解得或舍去，故，椭圆的标准方程为；

（2）由（1）得，椭圆的标准方程为，

设，由得，

因为，所以，且，

因为，

而，，所以，

因为，

而，，所以，

故

，

令，则，，则，

令，，则，

令，，其对称轴为，

当时，单调递增，而，

所以在上单调递减，从而，

即，而，所以，

所以在上单调递减，从而，即，

可得，可得，

故，所以的最小值为，最大值为.

【点睛】关键点点睛：在第二问中，求出、，以及令利用导数判断单调性和求最值是解题的关键点，考查了向上分析问题、解决问题以及运算能力.

22．设数列的前项和为．若对任意，总存在，使得，则称是“数列”．

(1)若数列，判断是不是“数列”，并说明理由；

(2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”，

①求的值；

②设数列，设数列的前项和为，若对任意成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)不是，理由见解析；

(2)①；②

【分析】（1）理由等比数列求和公式求得，再举反例可求解；

（2）①利用等差数列的通项公式及求和公式可求得，再利用新定义即可得解；

②化简，再利用放缩法求得数列的前项和为，进而求得实数的取值范围．

【详解】（1）数列不是“数列”，理由如下：

，

当时，，此时找不到，使得

所以数列，不是“数列”.

（2）①是等差数列，且首项，公差，

则，

故对任意，总存在，使得成立，

则，其中为非负整数，

要使，需要恒为整数，即为所有非负整数的公约数，

又，所以

②由①知，，

则

令，

则数列的前项和为，

且

则

由对任意成立，即恒成立，即

故实数的取值范围为