高中物理高考 第2讲　磁场对运动电荷的作用

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第2讲　磁场对运动电荷的作用



知识点　洛伦兹力、洛伦兹力的方向　Ⅰ
洛伦兹力公式　Ⅱ
1.洛伦兹力的定义：运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。
2．洛伦兹力的方向
(1)用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v所决定的平面(注意B和v可以有任意夹角)。
由于F始终垂直于v的方向，故洛伦兹力永不做功。
3．洛伦兹力的大小：F＝qvBsinθ，其中θ为电荷运动方向与磁场方向之间的夹角。
(1)当电荷运动方向与磁场方向垂直时，F＝qvB。
(2)当电荷运动方向与磁场方向平行时，F＝0。
(3)当电荷在磁场中静止时，F＝0。
知识点　带电粒子在匀强磁场中的运动　Ⅱ
1．两种特殊运动
(1)若v∥B，带电粒子以入射速度v做匀速直线运动。
(2)若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动。
2．基本公式
向心力公式：qvB＝m＝m2r。
3．导出公式
(1)轨道半径：r＝。
(2)周期：T＝＝。
注意：T、f和ω的大小与轨道半径r和运行速率v无关，只与磁场的磁感应强度B和粒子的比荷有关。比荷相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中T、f、ω相同。

一 堵点疏通
1．带电粒子在磁场中运动时，一定会受到磁场力的作用。(　　)
2．洛伦兹力的方向垂直于B和v决定的平面，洛伦兹力对带电粒子永远不做功。(　　)
3．根据公式T＝，可知带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。(　　)
4．用左手定则判断洛伦兹力方向时，四指指向电荷的运动方向。(　　)
5．带电粒子在磁场中运动时的轨道半径与粒子的比荷成正比。(　　)
6．当带电粒子进入匀强磁场时，若v与B夹角为锐角，带电粒子的轨迹为螺旋线。(　　)
答案　1.×　2.√　3.×　4.×　5.×　6.√
二 对点激活
1．(人教版选择性必修第二册·P10·T2改编)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是(　　)

答案　B
解析　由左手定则知A中力F的方向应竖直向上，B中力F的方向应竖直向下，C、D中速度v与磁感应强度B平行，不受洛伦兹力，故B正确，A、C、D错误。
2.(人教版选择性必修第二册·P11·T3改编)如图所示，一束质量、速度和电荷量不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A、B两束，下列说法正确的是(　　)

A．组成A束和B束的离子都带负电
B．组成A束和B束的离子质量一定不同
C．A束离子的比荷大于B束离子的比荷
D．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外
答案　C
解析　由左手定则结合带电粒子在磁场中偏转的方向知，A、B束离子均带正电，故A错误。A、B束离子的速度相同，而A束离子在磁场中的偏转半径较小，由r＝知A束离子的比荷大于B束离子的比荷，而它们的电荷量关系未知，则无法判断离子质量关系，故B错误，C正确。速度选择器中A、B束离子所受静电力向右，所以所受洛伦兹力应向左，结合左手定则可判断磁场方向应垂直于纸面向里，故D错误。



考点1　洛伦兹力的特点及应用
1.洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。
2．洛伦兹力与静电力的比较
对应力内容项目
洛伦兹力
静电力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在静电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v，且与电荷电性有关
正电荷受力与电场强度方向相同，负电荷受力与电场强度方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时场的情况
F为零，B不一定为零
F为零，E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动速度的大小，也可以改变电荷运动的方向
例1　如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆形轨道的最高点M滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大
B．滑块经过最低点时的加速度比磁场不存在时小
C．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小
D．滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等
(1)带负电的滑块经过最低点时的速度大小受磁场有无的影响吗？
提示：因为洛伦兹力不做功，所以有无磁场对滑块经过最低点时的速度大小无影响。
(2)运动到最低点时滑块所受洛伦兹力方向如何？
提示：竖直向下。
尝试解答　选D。
由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，A错误；滑块经过最低点时的加速度a＝，则与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，B错误；由左手定则可知，滑块经过最低点时受到的洛伦兹力向下，而与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时所受的向心力不变，故对轨道的压力变大，C错误；由于洛伦兹力方向始终与运动方向垂直，在任意一点，滑块经过时的速度与磁场不存在时相比均不变，则滑块从M点到最低点所用时间磁场不存在时相等，D正确。

洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
[变式1]　 (多选)如图所示，两个倾角分别为30°和60°的足够长光滑绝缘斜面固定于水平地面上，并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，两个质量为m、电荷量为＋q的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两小滑块都将飞离斜面，在此过程中(　　)

A．甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大
B．甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短
C．两滑块在斜面上运动的位移大小相同
D．两滑块在斜面上运动的过程中，重力的平均功率相等
答案　AD
解析　小滑块飞离斜面时，洛伦兹力与重力垂直斜面的分力平衡，故mgcosθ＝qvmB，解得vm＝，所以斜面倾角越小，飞离斜面瞬间的速度越大，故甲滑块飞离时速度较大，故A正确；滑块在斜面上运动的加速度恒定不变，由受力分析和牛顿第二定律可得加速度a＝gsinθ，所以甲的加速度小于乙的加速度，因为甲飞离时的速度大于乙飞离时的速度，由vm＝at得，甲在斜面上运动的时间大于乙在斜面上运动的时间，故B错误；由以上分析和x＝可知，甲在斜面上运动的位移大于乙在斜面上运动的位移，故C错误；由平均功率的公式得，滑块在斜面上运动的过程中，重力的平均功率P＝F·sinθ＝mg·sinθ＝，因sin30°＝cos60°，sin60°＝cos30°，故两滑块在斜面上运动时重力的平均功率相等，故D正确。
考点2　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.带电粒子在匀强磁场中运动的解题思路
(1)圆心的确定
①基本思路：与速度方向垂直的直线和轨迹圆中弦的中垂线一定过圆心。
②两种常见情形
情形一：已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图a所示，图中P为入射点，M为出射点)。

情形二：已知入射方向和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图b所示，图中P为入射点，M为出射点)。
(2)半径的确定和计算
利用几何知识求出该圆的可能半径(或圆心角)，并注意以下两个重要的几何特点：
①粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°。
(3)运动时间的确定
①由偏转角度计算：粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧轨迹所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：
t＝T。
②由运动弧长计算：t＝。
2．带电粒子在不同边界匀强磁场中的运动规律
有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内做一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹，然后离开磁场区域。带电粒子在磁场中运动的圆弧轨迹取决于粒子进入磁场的速度大小、方向和磁场的磁感应强度及磁场的区域边界。常见磁场区域边界可分为如下几种情形：
情形一：直线边界
直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒子进出磁场存在临界条件。

解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。
如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。
情形二：矩形边界
矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。

解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e垂直射入)
(1)两个临界半径
①从d点射出：r1＝。
②从c点射出：r＝2＋ab2。
(2)三种情况
①r≤r1，粒子从ed段射出。
②r1r2，粒子从cf段射出(不会到达f点)。
情形三：圆形边界
圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考的热点。
带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：
(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。
(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。
(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。

(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。
情形四：四分之一平面边界
四分之一平面边界磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与坐标轴的夹角关系，然后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解问题。
情形五：三角形边界
三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情景。
解答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式
①从某顶点射入。
②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。
(2)射出点的判断
其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。
例2　(2020·辽宁省锦州市一模)如图所示，在竖直线EOF右侧足够大的区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量相同、电荷量分别为＋q和－q的带电粒子，从O点以相同的速度先后射入磁场，已知v的方向与OF成θ＝30°角，两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，则下列说法中不正确的是(　　)

A．两带电粒子回到EOF竖直线时与O点的距离相等
B．两带电粒子在磁场中的运动时间相等
C．两带电粒子回到EOF竖直线时的速度相同
D．从射入磁场到射出磁场的过程中，两粒子所受洛伦兹力的冲量相同
(1)如何判断正、负粒子回到EOF竖直线时的速度是否相同？
提示：画出两个粒子的运动轨迹，粒子以与直线边界多大角度射入，就以多大角度射出。
(2)洛伦兹力属于变力，如何求它的冲量？
提示：依据动量定理求。
尝试解答　选B。
两带电粒子以与OF成θ＝30°角的速度v射入有界匀强磁场后，由左手定则可判断，正粒子沿逆时针方向运动，负粒子沿顺时针方向运动，它们的轨迹如图所示，因正、负粒子所带电荷量的绝对值和质量都相同，由qvB＝m可知，它们在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径相同，由几何关系知，负粒子在磁场中转过的角度为2θ，正粒子在磁场中转过的角度φ＝2π－2θ，则两段圆弧所对应的弦长度相等，即带电粒子回到EOF竖直线时与O点的距离相等，A正确；带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，则正、负粒子的周期相同，但是轨迹圆弧所对的圆心角不同，因此两带电粒子在磁场中的运动时间不相等，B错误；因洛伦兹力不改变速度的大小，结合几何关系分析知，两带电粒子回到EOF竖直线时的速度相同，C正确；两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，由动量定理得I洛＝p－p0，由于两带电粒子以相同的初速度射入磁场，初动量p0相等，离开磁场时速度大小相等、方向相同，末动量p相等，因此两带电粒子所受洛伦兹力的冲量相同，D正确。本题选说法不正确的，故选B。


1.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法

2．作带电粒子运动轨迹时需注意的问题
(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
(2)六条线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。前面四条线构成一个四边形，后面两条线为这个四边形的对角线。
(3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
[变式2]　(2020·河北省衡水中学4月教学质量监测)(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板。从圆形磁场最高点P垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是(　　)

A．粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长
B．出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心O
C．出磁场的粒子一定能垂直打在MN上
D．只要速度满足v＝，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上
答案　BD
解析　由r＝，tan＝，知粒子在磁场中通过的弧长s＝θr＝arctan，运动的时间t＝＝·arctan，则v越大，s不一定越大，但时间越短，故A错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心，故B正确；速度不同，粒子的轨道半径不同，则对着圆心入射的粒子，沿不同的半径方向射出磁场，即出射后不一定垂直打在MN上，故C错误；速度满足v＝时，粒子的轨道半径为r＝＝R，入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成正方形，粒子出射后一定垂直打在MN板上，故D正确。
考点3　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
1.带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图甲，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。

2．磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时由于磁感应强度方向不确定形成多解。
如图乙，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．速度不确定形成多解
有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解。常有两种情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。
如图丙所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它可能穿过下边界，也可能转过180°反向飞出，于是形成了多解。

4．运动的周期性形成多解
带电粒子在电场和磁场的组合场空间运动时，若运动具有周期性，则存在多解。如图丁所示。
例3　(2020·河北省石家庄市二模)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪一值时粒子能通过B点(　　)

A. B.
C. D.
(1)粒子要想通过B点，必须偏转一次过B点吗？
提示：不是，有多解。
(2)如何确定轨道半径？
提示：依据直线边界磁场的结论画出粒子可能的轨迹，得到r＝(n＝1,2,3，…)。
尝试解答　选D。
粒子带正电，且经过B点，其可能的轨迹如图所示。

所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运动半径r＝(n＝1,2,3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝，解得v0＝＝(n＝1,2,3，…)，由此可知，A、B、C错误，D正确。

求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
(1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。
[变式3－1]　(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)

A．使粒子的速度v

C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度