第16章 二次根式-暑假分层作业1 二次根式的性质与意义(解析版)

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第01练 二次根式的性质与意义  知识点1 二次根式的概念二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．注意：①“”称为二次根号；②a（a≥0）是一个非负数． 知识点2 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 知识点3 二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0； a≥0（双重非负性）．②=a（a≥0）．③=|a|=（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=• (a≥0，b≥0)，= (a≥0，b＞0) （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 一、单选题1．下列各式成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质分别分析得出答案．【详解】A：，故此选项错误；B：，故此选项正确；C：，故此选项错误；D：，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．2．已知，则xy＝（     ）A．3 B．－6 C．±6 D．±3【答案】B【解析】【分析】利用二次根式的被开方数具有非负性求出x的值后，再求出y的值，即可求解．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及性质，解题关键是求出x的值与y的值．3．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（       ）A．a≥﹣2 B．a≥2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列不等式求解即可．【详解】解：依题意，得a+2≥0，解得，a≥-2．故选：A．【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4．函数中，自变量x的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得∴故选：C．【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．5．已知，当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和是（       ）A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：由二次根式的性质可知，=|x-3|-x+4，当x=1时，y=5，当x=2时，y=3，当x≥3时，y=x-3+4-x=1，∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是5+3+1×2020=2028；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式，熟练运用二次根式的性质是解答此题的关键．二、填空题6．若式子有意义，则m的取值范围是___________．【答案】m≥0且m≠4【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于m的不等式，进而得出答案．【详解】解：根据题意得：m≥0且4-≠0，解得：m≥0且m≠4．故答案为：m≥0且m≠4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．7．若代数式有意义，则x的取值范围___________．【答案】且【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，求解即可．【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，解得：且．故答案为：且【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义：被开方数是非负数，难度不大．8．观察一列数：0，，，3，，，，…，按此规律，这列数的第22个数是______（结果需化简）．【答案】【解析】【分析】根据题意可知：这列数化为带根号后，被开方数的规律是0、3、6、9、12、15……，从而可判断该列数的第22个数．【详解】解：该列数为0，，，3，，，，…， 被开方数的规律是0、3、6、9、12、15……，所以第n个数的被开方数为：这列数第22个数为：   故答案为：．【点睛】本题考查实数的变化规律，二次根式的化简，解题的关键是正确找出题中给出的规律，本题属于基础题型．9．已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简=________．【答案】2a【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得三角形两边之和大于第三边可得a-b+c＞0，a-b-c＜0，然后再根据二次根式的性质和绝对值的意义进行化简即可．【详解】∵三角形的三边长分别为a、b、c，∴a+c＞b，a+b＞c，∴a-b+c＞0， c-a-b＜0，∴，故答案为：2a．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，二次根式的性质，绝对值的意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握三角形两边之和大于第三边．10．已知，均为实数，，则的值为________．【答案】8【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．【详解】解：∵，∴，，，，故答案为：8【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．三、解答题11．计算：．【答案】【解析】【分析】先算零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，再算加减法，即可求解．【详解】解：【点睛】本题考查零指数幂，化简绝对值、二次根式，负整数指数幂等知识点，属于基础题，熟练掌握基本运算法则是解题的关键．12．若求的立方根．【答案】±1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出x的值，进而求出y的值，再根据立方根的定义即可求出结论．【详解】解：由题意得： ，解得：x=－2，∴，∴y=±2．①当x=-2，y=2时，=1，它的立方根为：1；②当x=-2，y=-2时，=-1，它的立方根为：-1．综上所述：的立方根为±1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及立方根的定义．正确确定x的值是解题的关键．13．已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】【分析】利用已知，结合每个式子中被开方数中小数点的移动规律即可求解．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【点睛】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．14．观察下列三个式子：；；请根据以上三个等式提供的信息完成下列问题：(1)猜想：______；(2)根据猜想写出一个用n（n表示正整数）表示的等式，并证明你的猜想是一个真命题．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先把要求值的代数式化为与阅读部分具有相同特征的运算式，从而可得答案；（2）根据阅读部分提供的信息，再归纳总结即可．(1)解：(2)解：；；；归纳可得： （n为正整数）证明如下：．所以结论成立．【点睛】本题考查数字的变化规律以及二次根式的化简，分式的加减运算，发现数字的变化规律是正确解答的关键．15．我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求的算术平方根．解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：(1)填空：=；=；(2)化简：++++．【答案】(1)；；(2)；【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的结构，对根号下的式子进行化简配凑，凑完全平方式求解；（2）对每一项进行配凑，使之成为完全平方式的结构，然后进行化简计算．(1)解：；；(2)解：，，，，．．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．   1．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．【详解】解：去分母得，，解得，，∵关于x的分式方程有正数解，∴ ，∴，又∵是增根，当时，，即，∴，∵有意义，∴，∴，因此 且，∵m为整数，∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，故选：D．【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．2．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．【答案】或或【解析】【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．【详解】解：由题意得，解得，∵n是正整数，∴∴，∴，∴，∵是整数，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整数，∴或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．3．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：①；②；③；④__________；…（2）深入探究，观察下列等式：①；②；③；…根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：__________．（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：①；②．【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075【解析】【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．【详解】解：（1）10；（2）；（3）①原式；②原式．【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键