第16章 二次根式-暑假分层作业2 二次根式的混合运算(解析版)

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第02练 二次根式的混合运算  知识点1 二次根式的乘除法1．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．2．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•=（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．3．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①==；②==．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣的有理化因式可以是2+，也可以是a（2+），这里的a可以是任意有理数．    知识点2 二次根式的加减法1．同类二次根式同类二次根式的定义：　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．2．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．3．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．  知识点3 二次根式化简求值二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 一、单选题1．下列二次根式中，最简二次根式是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可．【详解】解：A、，故不是最简二次根式， 不符合题意；B、，故不是最简二次根式，不符合题意；C、，故不是最简二次根式，不符合题意；D、，故是最简二次根式，符合题意；故选D．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．计算的结果为（       ）A． B． C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：=3+1=4．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，零指数幂，正确计算二次根式的乘除是解题关键．3．估计的值应在（       ）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，然后估算出这个值即可得到答案．【详解】解：，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，无理数的估算，正确计算出的值是解题的关键．4．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（       ）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的乘除法与减法的混合运算法则进行判断即可得．【详解】解：，则甲正确，，则乙错误，，则丙正确，，则丁正确，综上，接力中，自己负责的一步出现错误的只有乙，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法与减法的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．5．我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（       ）个①当时，；②存在实数，使得；③若，则；④已知代数式A、B、C满足，，则．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】利用代数式的值可判断①，利用完全平方公式可判断②，利用公式变形，整体代入求值可判断③，根据，，求出配方得出，然后代入求值可判断④．【详解】解①当时，，故①正确； ②存在实数，使得，故②不正确；③若，∴，当，∴，∴，则；故③正确；④已知代数式A、B、C满足，，∴则====18；故④正确，∴正确的个数有3个，故选B．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式性质，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式及其变形公式，和代数式求值方法是解题关键．二、填空题6．计算：_______．【答案】2【解析】【分析】先化简各项，再相减即可.【详解】解：，故答案为：2.【点睛】此题考查实数的混合运算，正确掌握负整数指数幂、二次根式、零次幂的化简方法是解题的关键.7．如果的整数部分为a，小数部分为b，则=__________．【答案】##【解析】【分析】根据得出a与b，再代入所求式子计算即可．【详解】解：∵4<7<9，∴，∴a=2，b= ，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，解题关键是通过估计无理数大小，确定无理数的整数部分和小数部分．8．已知，则代数式的值为______．【答案】##【解析】【分析】直接把的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案即可．【详解】解：，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确掌握二次根式的性质，是解题的关键．9．对于任意的正数、定义运算“★”为：，则的运算结果为________．【答案】##【解析】【分析】根据新定义可得：，再进行二次根式的混合运算即可．【详解】解：∵∴故答案为：【点睛】本题考查的是新定义运算，二次根式的化简与二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解本题的关键．10．满足不等式的整数m的个数是______．【答案】7【解析】【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：∵，，∴ ，，∵<m<，∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．三、解答题11．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)2+2【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简及立方根的意义逐项化简，再根据有理数的加减法法则计算；（2）先根据二次根式的乘法计算，再合并同类二次根式即可．(1)解：=；(2)解：=2+2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及立方根的意义、二次根式的运算法则是解答本题的关键．12．先化简，再求值：，其中a3．【答案】；【解析】【分析】首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转化为乘法，再进行约分化为最简形式，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式，当a3时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算；结果化为最简形式．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．13．先化简．再从，0，1，2，中选择一个合适的x的值代入求值．【答案】，x取0，-1；或x取2，1；或x取，．【解析】【分析】先将小括号内的进行通分，再将分式的除法转化为乘法，结合完全平方公式、平方差公式进行因式分解，约分、化简，最后代入数值解答，注意分母不为零．【详解】解：原式又∵x≠±1，∴x可以取0，此时原式＝﹣1；x可以取2，此时原式＝1；x可以取，此时原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及平方差公式、完全平方公式、分式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．14．阅读下列材料：在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证：小明：，而，，∴即回答以下问题：(1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间有什么关系？(2)运用以上结论，计算：①．；②．(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，则长方形的面积为多少？【答案】(1)(2)①20；②104(3)16【解析】【分析】（1）根据阅读材料中的例题，即可解答；（2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答，②利用（1）的结论，进行计算即可解答；（3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答．(1)解：当，时，；(2)解：；②；(3)解：由题意得：长方形的面积，长方形的面积为．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答．15．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，这样的式子，可以将其进一步化简：；，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请化简下列各题（写出化简过程）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根据题意利用平方差公式进行分母有理化即可．（2）根据题意利用平方差公式进行分母有理化即可．（3）分母有理化后再进行实数的计算．(1)；(2)；(3)＋……＋．．【点睛】本题考查了分母有理化，牢记平方差公式，找到有理化因式是解题的关键．        1．将1、、、按图2所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（       ）A．1 B．2 C． D．6【答案】D【解析】【详解】（4，2）表示第4排从左向右第2个数是： ，（21，2）表示第21排从左向右第2个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第21排是奇数排，最中间的也就是这排的第1个数是1，那么第2个就是：，• =6,故选D2．形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____．【答案】【解析】【分析】根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键．3．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简：．【答案】(1)(2)28或12(3)【解析】【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．(1)∵，∴，∴．故答案为：，；(2)∵，∴，6=2mn，∴mn=3．∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3或m=3，n=1．当m=1，n=3时，；当m=3，n=1时，．∴a的值为28或12；(3)令，则∴．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．