“隐形圆”—最大张角问题 2022年中考数学专题复习课件

这是一份“隐形圆”—最大张角问题 2022年中考数学专题复习课件，共16页。PPT课件主要包含了定理介绍，探究定理，典例精讲，课堂检测，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的最值问题中第一个最值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”。
不积洼步 无以至千里。
米勒圆最大张角定理，又称米勒外切定理，是一种引人注目的几何定理。它说明如果一个点在一个圆的外切线上，那么它和另一个圆心之间的角度是最大的，而不管它在外切线上的具体位置。这种定理最早由德国几何家和历史学家威廉·米勒提出。
最大张角问题在数学竞赛、模拟考试也有在中考中亮相，主要以实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
米勒定理：已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，则当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。
证明：如图，设在边OM上取不同于点P的任意一点P'，在圆上取点C，连结AP',BP',AC,BC,∵∠APB和∠ACB是同弧所对的圆周角，∴∠APB=∠ACB，∵∠ACB是∆CP'B外角，∵∠ACB>∠AP'B即：∠APB>∠AP'B∴∠APB最大
例1.如图,已知足球球门宽AB约为5 米，一球员从距B点5 米的C点(点A、B、C均在球场底线上)，沿着AC成45°角的CD方向带球。试问，该球员能否在射线CD.上找到一点P，使得点P为最佳射门点(即∠APB最大) ?若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由。
解：过A B两点作圆于CD相切于点P，此时∠APB最大，理由∵PC为圆的切线，AB为圆的割线 ∴CP²=CB·CA 即：CP²=CB·CA=5  × 10 =100 ∴CP=10
例2.如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．如图在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cs∠BPC的值最小？若存在，求出此时cs∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
解：如图③所示，存在点P，使得cs∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4 ＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，∴∠BPC最大，cs∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4 ﹣OQ，在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ²+6²=（4 ﹣OQ）²，解得：OQ= ，∴OB= ，∴cs∠BPC=cs∠BOQ= 则此时cs∠BPC的值为 ．
例3.如图，O是坐标原点，过点A(−1，0)的抛物线y=x²−bx−3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点，连结BD、CD，动点Q的坐标为(m，1)，连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标。
解：如图，记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点N）．连接OM、CM，则∠CQO= ∠CMO=∠OMN，MC=MO=MQ，∴sin∠CQO=sin∠OMN= ∴sin∠CQO的值随着OM的增大而减小．又∵MO=MQ，∴当MQ取最小值时sin∠CQO最大，即MQ垂直直线y=1时，∠CQO最大，此时，⊙M与直线y=1相切．∴MQ=NF=2.5，MN²=OM²-ON²=2，∴Q坐标为（2，1）．根据对称性，另一点（-2，1）也符合题意．综上可知，Q点坐标为（2，1）或（-2，1）．
1.如图所示，某大楼上装有一块长方形广告牌，上下边相距6 m ,下底边距地面11.6m,如果人的眼部高度为1.6m ,那么从远处正对广告牌走近时,在何处看广告牌的效果最好?
2.已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．
P(0,2)或P(0,-2)
3.如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切与点D并交B延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，求BP的长度。
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